Eşitsizlikler
09/04/2010  |  MATEMATİK | (3)yorum | 40672 kez okundu.

  1) 1 < 3x+2 <  2 eşitsizliğini 2 ayrı bölüm gibi düşünelim.

a) 1 < 3x+2  ve

b) 3x+2< 2 olarak 2 ayrı eşitsizlikleri çözüp, çözüm kümelerinin arakesitini alalım. 

a) 1-2 < 3x den  1nci çözüm kümesi olarak   -1/3  i buluruz.

b) 3x <2-2 den   2nci çözüm kümesi olarak      x< 0     i buluruz.

    -1/3 < x < 0 en son çözüm kümemiz olur.

2)  ( (7-3x) / -2 )-4  > -3   ve   13-3x > -8 eşitsizliklerini sağlayan x in tamsayı değerlerini bulalım.

a)  (7-3x)/ -2 > -3  eşitsizliğin 2 tarafını (-2) ile çarpıp paydadan kurtulalım.

KURAL : Eşitsizliğin 2 tarafını  POZİTİF sayıyla çarparsak; eşitsizlik aynı yönde kalır.

AMA     Eşitsizliğin 2 tarafını NEGATİF sayıla çarparsak; EŞİTSİZLİK YÖN DEĞİŞTİRİR.

     (7-3x) +8  <     > Olan eşitsizlik yön değiştirerek  < oldu.

     7+8-6     <3x  den 1nci çözüm kümesini    3 < x  buluruz.

b) 13-3x > -8    21 > 3x  den                       7> x   buluruz.

Son çözüm kümesi : 3 < x < 7 olarak buluruz.

x in Tamsayı değerlerini  ={4, 5, 6 } olarak belirleriz.

3-A) x ve y reel (gerçek) sayılar olmak üzere

  2 < x < 6  ve  3 < y <9 eşitsizlklerini kullanarak  x+y in en küçük ve en büyük değerlerini bulalım.

KURAL) AYNI YÖNLÜ eşitsizlikleri taraf tarafa toplayabiliriz. AMA ÇIKARAMAYIZ.

Taraf tarafa toplayalım:    2+3 < x+y < 6+9

                                    5   < x+y < 15  

x+y nin en büyük değeri =14 ve

x+y nin en küçük değeri=6 olarak buluruz.

B ) X ve y TAMSAYILAR  olsaydı; şöyle çözebilirdik:

a) x+y nin en büyük değeri için; x en büyük olmalı ve y de en büyük olmalı.

b) x+y nin en küçük değeri ,için de; e en küçük olmalı ve y de en küçük olmalı

a) 2  x+y nin en büyük tamsayı değeri = 5+8=13 olur.

b) 2x+y nin en küçük değeri = 3+4= olur.

C) x< 4 ise; 4x-3  ün alacağı en büyük tamsayıyı bulalım.

x <4  ün   x li terimini sorulan=  4x-3 haline getirmeliyiz.

Önce x i 4 ile çarpıp 4x yapalım, elbette eşitsizliğin 2 tarafını da 4 ile çarpacağız  .

Sonra eşitsizliğn 2 tarafından da 3 çıkartıp  ;  x i 4x-3 haline getirmiş olacağız.

   x *4 < 4*4

   4x -3< 16-3

4x-3  < 13 den 4x-3 ün alacağı en büyük değer =12 olur.

4) -5< x<4 ise   6-x ifadesinin alabileceği en büyük ve en küçük tamsayı değerleri kaçtır?

  -5*(-1) < x*(-1) < 4*(-1) ve Negatif Sayıyla çarptığımızdan EŞİTSİZLİK YÖN DEĞİŞTİRİR.

   5    >  -x      > -4   ve -4 < -x < 5  olarak sıralayalım.

 ŞİMDİ eşitsizliğin 3 terimine de 6 ekleyelim ki;  (-x) terimi sorulan=6-x olsun.

   6+5  > 6-x  > -4+6  dan   11>6-x>2 olur. En küçük (6-x)=3 ve en büyük (6-x)=10  olur.

ÖNEMLİ:  -5< x< 4  ü (-1) ile çarpınca eşitsizliğin yön değiştireceğini biliyoruz.  -5 , x ve 4 ü  (-1) ile çarparız.

Eşitsizliği yön DEĞİŞTİRMEYİZ AMA 5 VE -4 Ü YER DEĞİŞTİRİRİZ.  

  -4 < -X < 5 yazarız. YUkardaki pembeli ifadeyle aynısını daha pratik bulmuş olduk.

5)   (1 / 12 ) <  (2/ (x-3)) < (1/4) eşitsizliğini sağlayan en küçük ve en büyük x tamsayıları nedir?

KURAL: KESİRLERİ TERS ÇEVİRİRSEK; EŞİTSİZLİK YÖN DEĞİŞTİRİR.

