Çarpanlara Ayırma
18/11/2009  |  10.sınıfMATEMATİK | (0)yorum | 29214 kez okundu.

  ALIŞTIRMALAR

Örnek1)  {(xküp*ykare )+ (xkare*y) -xy}/ { (xüssü4)y - ((xküp)*(ykare) } =??? ifadesini SADELEŞTİRELİM.

 Sadeleştirme için pay ve paydadaki AYNI İFADELERİ sadeleştirmeliyiz, yani pay ve paydadan AYNI ŞEYLERİ YOKETMELİYİZ.

Paydaki, ORTAK TERİMLERİ=EBOB u yazalım,

Paydaki  toplama ve çıkarma halinde bulunan 3 terimin hepsinde x  ve y var.

 1ncide xküp*ykare ,

2ncide xkare*y  ve

3ncüde x*y var. 3 terimde bulunan EN KÜÇÜK ÜSLÜ yü alalım. Yani 3 ünde de ortak olan =EBOB=x*y  dir ve 3 ünün En büyük ortak bölenidir.

Payda da EBOB u bulalım.

Paydanın 1nci teriminde =(xüssü4)*y,

2nci teriminde (xküp)*(ykare) var. İkisinde de bulunan EN KÜÇÜK ÜSLÜ yü alalım= (xküp*y)   olur.

Şimdi soruyu tekrar yazalım. Payı,  (payın EBOB)=  (x*y) parantezine alarak yazalım. Payın 3 teriminini de EBOB u=xy  e BÖLEREK yazalım (ki; tersini yapıp çarptığımızda payı aynen buluyorsak; çarpanlara ayırmayı doğru yaptık , demektir.)

1) Payın ÇARPANLARA AYRILMIŞ hali =(xy) *( xkarey +x -1) olur.

1 )Paydanın ÇARPANLARA AYRILMIŞ hali = (xküp*y) *(x-y) olur.

DİKKAT: B u soru gibi x ve yli kesirlerde SADELEŞTİRME yapabilmek için; önce ÇARPANLARA AYIRMALIYIZ.

1) Çarpanlara ayırmak demek = Toplama veya çıkarma halinde yazılmış olan pay  ve paydadaki terimleri burada 2 parantezin ÇARPIMI HALİNDE yazdık.

2) Sonra pay ve payda da ORTAK OLANLARInı=pay ve paydanın EBOB unu buluruz.

3) Pay ve paydayı ,EBOB una BÖLEREK, SADELEŞTİRİRİZ.  

Yukardaki  1) li ifadelere,  2) yi uygulayalım. Pay ve paydanın en küçük ortak olanı=EBOB u = (xy) olur.

Şimdi 3 ü uygulayalım, Pay ve paydayı , EBOB U = XY  ye bölüp, SADELEŞTİRME yi bitirelim. 

3) {(xy) * (xkare +x -1)}  / {(xküpy)*(x-y)}

SONUÇ: (xkare +x-1)         /  {(xkare)* (x-y)}  olur.

Örnek2) (25xkare -16ykare)  / (5x-4y) =????? sadeleştirelim.

1 nci sorudaki gibi YAPAMAYIZ; pay daki 2 terim de de ortak olan birşey YOK, yani payın  EBOB u YOK  ve payda Da EBOB yok. Burada başka bir kural uygularız. 

İKİ KARE FARKI kuralını uygularız. Paydaki 2 terime dikkat edelim; 2 teriminde de KAREKÖK ünü alabiliriz.

Paydaki 1nci terim =25xkarenin karekökü=  5 * x tir. Önce hangi sayıyı KENDİSİYLE 1 kere çarparsam=25 olur diye soralım: bu sayı =5 dir.    

Sonra hangi sayıyı kendisiyle 1 kere çarparsam =xkare olur dersek ;  bu sayı =x olur.

O halde 25xkare nin lkarekökü =5x  olur. 

Paydaki 2nci terim =16ykare   nin karekökü de = 4y olur.

Şimdi payı çarpanlara ayıralım = (5x + 4y)*(5x-y) DİKKAT : 2 parantezin içindeki + ve - işaretleri 2KARE FARKI KURALINA göre koyduk.

2 KARE FARKI  KURALI:  (xkare -ykare )= (x+y)*(x-y)

Şimdi soruyu tekrar yazalım= {(5x+4y*(5x-4y)} / (5x-4y)  oldu.

Pay ve Paydanın EBOB = (5x-4y) bulduk. Pay ve paydayı bu EBOB a böleriz.

