Polinom-Alıştırma
23/10/2009  |  10.sınıfMATEMATİK | (1)yorum | 7335 kez okundu.

ALIŞTIRMALAR

Örnek1) { (A(x)in küpü) * B(X)inkaresi}nin derecesi=16

     { (A(X)in karesi) / B(X)}in derecesi=6 ise

   {(A(X) +B(x)}in derecesini bulalım.????

 

A(X) in derecesi =a  ve

B(X)in derecesi =b olsun.

    {(x üssü a)nın KÜPÜ}* {(x üssü b) nin KARESİ}nün derecesi=16

              ( a*3)                +   (b*2                        )                   =16

             (a*2 )                 -     b                                               =6 den 

3a +2b =11  ve    2a-b=6  olur.

 3a +2b=16  ve   4a-2b =12  7a =28

A(x)in derecesi=a=4  ve B(x) in derecesi= b=2 bulunur.

A(X) + B(X)}in derecesi = TOPLAMADA (ÇIKARMADA DA) A veya B den derecesi BÜYÜK olana eşittir

                                        =a=4  olur.

Örnek2) A(X) polinomu , ( X in karesi+2) ile bölününce

              BÖLÜM= (xkare-1) ve KALAN =x-3 ise    A(X) polinomunu bulalım.???

A(X) Bölüneni =  {(x in karesi+2) BÖLENİ} * { (xkare-1) BÖLÜMÜ  + (x-3) KALANI

A(X)              = (x in 4ncü üssü - xkare +2 xkare -2 ) + x-3

                    = (x in 4ncü üssü) + xkare                  +x -5      buluruz.     

Örnek 3) A(X) = {(X in karesi)-x } * B(X)bölümü + (3x -2 )  ise, 

             A(X) in x ile bölümünden kalanı bulalım.????

A(X) i düzenleyelim = {x (x-1)} *B(X) + (3X-2)  DİKKAT... (xkare-x)i  x-parantezine alırız.

Böylece kalandan önceki kısımda x-çarpan olur ve bu kısmı x-çarpanı ya da BÖLENİ KALANSIZ BÖLER.

A(X) polinomunun x e bölümünden kalan = A(X=0 ) = A(0) olur.

                                                            = {0* (0-1)*B(X) + (3*0)-2}=0 +0-2=  -2 dir. 

Örnek 4) A (4X +12 ) = (2xkare+ 3x +1 ) ise;

   A(X+1) polinomunun , (x-3 )ile bölümünden kalanı bulalım.????

KURAL) (x-3) ile bölümünden kalan = A ( X=3) =A(3+1)=A(4) olmalı.

A(4x+12) = A(4) olması için  gerekli x i bulalım:     4x+12 =4  den  4x= -8  x=-2 yapmalıyız.

A(-2) =  (2*(-2)in karesi   + 3*(-2) +1 = 2*4 -6 +1 = 3   

 

Örnek5) A(X) ve B(X) polinomları (x-1 ) e sırasıyla bölündüğünde kalanları 2 ve 6 olmaktadır.

    A(X)*2X + B(x)*X polinomunun  (x-1) e bölümünden kalanı bulalım.?????

A(X) in (x-1) e bölümünden kalan=A(1) =2 

B(X) in (x-1) e bölümünden kalan = B(1) =6

A(X)*2x + B(X)*x in (x-1) e bölümünden kalan = A(1)*2*1 + B(1)*1 = 2*2*1 + 6*1 = 4+6=10 

 

Örnek 6) A(X+1)  in  (x-1 )  e bölümünden kalan =8 ve

  A (X-1) in (x+1) e bölümünden kalan =10 ise;

A(x) in (xkare-4) e bölümünden kalanı bulalım??????

 

(x-1)den kalanı bulmak için; x-1=0 dan x=1 yaparak A(1+1)=A(2)=8  olur.

(x+1) den kalanı bulmak için; x+1=0 dan x= -1 yaparak A (-1 -1 )= A(-2) =10 olur.

