POLİNOMLAR
09/10/2009  |  10.sınıfMATEMATİK | (4)yorum | 22173 kez okundu.

POLİNOMLAR

A)POLİNOM NEDİR? DERECESİ NASIL BULUNUR ?

KURAL:1)Polinomun katsayıları REEL sayı olmalı, KAREKÖK gibi KÖKLÜ sayı olamaz.

Örnek1)  P(X) = (karekök2) x + 5   polinom değildir.

Çünkü (x) in katsayısı olan (karekök2) reel sayı değildir. Polinomdaki   x  gibi değişkenlerin önündeki katsayılar REEL olmalıdır.  

KURAL:2) Polinomdaki x gibi değişkenlerin üsleri DOĞAL SAYI olmalıdır. (EKSİ ÜS olamaz) Yani üsler, 0,1,2,3,4,..... gibi sıfır veya pozitif tamsayıdırlar.

Örnek2) P(x)=  x  üssü (10 / 6+a)  +  2x (üssü (a-1)  polinomunun derecesi kaç olabilir?

KURAL:3) Polinomun DERECESİ =En YÜKSEK ÜSLÜ olan x gibi değişkenin ÜSSÜ 

2nci kurala göre ; P(x) polinomundaki    x  lerin üsleri sıfır veya pozitif tamsayı olmalıdır.

Kesir halde bulunan üsden başlayalım: (10/ (6+a)) yı kesirden kurtarıp DOĞALSAYI yapmak için;

(6+a) sayısı, 10 u bölebilecek sayı  olmalı: a=1 desek; (6+1)=7 sayısı 10 u bölmez.

                                                                             a=2 desek; 6+2   =8 de 10 u bölmez ve

                                                                             a=3 desek; 6+3 =9 da 10 u bölmez.

                                                                             a=4 desek;  6+4=10 sayısı, 10 u böler, a=4 OLDU ve

 bu durumda polinomun 1nci terimi = x (üssü 1) =x oldu ve x in derecesi =1 oldu.

a=4 olduğunda; 2 nci terim=2x (üssü )a-1)) in üssü = 4-1 =3 olur.

2nci x li değişken terimin derecesi = 3 olur.

SONUÇ olarak; POLİNOMUN DERECESİ=En büyük dereceli x in derecesi    olacağından;

                          polinomun derecesi = 2nci x li değişkenin derecesi =3 olacaktır. 

Örnek3) P (x) = 4x (üssü ( 8 /a) bir POLİNOM ise; a sayısı neler olabilir? 

P(x) in bir polinom olduğu söylenmiştir.

O halde üs = 8/a kesrini , doğal sayı yapacak (a) ları bulmalıyız.

8 i bölecek sayılar :  8, 4, 2 ,1 olacaktır.

(a sayıları ) = { 8, 4, 2, 1}  olur ve

polinomun dereceleri de ={ 8/8=1, 8/4=2, 8/2=4, 8/1=8 } olur.

Örnek4) P(x)= (1 /x ) + (1/x in karesi)   polinom DEĞİLDİR.

* (1/x) =  x  (üssü (-1)) = x in -1 üssüdür. KURAL2) ye göre  x in üssü negatif sayı olamaz.

**(1/x in karesi)= x(üssü)-2)) =x in -2nci üssüdür. KURAL2) ye göre üs EKSİ OLAMAZ. 

SONUÇ: X üsleri doğal sayı (sıfır veya pozitif tamsayılar) OLMADIĞINDAN ; P(x), plinom değildir.  

Örnek4) P(X)= 0 / (karekök 2)  bir POLİNOMdur ve SABİT POLİNOM dur. Hem de SIFIR POLİNOMudur.

KURAL4) sıfırın bir sayıya bölümü sıfırdır.   (0/ karekök2 )= sıfır dır.

DİKKATTTTT (0/0 TANIMSIZdır ve 1/0 belirsizdir. )

KURAL5) Sabit polinomda x veya y gibi değişkenler YOKTUR, yani KATSAYILARI =0 dır.

 Sadece SAYILAR vardır. P(x)=1 veya =2 ,....gibi

Sıfır Polinomda, P(x)=0 dır. 

DİKKATTTT: Sabit polunum derecesi =0 dır. AMA

                    Sıfır Polinomunun derecesi BELİRSİZdir

Örnek5) P(x) = 5    SABİT Fonksiyon ve

               P(x)= 0    SIFIR Fonksiyondur

Örnek6) P(x)= (2m+2) x kare  + (n-3 )x bir SABİT polinomsa  m ve n yi bulalım.