Sorunun sadeleştirilmiş sonucu = (5x+4y)  olur. 

Özet olarak; önce payın terimlerinin =EBOB unu bulur, + veya - haldeki pay terimlerini PARANTEZLERİN ÇARPIMI olarak yazarak ÇARPANLARA AYIRIRIZ.  Aynı işlemi paydaya da uygularız.

Sonra pay ve paydanın =EBOB unu bulur, pay ve paydayı bu ebob a BÖLEREK SADELEŞTİRMEYİ yaparız.

Örnek3) (4xkare +25ykare -20xy) / (4xy-10ykare ) =???? sadeleştirelim.

DİKKAT:Payın 3 teriminde de ORTAK yok,  EBOB unu bulamayız, KURAL2= 2 KARE FARKINI uygulamayız.Payda  2 terim den fazla 3 terim var. Burada 3 terim için uygulanan başka bir kural var =TAMKARE veya PARANTEZ KARE kuralını kullanacağız. 

TAM KARE KURALI:A) (xkare -2xy + ykare) = (x-y)nin parantez karesi =(x-y)*(x-y)

                        B) (xkare +2xy +ykare ) (x+y)nin parantez karesi =(x+y)*(x+y)

x ve y nin çarpımın İŞARETİ ne dikkat edelim. (x*y) nin işareti= Parantez kare nin işareti olur.

Soruda 20xy nin işareti=negatif olduğundan; parantezin içindeki işaretler negatif olacaktır.

Şimdi sorunun 1nci teriminin karekökünü alabiliyor muyuz? bakalım: 4xkare nin karekökü= 2 x   olur.

Bir tane daha karekökü alınan bir terim bulmalıyız: (25ykare) ninde karekökü var = 5 y olur.

3ncü terim bu 2 kartekökün çarpımını 2 katına eşit olmalı ?kontrol edelim:

 ({2x)*(5y)}*2katı =20xy buluruz ve gerçekten sorudaki 3ncü terime eşit bulduk. Tam kareyi bulduk. 2x ve 5y nin tamkaresi olacak. Parantezde 2x ve 5y nin Arasındaki işaret ne olacak? Soruda 20xy nin önündeki işaretle AYNI olacak,yani NEGATİF olacak.

Şimdi sorunun payını TAMKARE ile çarpanlarına ayıralım= { (2x-5y)nin parantez karesi}=(2x-5y)*(2x-5y)

PAYDA ya bakalım. Paydada 2 terim var, tamkare olamaz

                         Paydadaki terimlerin karekökünü alamayız. 1nci terim =4xy deki x ve ynin karekökünü alamayız.O halde 2 kare farkı olamaz. 1 nci sorudaki gibi paydadaki 2 terimden ORTAK TERİMLERİNİ ÇEKEREK paranteze alıp çarpanlarına ayıracağız: PAYDA = 2y * (2x-5y) olur.

Sorunun pay ve paydasını çarpanlara ayrılmış yazalım= {(2x-5y)*(2x-5y)} / (2y*(2x-5y))

Sadeleştirmeye dikkat: Pay ve paydadak 2 şer terim var ve terimlerin hepsi çarpım haline gelmiştir. Şimdi pay ve paydanın EBOB= 2x-5y OLarak buluruz. Pay ve paydayı, bu EBOB =2X-5y ye böleriz.

Sorunun sadeleştirilmiş son hali = ( 2x-5y) / 2y  olur.

Örnek 4) 3ncü soru  =  (4xkare +25ykare +20xy ) / (4xy -10ykare )  olsaydı??? paydaki 20 xy nin önündeki işaret + olunca payı TAM KARE ye parantez içi işareti POZİTİF olarak ayırırız.

PAY= (4xkare +25ykare +20xy ) =(2x +5y) nin parantez karesi =(2x+5y)*(2x+5y) olurdu.

Payda =2y(2x-5y) olurak DEĞİŞMEZ

FAKAT SORU = {(2x+5y)*(2x+5y)} / {2y*(2x-5y)} olurdu.Bu durumda pay ve paydanın EBOB u OLMAZ ve soruyu bu halde çarpanlarına ayrılmış olarak bırakırdık, sadeleştirme yapamazdık.

Bu nedenle soruya dikkat edelim; paydadaki 2 terimin arasında (-) işaret varsa; payda TAMKARE nin (-)lisi olmalıki; 3 ncü sorudaki gibi sadeleştirebilelim.