A(X) in (xkare-4 ) bölümünden kalanı bulmak için; (x kare-4) = (x-2) * (x+2) çarpanlarına ayırırız.

A(x) = (x-2)*(x+2)*B(X) + (cx +d)  olsun.

A(2) =   0                    +2c +d =8 ve

A(-2) =  0                   -2C+d  =10  olan 2 denklemi altalta toplarsak; c ler sadeleşir.

                                    2d =18 ve d=9  olur. 

                                     2c +d=8 de d=9 yapınca 2c+9=8 den c=-1/2 dir. 

KALAN = cx+d = -1/2 x + 9   olur.

KURAL) A(x ) in (x kare-4) e bölümünden kalanın derecesi = (x kare-4) böleninin 2 olan derecesinden

1 EKSİK olmalıdır. Yani KALAN , 1 dereceli polinom olmalıdır. Bu yüzden cx +d  yi kalan olarak yazarız.

Örneğin; A(X) polinomu (x+5) e bölünseydi; kalan (x+5) in 1 olan derecesinden 1 EKSİK  olup,

                                                           kalanın derecesi =0 olmalıydı. Bu durumda da KALAN= c gibi bir  sabit  sayı yazacaktık. 

 

Örnek 7)  A(x) = (x küp) + bx -1  polinomunun bir çarpanı (x in küpü)-1 ise , b=????  yi bulalım

KURAL) (x küp -1)  ifadesi A(X) in çarpanıysa;  A(x) polinomu (xküp-1) çarpanına KALANSIZ BÖLünür..

           x küp =1 yapar ve A(X) polinomunda xküp gördüğümüz yere (1) yazar ve kalanı buluruz.

 A(Xküp=1) = 1   + bx -1  =0 olmalı, çünkü (xküp-1) ifadesi A(X) in çarpanıdır ve A(x)-polinomunu kalansız böler.

              b=0 olmalı     

 

Örnek 8) A(x) = (x küp) -9x i çarpanlarına ayıralım.????

           =x* ((xkare) -9)  = x * {(x-3) *(x+3) }çarpanlarına ayırırız.

A(X)-polinomu,      x,   x-3 ve    x+3 çarpanlarına KALANSIZ BÖLÜNÜR.

A(x ) = x * (x-3)* (x+3) olarak yazarız.

BU DURUMDA ; A(x=0 )=A(0) =0 ,

                    A(x=3) =A(3)=0  ve 

                    A( x=-3) =A(-3)=0  dır.     

Örnek 9) A(x) in (xküp-xkare) ye bölümünden kalan (x-2 ) ise,

              B(x) in  (x-1) e bölümünden kalanı bulalım.????

A (X) = (xküp - xkare )* B(X) +(X-2 ) KALAN=(x-2) yi bölen (x-1 ) e benzetip; (x-2)= (x-1)-1 gibi yaz. 

A(x) = (xkare)* (x-1 ) * B(x) + ( x-1) -1  ifadesini   (x-1) PARANTEZİNE AL

A(X)= ((X-1) {((Xkare)*B(x))+} -1 ) den  BÖLÜM = (Xkare)* B(X) +1  VE KALAN = -1 olur.    

 

Örnek10) A(X) = 3xküp + xkare -6x +2 ise,  

          A (3x +1) in  (X-1) ye bölümünden kalanı bulalım.?????

 

A(3x+1) nın (x-1) ye bölümünden kalan için x=1 yazalım= A ( 3*1 +1)= A(4 ) in değerini verilen polinom olan A(x) den  x=4 koyarak  elde etmeliyiz.

A(x)= A(4)= 3* (4 nin küpü)+  (4 nin karesi) -6*4 +2  =  3*64  + 16-24 +2 =192-6 =186 buluruz.  

Örnek 11) A(X) polinomunun   (xkare-5x +6) ya bölümünden kalan =3x-6 ise,

A(x ) polinomunun (x-2 ) ile bölümünden kalanı bulalım.????

xkare-5x+6 yı çarpanlarına ayıralım=(x-3)*(x-2)

 A(x)= (x-3)* (x-2) * Bölüm(x) + (3x-6) kalanında  ifadesinde  (x-2) böleni için x=2 yapalım

A (2)=          0                            + 3*2-6 =0 OLUR.