Sabit polinomda  x gibi DEĞİŞKEN ler olmamalı yani x-değişkenlerinin KATSAYISI =0 olmalı.

 2m+2 =0 dan  m=-1   ve  n-3= 0 dan n=3 buluruz.

Örnek7) P(x)= (2m+2) xkare  +(n-3)x + r    SIFIR polinomsa m, n ve r yi bulalım.

Sıfır Polinomun değeri=0 olmalıhem xli değişkenlerin katsayıları= 0 ve hem de sabit terim=0  olmalı.

KURAL6) SABİT TERİM=Polinomda x li değişkeni olmayan sayı dır.

P(x) polinomunun SABİT TERİM= r  dir ve r=0 olmalıdır.  Örnek 6 dan m=-1 ve n=3 bulmuştuk.

Örnek8) P(x) =((xkare)*(x nin küpü) + (x in küpü )*x)) nin karesi  polinomonun DERECESİni bulalım.

DİKKATTT : ((xkare)*(xküp)) üslü sayılarının çarpımı= x (üssü5) olur.(= kare için 2 ve küp için 3 ün toplamı =5 olur)

((xkare)*(xküp))ün karesi =x(üssü5)in karesi = x (üssü5)in 2nci üssü = x(üssü5*2)=x(üssü10) olur.

(+) dan sonraki 2 nci terimin de üssünü bulalım. Hangisi büyükse=polinom derecesi olur.

(x in küpü)*x üslü sayıların çarpımı=(x in 3ncü kuvveti)*(x in1nci kuvveti)=x in 3+1=4ncü kuvveti olur.

(x) in küpü*x)in karesi =(x in 4ncü kuvveti) nin karesi= x(üssü4)ün 2nci üssü=x(üssü4*2)=x(üssü8)

xüssü10 ve xüssü 8 den büyük olan xüssü10 =P(x)in derecesi

KURAL7) ÜSLÜ SAYILARDA ÇARPMA: (x üssü )*(xüssü3) = xüssü5 olur. Çarpmada ÜSLERİ TOPLA.

ÜSLÜ SAYILARDA ÜS ALMA : (xüssü5)in karesi = xüssü 5*2 = xüssü10. ÜS almada ÜSLERİ ÇARP.

Örnek8) P(x)= (x) üssü (8 /2+a)  + x üssü (a-3) polinomunun derecesi kaç olabilir?

ÜSLER DOĞAL SAYI OLMALI: (8/(2+a))  da (2+a) nın sonucu 8 i tam bölmelidir. ve

                                      (a-3)in sonucu da doğal sayı olmalı. 

(a-3) ün sonucu 0 veya pozitif tamsayı olmalıdır. (a en küçük  3 olabilir )veya

                                                                                        (a , 3 e eşit veya büyük olmalıdır)

(a-3) de a=3 se (3-3 )=0  olur ama (8/ (2+3)) = tamsayı OLMAZ.

(a-3) de a=4 se (4-3)=1 doğalsayıdır.  (8/ (4+3))= tamsayı OLMAZ

(a-3) de a=5 se (5-3)=2 doğalsayıdır.(8/(5+3)) =1 tamsayıdır. P(x)= x üssü2 + x üssü1  olur ve

                                                                                 polinomun derecesi = 2  olur.

Örnek9) P(x)= ((x kare+ 2) üssü y ) * (xküp +2x) üssü (4/y) polinomunda derece en yüksek ne olabilir?

(üssü y) ve (üssü 4/y) lere dikkat edelim.

4 ü bölen y lerden 4/y  yi doğal sayı yapan y lere bakalım.

EN KÜÇÜK y=1 deneyelim((xkare+2 ) üssü1)*(xküp+2x)üssü 4/1

                           = (xkare +2)   *( (xküpün 4ncü üssü)+ (2x)in 4ncü üssü )

DİKKAT: X in derecesi,  polinomun derecesinde önemlidir. (xkare+2)deki 2 ve 2x deki 2 gibi sayıların derecesi önemsizdir ve bu sayıları YOK sayalım.

                           =(xkare )  *((x in 3*4 üncü üssü) + (x in 4ncüüssü))

                           =(xkare*x in 12nci üssü)+( xkare* x in 4ncü üssü)

                          = x in 2*12nci üssü      + x in 2*4 ncü üssü = x in 24 ncü üssü + x in 8 nci üssü

POLİNOMUN DERECESİ= (24 ve 8 nci üslerden BÜYÜK olan) 24 ncü derecedir.  