Örnek5) (xkare+2x+1) / (xkare-1) =?? sadeleştirelim

Payda 3 terim var : xkarenin karekökünü alabiliriz =x olur.

                           1 in karesini alabiliriz         =1 olur. 

                           2 x de                           = x ile 1 in çarpımın 2 katı olur. PAYI TAMKARE olarak yazabilirz.

PAY = (xkare+2x+1) = (x+1)in parantez karesi =(x+1)*(x+1) olur.

Payda da 2 terim var ve aradaki işaret NEGATİF: 2 kare farkı olabilir. 2 terimin karekökü var mı? kontrol edelim:

 1nci terim , xkarenin karekökü =1  ve

 2nci terim,  1 in karekökü   =1 olur. Paydayı 2kare farkı olarak yazalım: PAYDA = (x+1)*(x-1) olur.

Şimdi soruyu ÇARPANLARA ayrılmış olarak yazalım: {(x+1)*(x+1)} / {(x+1)*(x-1)} de pay ve paydanın EBOB unu bulalım = (x+1) olur . Pay ve paydayı EBOB u=x+1 e bölerek sadeleştirelim.

SONUÇ =(X+1) / (X-1) olur. 

ÖRNEK 6) KÜPLER FARKI veya KÜPLER TOPLAMI yardımıyla çarpanlara ayırma

 (xkare-1) / (xküp-1) =?????sadeleştirelim.

Payı tanıyoruz. 2 kare farkından  PAY =(x+1)*(x-1)  olarak çarpanlara ayırırz.

Payda da 2 terim var, 1 nci terim=xküp   ün küpkökünü alabiliriz=x (hangi sayıyı kendisiyle 2 kere çarpardak xküp buluruz? x*x*x =xküp olur)

Paydadaki 2nci terim=1 in küpkökü =1 dir ve  ARALARINDAKİ İŞARET =negatif olduğunda KÜPLER FARKI olur.

PAYDAYI çarpanlarına ayırıp yazalım=küpler farkı=(xküp-1) =(x-1)* (xkare +x +1) olur.  

(xkare +x+1)  i EZBER olarak bileceğiz, sanki (x+1)in parantezkaresi=xkare+2x+1 e benZiyor AMA 2x DEĞİL, SADECE x yazıyoruz.

KURAL:KÜPLER FARKI =xküp-1 =(x-1)*(xkare+x+1)

   KÜPLER TOPLAMI   =xküp+1 =(x+1)*(xkare+x+1)  2NCİ PEMBE PARANTEZ 2 sinde de AYNI ,

                                             Küpler toplamıysa, 1nci parantez işareti pozitif,

                                            Küpler farkıysa,       1nci parantez işareti negatif olmaktadır.

Soru: {(x+1)*(x-1)} / {(x-1)*(xkare+x+1)} olarak çarpanlara ayrılır. Pay ve paydanın EBOB= (x-1) olur. Pay ve paydadan bu ebob =x-1 i atarız.

Sonuç= (x+1) / (xkare+x+1) olur.

 

Şayet payda =xküp +1  olsaydı soru = (x+1)*(x-1) / (x+1)*(xkare+x+1) olarak çarpanlara ayrılacak ve

                                                 = (x-1) / (xkare +x+1) olarak sadeleşecekti. 

Örnek 7) (Xküp-1) / (xküp -3xkare +3x+1) =?????? sadeleştirelim.

Payı tanıyoruz: 2 terim var ve 2 terimin de küpkökü alınabiliyor .

1nciterim=(xküpün) küpkökü =x  ve

2nci terim=1 in küpkökü     =1   ve (xküp-1)deki işaret negatif olduğundan (xküp-1)=(x-1)*(xkare+x+1) olur. 

PAYDAYA BAŞKA BİR KURAL UYGULAMALIYIZ:Paydada 4 terim var ve

                                                         1nci terim=en yüksek üslü terim =(xküp) ün küpkökü=x  ve

                                                         en küçük üslü terim =1 ve küpkökü=1 dir. paydaya HARFLİ İFADELER konusunda gördüğümüz BİNOM AÇILIMInı uygulamalıyız.

Paydada işaretler + ve - olarak sırayla gidiyorsa; (x-1) in PARANTEZ KÜP ü olacaktır.

PAYDA = (xküp-3xkare+3x-1) = (x-1) in parantez küp üdür. KURAL

Payda =(xküp+3xkare+3x+1) gibi tümü pozitif işaretli olsaydı = (x+1)in parantez küpü olurdu.