DİKKAT: KALAN olan  3X-6 = 3( X-2) ifadesini  çarpanlarına  ayırınca

Kalanın içinde bölenin=x-2 nin ÇARPAN olarak bulunduğunu görüyoruz.BURADAN DA BU BÖLMENİN

KALANSIZ BÖLÜNECEĞİNİ VE KALAN =0 OLACAĞINI ANLARIZ. 

A(x)= (x-3)*(x-2)*B(x) + (x-2 )*3  de toplam halinde bulunan 2 kısımda da (x-2)çarpan olarak

bulunuyor. Bu durumda A(x) polinomu (x-2) ye kalansız (kalan=0) bölünür.  

Örnek 12 ) A ((B(x)) verilince  A(x)i  yani ilk polinomu nasıl bulabiliriz?

A) A ( x-3) = (xkare) + x -2   ise    A(x) yani ilk polinomu bulalım.??????

A(x-3) bize  A ((B(x)) Olarak yani son polinom olarak verilmiş, bir şeyler yaparak bu polinomu A (x) olarak yazmalıyız.

 A (x) = A (B(x)) = A(X-3)    den     

                        A( x-3)   den      A(x) deki x i nasıl elde ederiz.

                     A(X-3) DEKİ X YERİNE X+3 YAZARSAK  A (x) i elde ederiz.  

A(x)= (( x+3)ün karesi) + (x+3) -2 = xkare +6x +9 +x +3 -2 = xkare +7x +10 olarak buluruz.

B) A(8)ilk polinomunu,  A (B(x))  halinde verilen son polinomdan bulalım.

A(x-3) ü nasıl  A(8) yaparız.    

A(x-3) deki    x-3  =8 olmalı. YANİ   X=11 OLMALI Kİ; 11 DEN 3 ÇIKINCA X=8KALSIN.

A(x-3) = xkare +x -2 de    x=11 koyalım.

A(11-3) =A(8) = 11in karesi  +11 -2 = 121 +9 =130  bulduk.

******A şıkkında bulduğumuz  A(x) ten yani polinomun ilk halinden A(8) i bulursak, aynı, 130 sonucunu bulabilir miyiz? DENEYELİM.

A(X) = xkare + 7x +10  da x=8 koyalım.

A(8) = 8 in karesi + 7*8 + 10 = 64 + 56 +10 = 130 olarak aynı sonucu bulduk.

C) A şıkkındaki  A(x-3 ) = xkare +x-2   polinomunun son halini kullanarak   A(x)=xkare +7x+10 ilk halini bulmuştuk.

Şimdi A(x-3) halinden   A (X+1) HALİ OLAN BAŞKA BİR POLİNOMU BULALIM.?????

A(x-3) ün (x-3) ündeki x yerine ne koyalım ki ;  A(x+1)  deki (x+1)i elde edelim.

        A(x+4)-3 deki x yerine x+4 koyarsam    

        A (x+1) deki  yani polinomu sorulan halin  parantezi olan  (x+1)i elde ederim.

  ÖYLEYSE; A(x-3) = Xkare +x -2 deki x yerine  (x+4) yazarak bulacağım polinom = A(x+1) olur.

A((X+4)-3) =A(x+1)= (x+4)ünkaresi + (x+4) -2 =xkare +8x +16 +x+4-2 = xkare +9x +18 buluruz.

****Peki aynı sonucu A(x)=xkare +7x+10 dan bulabilirmiydik, DENEYELİM:

A(x) =xkare +7x +10 dan A(x+1) polinomunu bulmak için;

A( x)  deki  x yerine x+1 yazarak   A (x+1) i elde ederiz.