     12       >  (x-3)/2    > 4  hem kesirleri hem eşitsizlikleri yön değiştirdik.

ÖNEMLİ: Kesirleri ters çevirip, eşitsizlikleri AYNEN bırakıp 4 ve 12 yi yerdeğiştirip aynı sonucu PRATİK

olarak elde edebilirdik.

 a)  12 *2 > (x-3) den    24 +3  >x    27>x

b) x-3 >4*2  den         x> 8+3  x>11 den

son çözüm kümesi :     11

6)  -3 < x < 4   ve 

    -2 < y  <2  ise xy ÇARPIMININ  alabileceği en büyük tamsayıyı bulalım.

-3 * -2  = 6    4*2  = 8  ve

-3* = -6    4* (-2)= -8   çarpımlarından en küçüğü= -8  ve  en büyüğü = 8 i seçeriz.

    -8 < xy < 8 den en büyük xy =7 olur.   

7)a) 1den büyük POZİTİF sayılarda;   4> 2   ise (ÇİFT sayı) ÜSSÜnü alalım: 4 üssü2 > 2 üssü2 den 16>4

  b) 1 den küçük POZİTİF sayılarda ; 1/2 > 1/4 ün (ÇİFT sayı)ÜSSÜnü alalım:                     (1/4 ) > (1/ 16)

c) -1 den küçük NEGATİF sayılarda;-4< -3 in (ÇİFT sayı) ÜSSÜNÜ alalım:(-4)üssü2>(-3)üssü2 den  16> 4 de

EŞİTSİZLİK YÖN DEĞİŞTİRDİ.

d) -1 den büyük NEGATİF sayılarda; -1/4 > -1/2 nin (ÇİFT sayı)ÜSSÜNÜ alalım: (1/16) < (1/4)

EŞİTSİZLİK YÖN DEĞİŞTİRDİ. 

KURAL:A)  SAYILARIN ÇİFT ÜSSÜ ALINDIĞINDA;    

POZİTİF SAYILARDA EŞİTSİZLİK AYNI KALIR,

NEGATİF SAYILARDA EŞİTSİZLİK YÖN DEĞİŞTİRİR.

B) SAYILARIN TEK ÜSSÜ ALINDIĞINDA ; EŞİTSİZLİK AYNI KALIR.

C) NEGATİF SAYILARLA ÇARPMA veya BÖLMEDE EŞİTSİZLİK YÖN DEĞİŞTİRİR.

D) KESİRLER TERS ÇEVRİLİNCE veya

SAYILARIN(X)  ÇARPMAYA GÖRE TERSİ (1/X) ALINDIĞINDA  EŞİTSİZLİKLER YÖN DEĞİŞTİRİR

a) 1 den büyük +  sayılarda; 4>3 iken 4üssü3 >3üssü3 64>27 doğrudur ve eşitsizlik AYNI kaldı.

b)1 den küçük + sayılarda (1/2)>(1/4) iken (1/8) > (1/64)doğrudur ve eşitsizlik AYNI kaldı.

c) -1 den küçük - sayılarda; -4<-3 iken (-64) <(-27)doğrudur ve eşitsizlik AYNI kaldı.

d) -1 den büyük - sayılarda; (-1/4)> (-1/2) iken; (-1/64) > (-1/8) doğrudur ve eşitsizlik AYNI kaldı.

8) xz>0, xykare <0 ve (yküp)*(z üssü5)<0 ise; xiy ve z nin işaretlerini bulalım.

KURAL: ÇİFT ÜSLÜ TERİMLER DAİMA POZİTİFTİR. ÇİFT ÜSLÜ TERİMLERİ YOKSAYALIM.

(ykareyi) yoksayalım,silelim: xykare<0 ifadesi x<0 oldu. x in negatif olduğunu bulduk.

 xz >o da x<0 ise  z>0 olmak zorunda.

(KURAL:TEK ÜSLERDE DE ÜSLERİ YOK KABUL EDELİM, SİLELİM:

(yküp)*(züssü5) ifadesinde üsleri silelim, bu ifade işaret bakımından (y*z) ye eşit oldu.

y*z de z>0 ise; y>0 olmak zorunda. 

Sonuç: x<0 y>0 ve z>0

9-A) x,y reel sayılar

-6< x < 4 ise; xkare nin alabileceği değerleri bulalım. (Bir sınırı -6 olan negatif sayı diğer bir sınırı 4  olan pozitif sayıysa;) 

KURAL: BİR SAYININ KARESİ DAİMA SIFIRDAN BÜYÜK veya SIFIRA EŞİTTİR.

(-6) nın karesi =36 ve  4ün karesi =16 dan büyük olan =36 yı alırız.