SORUYU yazalım= {(x-1)*(xkare+x+1)} / (x-1) in parantez küpü

                     ={(x-1)*(xkare+x+1)} / {(x-1)*(x-1)*(x-1)} olarak çarpanlara ayırdık

Pay ve paydanın EBOB = (x-1) buluruz ve pay ile paydadan (x-1) i atarız, böleriz. sadeleşmiş hali buluruz.

SONUÇ = (xkare+x+1) / (x-1)*(x-1) = (xkare+x+1) / (x-1)inparantez karesi

                                                                = (xkare+x+1)/(xkare-2x+1)

2nci problemden; (x-1)in tamkaresi= xkare-2x+1 olduğunu öğrendik.

                                (x+1)tamkarnin    =xkare +2x+1

 

3ncü problemden;xkare-1 =2 tamkare farkının=(x-1)*(x+1)  olduğunu gördük.

                            

6ncı problemden  xküp-1 =2 küpler farkının    =(x-1)*(xkare+x+1)

                               xküp+1 =2 küpler toplamının=(x+1)*(xkare-x+1) olduğunu gördük

 7nci problemden(x-1)parantez küpünün = xküp-3xkare+3x-1   (binom açılımıyla)

                               (x+1)parantezküpünün =xküp+3xkare +3x+1 (binom açılımıyla) olduğunu gördük.

Örnek 8) Binom açılımı kuralını pratik olarak nasıl yazarız? Binomu TAMKARELERİ yazarken x lerin katsayılarını yazmada kullanırız.

(x+2)nin parantez küpünü yazalım:

=1nci terimi =xküp

= 2nci terimi=(önceki üs olan küp için 3 yazarak 2nci terimin katsayısını buluruz.

                        önceki üs olan küp=3 ü 1 azaltıp 2nci terimin xkare olarak x li terimini yazarız)

2nci terim =3xkare oldu

3ncü terim =(Önceki katsayı=3 ile önceki üs=2 yi çarparız =6 yı  daha önceki terimler adedi=2 ye böleriz.            BÖLÜM=3 =3ncü terimin katsayısı olur

 ve (x in önceki üssü olan kare yi 1 azaltıp, 3ncü terimin x li terimini   2-1=1 üslü olarak   x olarak yazarız

=3ncü terimi =3x oldu.

=4ncü terimin katsayısı = (3ncü terimin katsayısı * 3ncü terimin üssü)/ (önceki terim adedi olan3)

                                            =           3                             *                  1              /  3

                                           =1

4ncü terimin x li katsayısının üssü = Önceki, 3ncü  terimin üssünü 1 azalt = 1-1 =0 dan xüssü0=1 olur

4ncü terim =1*(x üssü0) =1*1=1 olur.

SONUÇ1: (X+1)parantezküpü = xküp +3xkare +3x+1  oldu

DİKKAT1) (xküp +1 )                 =(x+1)* (xkare-x+1) parantezlerdeki işaret AYNI, 2nciparantez +,-,+

SONUÇ2: (x-1)in parantezküpü=xküp-3xkare+x-1  olarak  1in işaretleri değişir.

DİKKAT2) (xküp-1)                  =(x-1)*(xkare+x+1) 1nci parantezlerde işaret AYNI, 2nci parantez işareti tersi olur.

Örnek9) BİNOM KATSAYILARI DAİMA AYNIDIR. Başka bir kolay yolu daha:

                               1                                                 = 1 x

                       1      2     1                  (x+1)parantezkaresi= 1 xkare + 2 x +1

                  1       3      3      1               (x+1)parantezküp    =1 xküp+3 xkare +3 x +1

               1     4      6       4        1           (x+1) in 4ncü üssü   =1 xüssü4 +4 xküp+6 xkare+4 x +1

           1     5     10     10       5       1   (x+1)in5nciüssü  = 1 xüssü5+5 xüssü4+10 xküp+10xkare+5 x+1

DİKKAT: PARANTEZKÜP dersek; terim sayısı =3+1=4 tanedir.

                        1nci ve son terimin katsayıları=1 dir.

                       2nci terimi üssüyle AYNI olmakta  ve sondan 1 önceki terimin katsayısına da eşittir.

PARANTEZ ÜSSÜ4 de 2nci terim katsayısı =4= 1+3 (parantez küplü açılımın 1 ve 3 katsayılarının TOPLAMI)olduğuna dikkat!!!!!!!