A(x+1) = (x+1)in karesi + 7*(x+1) +10 = xkare +2x +1 +7x +7 +10 = xkare +9x +18 olarak aynı sonucu bulduk. ÖNEMLİ OLAN :

ÖNCE İLK POLİNOMUN PARANTEZİNDEN SON POLİNOMUN PARANTEZİNE NASİL GİDECEĞİMİZİ BULMAK

(BURADA A(x-3 )den A(x+1) e x yerine x+4 yazarak gideceğimizi bulduk veya

             A(x) den de A(x+1) e  x yerine x+1 yazarak gideceğimizi bulmuş olduk.)  

SONRA İLK POLİNOMUN = İN SAĞINDAKİ  X Lİ İFADEDE X YERİNE BULDUĞUMUZ  bu DEĞERİ KOYMAKTIR.

(YANİ: A (x-3 ) ten A(x+1) e gideceksem; A(x-3)=xkare x-2 de x yerine x+4 yazmalıyım.

        A(X)     ten A(x+1) e gideceksem ; A(x)   =xkare +7x +10 da x yerine x+1 koymalıyım.)

D) A (5)  i nasıl bulabiliriz.

A (x-3 )= xkare +x-2 den A (5) i bulmak için; x-3= 5 den x=8 koymalıyız.

A(8-3)= A(5)= 8 in karesi +8 -2 = 70 bulduk.

AYNI SONUCU A(x) = xkare +7x +10 dan da bulabilir miydik?

A(x) de x yerine sadece x=5 koyalım:

A(x)= A(5)= 5 inin karesi+7*5+10 =25 +35+10 =70 olarak aynı sonucu bulduk.                                                                              

Örnek 13) A(x) den A(B(x)) i nasıl buluruz?  

 (12nci soruda anlatılan A(B(x)) den A(x) i bulmaktan daha kolaydır)

A(x) = xkare +2x +5  ise   A (2x ) =??????bulalım.

 

KURAL)A(x)olan ilk polinomdan  A(2x) olan son polinomu bulmak için

A(x) olan ilk polinomda x yerine 2x yazarsak; A(2x) olan son polinomu buluruz.

A(X)= A(2x) = (2x)in karesi +2* 2x +5 = 4xkare +4x +5 olarak buluruz.

A(5) İ HESAPLAMAKTA KOLAYDIR. X YERİNE 5 YAZARIZ.

A(X)=A(5) = 5 in karesi + 2*5 +5 = 25 +10 +5 =40  olur.    

Örnek 14) A(x-3)= xkare +x -2  İSE

            A(x+1)  POLİNOMUNUN SABİT SAYIsını Vbulalım.

SABİT SAYIYI BULMAK İÇİN, SABİT SAYISI SORULAN POLİNOMDA  X=0 YAZARIZ.

Sabit sayısı sorulan polinomdan   A(x+1) = A(0+1) = A(+1 ) OLMALIyı buluruz. 

Sonra  Verilen polinom olan = A(x-3 ) in (x-3) parantezinde  A(1) i elde etmek için;

                                 A(x-3) de x=4 yazarsak;  A(4-3)=A(1) i buluruz .

                                   A(x-3)=A(4-3)=A(1)=xkare +x-2=  4in karesi +4  -2 =16+4-2=18  dır. (VERİLEN

POLİNOMUN SOL TARAFINDA X=4 yazdıysak; sağ tarafındaki x yerine de x=4 yazmalıyız.)

Örnek15) P(x+1) = 2xkare +4x +10  POLİNOMUNUN SABİT SAYISInı bulmak için; İÇİN X=0 OLMALI

    P(0+1) =P(1) olur yani polinomda x=1 yazarız= 2*1in karesi +4*1+10 =16 olur.

P(x+1) in KATSAYI TOPLAMI İÇİN X=1 yazarız= P(1+1)=P(2)  yi bulmalıyız.

P(2) = 2*2ninkaresi + 4*2 +10 = 4 +8+10 =22 BULURUZ.

Örnek16-A) P(x-1) =x+1 olarak verilmiş ama P(x+3) in sabit sayısı soruluyorsa;

                                               P(x+3) de x=0 yap  P(0+3)=P(3) ü

                                         verilen polinom olan P(x-1) den elde etmeliyiz. Yani P(x-1) deki x yerine ne koymalıyız ki; x=3 çıksın   x-1 =3 den x=4 koymalıyız.