  (x kare) ifadesi, sıfırdan büyük veya eşittir  ve 36 dan küçüktür. (-6 da eşitlik olmadığından, xkare ifadesi 36 ya eşit olamaz)

KURAL: 2 tane eşitsizliğin sınırlarında birinde küçükeşittir,

                                                diğerinde küçüktür,  olduğunda ikisinin arakesiti olarak sonuç; küçüktür,olur.

2 tane eşitsizliğin ikisinde de eşitlik bulunursa; sonuca eşitliği ekleyebiliriz. 

B) x,y reel sayılar

 -5 < x <4   ve

 -8 < y < -5 ise  (xkare + ykare)  nin en büyük tamsayı değerini bulalım.

A )da olduğu gibi; bir negatif bir pozitif sınırlarda;            xkare , sıfırdan büyük veya eşit

    ( (-5)in karesi=25 ve  4 ün karesi=16 nın büyüğü olan)           25 den küçüktür.

1nci eşitsizlik sınırları          0 <     xkare         < 25 

2nci eşitsizliğin sınırları da   25 <      ykare       < 64   olur. Taraf tarafa toplayalım.

                                     25<  xkare + ykare < 89

En büyük (xkare+ykare) =88

10)  x> xkare  ve xy>y  ise  x =?

KURAL: x > xkare ise;     0 

ÖRNEK: 1/2  > (1/2)ninkaresi 

          1/2  > 1/4 oldu  ve    x=1/2 yani   0< x< 1  oldu.

  0< x <1 olduğundan , X VE Y ÇARPILINCA SONUÇ Y den küçük olmalıydı.  xy < y olmalıydı.  

AMA SORUDA xy > x olduğu verilmiş.

O halde: y<0 olmalıdır.

11) x=0,04y  ve 2< x < 4 ise y=?

y yi sorduğuna göre; eşitsizlikteki x yerine y li bir ifade gelmeli.

                    2< 0,04 y < 4  eşitsizliği 100 ile çarpalım.

                 200<  4y  <  400  eşitsizliği 4 e bölelim.

                  50 < y < 100   olur.

12) 3x =2y ve 2y=z  ise  x,y ,z yi sıralayalım.

3x=2y için   x=2  ve y=3 diyelim. y=3 için   z=6 olur.

Sıralama:  z > y > x olur.

13) x< 6

    y< x-8

   3z< y+19 ise en büyük z=? 

Eşitsizlikleri taraf tarafa toplayalım.

 x+y+3z < 6 + x-8 +y+19

       3z < 6-8+19

     3z<17  den  z< 17/3  den en büyük z=5 

14) x< y<0 ve yz < xy ise z ve xin sıralamasını yapalım.

 y<0 olduğuna göre; yz < xy yi y ile bölünce; eşitsizlik yön değiştirmeli.  z> x olmalıdır.

 

Yorumlar

1) Bir dirum var acilll yardim ? | 24/10/2017 | 09:10:26
LÜTFEENNNNN
2)berna | 23/04/2018 | 21:04:36
Çok guzldi bir sorunu yanlıştı sanki
3)delal | 23/04/2018 | 21:04:47
Ya bu ne sizin de yapacağı bu mi ama güzel😃😃

Yorum Yaz

İsminiz

Eposta adresiniz

Güvenlik Kodu

Yorumunuz

 
 
 
 
 
Isı ve Sıcaklık21ocak2014YENİ
21ocak2014eklendi. Bitti... »
KaldırmaKuvvetiYeniMart2013
KaldırmaKuvvetiYeniMart2013... »
ÖĞRENCİLER LÜTFEN SORU ve CEVAPLARINI AYNEN KOPYALAMAYINIZZZZZZZZ
KOPYALAMAYINIZZZZZZZZ. ÖGRENCİLER LÜTFEN SORU VE CEVAPLARI AYNEN KOPYALAMAYINIZ... »
Sınav Kolay Başarı Kolay
*Dersin esasını öğrenelim, anlayalım, temel kavram ve yasaları öğrenelim, detaylara boğulmayalım. Ezberlemeyelim. *Yanlış yaptıklarımızın muhakkak doğrusunu öğrenelim, doğrular bizimdir, yanlışkarımızdan öğreniriz. *Konuları çok fazla tekrara gerek yok, amaç günde çok fazla soru yapmak değil ; güzel ve değişik dersanelerin sorularından yapmalıyız. Önemli konuların hepsini 3-4 aydabir sorularla sürekli tekrarlıyor olmalıyız. *Soruları çözerken; zor, normal ve kolay soruları ayırtedebilmeliyiz. Zor veya uzun vakit kaybettirebilecek sorulara boğularak vakit kaybetmemeliyiz. Hedefimize ulaşmak için; her dersten en az kaç soru cevaplamamız gerekiyorsa; önce kolay sorulardan hata yapmadan çözmeliyiz.... »