                      3ncü terim=6(parantez küplü açılımın 3 ve 3 olan katsayılarının TOPLAMINA eşittir. 

Örnek10) SON ÇEŞİT ÇARPANLARA AYIRMA; GRUPLANDIRMADIR. Belli bir kuralı yoktur, dikkat etmeliyiz.

 (xy-x+y-1)  / ( 1-y) =??????? sadeleştirelim. AMA hiçbir kurala uymuyor, 1nci sorudaki gibi payın 4 teriminde de ORTAK OLAN bir terim YOK. BİRAZ PAYDADAN İPUCU ALALIM: PAYI ÖYLE DÜZENLEYELİM Kİ; paydan,

 paydadaki (1-y) çıkmalıki; soruyu sadeleştirebileyim.

PAYIN 1nci ve 2nci teriminde ORTAK olan x i bu 2 terimden çekelim = (xy-x)=x(y-1) olur

PAY= x(y-1) + y-1  toplama halinde 2 terime dönüştü ve 2 terimde ortak olan=y-1

      =(y-1)*(x-1) olarak başta toplama-çıkarma olan 4 terimi 2 parantezli çarpan yaptık. 

SONUÇ:   {(y-1)*(x-1)} /(  1-y)  de pay ve payın EBOB =(y-1) olur ve pay ve paydadan atarız.

SONUÇ= - (x-1)

Örnek 11)   2xkare +4 x ykare +5x +10y=????? çarpanlara ayıralım

1nci ve 2nci terimde ortak olan 2x i çekelim  : 2x (x+2y)

3ncü ve 4ncü terimde ortak olan 5 i çekelim: 5(x+2y)

Yeniden yazalım:  2x (x+2y) + 5 (x+2y) = (x+2y) (2x+5)

Örnek 12 ) BİR TANE DAHA SON ÇEŞİT ÇARPANLARA AYIRMA VAR ve çok kullanılır.

 KURAL) x kareli teriminin katsayısı=1 olan bir polinomu şöyle çarpanlarına ayırırız.

xkare +24x +11  de yapalım. Çarpımları = x li terimin katsayısı olan ve

                                      Toplamları =sabit terim =11 olan 2 sayı bulalım.

Çarpımları =24 olan sayılar 3*8=24  ve (-3 )*(8)=24 olabilir.

                   toplamları  =3+8=11    ve -3+(-8)= -11 olur. O halde pozitif olanları kullanırız.

 xkare +24x+11  =(x+3)*(x+8) olarak çarpanlara ayrılır.  

Örnek 13-a) xkare-6x-1 = (x-3)*(x+2)

b) xkare +12x-7= (x-3)*(x-4)

c) xkare-16x+6=(x+8)*(x-2)

Yorumlar

Bu konu hakkında henüz yorum yapılmamış.

Yorum Yaz

İsminiz

Eposta adresiniz

Güvenlik Kodu

Yorumunuz

 
 
 
 
 
Isı ve Sıcaklık21ocak2014YENİ
21ocak2014eklendi. Bitti... »
KaldırmaKuvvetiYeniMart2013
KaldırmaKuvvetiYeniMart2013... »
ÖĞRENCİLER LÜTFEN SORU ve CEVAPLARINI AYNEN KOPYALAMAYINIZZZZZZZZ
KOPYALAMAYINIZZZZZZZZ. ÖGRENCİLER LÜTFEN SORU VE CEVAPLARI AYNEN KOPYALAMAYINIZ... »
Sınav Kolay Başarı Kolay
*Dersin esasını öğrenelim, anlayalım, temel kavram ve yasaları öğrenelim, detaylara boğulmayalım. Ezberlemeyelim. *Yanlış yaptıklarımızın muhakkak doğrusunu öğrenelim, doğrular bizimdir, yanlışkarımızdan öğreniriz. *Konuları çok fazla tekrara gerek yok, amaç günde çok fazla soru yapmak değil ; güzel ve değişik dersanelerin sorularından yapmalıyız. Önemli konuların hepsini 3-4 aydabir sorularla sürekli tekrarlıyor olmalıyız. *Soruları çözerken; zor, normal ve kolay soruları ayırtedebilmeliyiz. Zor veya uzun vakit kaybettirebilecek sorulara boğularak vakit kaybetmemeliyiz. Hedefimize ulaşmak için; her dersten en az kaç soru cevaplamamız gerekiyorsa; önce kolay sorulardan hata yapmadan çözmeliyiz.... »