                                                    P(4-1)=P(3)= x+1 = 4+1 = 5 bulduk. 

16-B)P(x-1)=x+1 verilmiş, P(x+3)ün katsayı toplamı soruluyorsa ; P(1+3)=P(4)Ü

Verilen polinom olan  P(x-1)=x+1 den bulmalıyız. x-1=4 den x=5 koymalıyız.,

                            P(5-1)=P(4) = x+1 = 5+1=6 bulduk.

Örnek17-A) POLİNOMU DAHA İYİ ANLAYALIM:

P(x+1) = (x+1)İN KARESİ +2   de  P-polinomuna soldaki parantez içindeki x+1 giriyor ve polinomun sonucunda (x+1) in karesi alınarak sonuca 2 ekleniyor.DİYE DÜŞÜNELİM.

Bu durumda ben hemen P(x) i yazabilirim:   P(X)= x kare +2  polinomunu

                                                    P(x+1) =(x+1)in karesi +2 den bulmuş oldum.  

Örnek 17-B) R( aküp -a-1 ) = a -aküp +3 isR(x) i bulalım?????

      Sağa dikkat edelim : (a-aküp+1 +2) deki gibi sabit sayıyı solda olan sabit sayıya göre parçalayalım.

     R(aküp-a-1)     = - (aküp-a -1-2)      de aküp-a-1 = m diyelim

   R(m)                 = -(m-2)  =-m+2  olur.  Şimdi m yerine x yazalım.

  R(x)                                 = 2-x olarak         R(x) i buluruz.

Örnek 18) A( 2X +1) =x+5   den A (x) i bulalım.

    A(2x+1) deki x yerine ne yazalım ki  A(X ) olsun.

   KURAL:  P{(ax+b)  / (cx +d)} DEN  P(x ) İ ELDE ETMEK İÇİN   1NCİ YÖNTEM:

(ax+b)/(cx+d) ifadesinin tersini  verilen ilk P-polinomunda yerine koyarsak; P(x) i buluruz.

(ax+b)/(cx+d) nin tersi = (-dx +b) / (cx-a)  olur.

YANİ   payın xli terimin katsayısı olan  a ile paydanın SABİT SAYISI  olan d sayısı yer ve işaret değiştirir.

2x+1  i   kesir olarak yazalım:   (2x +1 ) / (0x +1 )  olsun.

TERSİ =  (-1*X + 1) / (0*X -2)  = (-X+1) / (-2) = (X-1) /2   OLUR.

*****Yukardaki herzaman işleyen genel kuraldır. Ama payda=1 olan   2x+1 gibi ifadenin tersini bulurken kullanacağımız DAHA BASİT 2NCİ YÖNTEM  şudur: (x+1)  i al , (2x+1) in arasındaki işaretin tersini x in yanına yaz(eksi yap) ve bu ifadeyi x in katsayısına(1/2 ye)  böl :   (x-1) /2  gibi olur  veya hiçbirşey ezberlemeden şöyle tersini bulabiliriz:3NCÜ YÖNTEM

2x+1 in tersi y olsun

2x+1=y diyelim. TersiNİ bulmak için; x yerine y

                                             y yerine x diyelim.

2y+1 =x   den   y yi çekelim.     2y =x-1 

                                            y = (x-1) /2 olarak aynı ifedeyi buluruz.

ÖNCE  2x+1 = y yazdık

SONRA x yerine y, y yerine x yazdık.

SONRA y yi solda yalnız bıraktık  ve y=::::::x  gibi bir ifade bularak TERSİNİ bulmuş olduk. 

ŞİMDİ  SORUYA A(X) İ BULMAYA DÖNELİM:

 A(2x+1)                            =  X         +  5     de          x    YERİNE (x-1)/2 koyalım

A(x)= A(2* {(X-1)/2} +1) = A(X)   = (X-1)/2  +  5  = (X+9)/2  BULURUZ. 

                                   

Örnek19) P(4x +8) = 2X -5     den P(x) ibulalım.

a)  4x+8 in terini yazalım:   x i al ve yanına -8 yaz,  (x-8 ) oldu SONRA (x-8) i x in katsayısı olan 4 e böl

tersi =  (x-8) / 4

b) formülü uygulayalım:  (4x +8) / (0x +1 ) =( -1*x +8) / (-4) =  (8-x) / (-4) = (x-8) /4 aynısı oldu.

c) 4x+8 =y olsun

  4y +8=x  olarak x ve y leri yerdeğiştirdik.

  y =  (x-8) / 4  de y yi  eşitin solunda yalnız bırakarak;  y yi  x li olarak ifade ettik = y yi x in fonksiyonu olarak yazdık =  y =f (x) yaptık

ŞİMDİ   P(X) İ BULMAK ÜZERE SORUYA DÖNELİM. BULDUĞUMUZ TERSİ =(X-8)/4 Ü P(4X+8) POLİNOMUNDA X YERİNE KOYARAK; P(X)İ BULALIM.

P(4 * {(X-8)/4}+8)P(X) = 2 {(X-8)/4} -5  =(X-8) /2 -10/2 = (X-18) /2 OLARAK BULDUK. 

ÖNEMLİ; 19 VE 18 NCİ SORUDAKİ TERSİNİ BULMA İŞLEMİNİ SADECE 1NCİ DERECE POLİNOMLARDA YANİ SADECE X Lİ TERİMİ VE SABİT RAKAMI OLAN İFADELERDE KULLANABİLİRİZ(ax+b  gibi).

2 NCİ VEYA 3NCÜ DERECELİ İFADELERİN TERİNİ BULURKEN; 17NCI SORUDAKİ GİBİ BENZERLİKLER KULLANARAK İLK POLİNOMU YANİ P(X) İNİ BULABİLİRİZ.

Örnek20) P {( 3X + 4) /2} = X-5  İSE    P(2) Yİ BULALIM.

 (3x+4 )/2  nin tersi  =   (-2x+4) /(-3)= (2X-4)/3

P ({3{2X-4)/3} + 4 }/2)=P({2X-4+4)} /2)=P(X) = {(2X-4)/3} -5 = (2X-4-15) /3 = (2X-19)/3  OLDU.

 

                                                                                          

Yorumlar

1)HARUN | 15/12/2015 | 20:12:24
konu çok karışık anlatılmış malesef

Yorum Yaz

İsminiz

Eposta adresiniz

Güvenlik Kodu

Yorumunuz

 
 
 
 
 
Isı ve Sıcaklık21ocak2014YENİ
21ocak2014eklendi. Bitti... »
KaldırmaKuvvetiYeniMart2013
KaldırmaKuvvetiYeniMart2013... »
ÖĞRENCİLER LÜTFEN SORU ve CEVAPLARINI AYNEN KOPYALAMAYINIZZZZZZZZ
KOPYALAMAYINIZZZZZZZZ. ÖGRENCİLER LÜTFEN SORU VE CEVAPLARI AYNEN KOPYALAMAYINIZ... »
Sınav Kolay Başarı Kolay
*Dersin esasını öğrenelim, anlayalım, temel kavram ve yasaları öğrenelim, detaylara boğulmayalım. Ezberlemeyelim. *Yanlış yaptıklarımızın muhakkak doğrusunu öğrenelim, doğrular bizimdir, yanlışkarımızdan öğreniriz. *Konuları çok fazla tekrara gerek yok, amaç günde çok fazla soru yapmak değil ; güzel ve değişik dersanelerin sorularından yapmalıyız. Önemli konuların hepsini 3-4 aydabir sorularla sürekli tekrarlıyor olmalıyız. *Soruları çözerken; zor, normal ve kolay soruları ayırtedebilmeliyiz. Zor veya uzun vakit kaybettirebilecek sorulara boğularak vakit kaybetmemeliyiz. Hedefimize ulaşmak için; her dersten en az kaç soru cevaplamamız gerekiyorsa; önce kolay sorulardan hata yapmadan çözmeliyiz.... »