Örnek10) P(a, b ) = ( (a küp)*(b kare) + (a kare)* (b kare)) ün karesi   polinomunun derecesini bulalım. 

 P( a,b) polinomu , a ve b gibi 2 değişken li bir polinomdur.

KURAL8) 2 değişkenli polinomun derecesi = 2 değişkenin üslerinin TOPLAMININ EN BÜYÜĞÜ    

P(a ,b) = ((a nın 3ncü üssü* karesi)*(b nin 2nciüssü*karesi))+((a karenin karesi)*(b karenin karesi)

            =(( a nın 3*2 üssü)*(b nin 2*2 nci üssü))+(( a nın2*2nci üssü)*( b nin 2*2 nci üssü))

           =(( a nın 6 ncıüssü)*(b nin 4ncü üssü))+((a nın 4 ncü üssü)*(b nin 4ncı üssü)) 

P(a,b) nin DERECESİ=  6 + 4 =10  derece    veya        4+4 =8 dereceden BÜYÜK olanı = 10 derece olur.      

Örnek11) P(x)= (x+ x küp)  Polinomunda  P(xkare) polinomunun derecesini bulalım.  

DİKKAT: P(x kare) demek;    P(x) polinomunda x gördüğümüz yere  (xkare ) koymalıyız demektir. 

P(xkare) = ((x kare ) + ((xkare)nin küpü=(x kare) + ( xin 2*3 ncü üssü) = (xkare)+( x in 6ncı üssü)    

P(x) in derecesi = 6  

Örnek12) A(x) in derecesi = B (X) in derecesinin 3 katı  +  2    

 (A(x kare )* B(x küp)) derecesi  = 18 ise; B(x ) in derecesini bulalım.

 

A(x) dercesi =a   ve B(x) in derecesi =b olsun.        

               a                     = 3b            +2     

DENEYELİM::: P(x)= xküp ten P(Xkare) nin derecesini yazalım.

                 P(x ) in derecesi =3 olur ve P(x kare)nin derecesi= (xkarenin) küpü =2*3=6 olur ÇARPTIK

A(xkare) nin derecesi =2 *a = 2* (3b+2)

(A(xkare)* B(xküp) )derecesi =22   ise DENEYELİM: (xkare)*(xküp) derecesi= 2+3=5 olur TOPLADIK  

 = 2*(3b +2) + 3b =18 den b yi bulalım  TOPLADIK

=6b +4 +3b =22  den  b=2 buluruz.                                                     

DENEYELİM: (X in 6ncı üssü ) / (x in 3ncü üssü) = x üssü 6 /x üssü 3  = x ( 6 - 3 =3 ncü üssü) = x küp ÇIKARDIK

Yukardaki örnekte, (A(xkare) / (B(xküp) derecesi) = 22 olsaydı (çarpma yerine bölme olsaydı; toplama yerine çıkartma yapacaktık)

= 2*(3b+2) - 3b =22 den    3b = 18  b =6 buluruz. 

Örnek13) A(x) derecesi =6 ise  A(x üssü 4) polinomunun derecesi kaç olur?

A(x) in en yüksek dereceli x-değişkeninin üssü = A(X) polinomunu derecesi =6 dır.

A (X üssü4 ) için , A (x) polinomunda x yerine (x üssü4) koymalıyız.

A(x) de en yüksek üslü x = A(X)İN DERECESİ OLAN = 6 dır. (x üssü 6 ) daki x yerine (x üssü4) koymalıyız.

A(X üssü 4) için   (xüssü 6) nın  x i yerine (x üssü 4) yazarız. = ( x üssü 4 ) üssü6 = x üssü4*6=xüssü24 olur.

Yani   A( X ÜSSÜ 4 ) ün derecesi =24 olur.

Kural: ÜSLÜ sayıların ÜSSÜ alınırken ; 2 üs ÇARPILIR. (2 ÜSLÜ sayı ÇARPILIRKEN de; üsler TOPLANIR

          (x üssü2 )nin 3ncü üssü = x üssü 2*3 =x üssü6  AMA  (x üssü2)*(x üssü3) = x üssü(2+3)=(xüssü 5)

Örnek14-A) A(x)= (2x üssü4 + x)üssü3 + 5 x üssü8   polinomunun derecesini bulalım. 

+ nın solundaki 1nci terimde  (2x üssü4 + x)üssü3  te 2 gibi katsayıyla ilgilenmiyoruz ve EN YÜKSEK DERECELİ X ile ilgilendiğimizden;

(x üssü 4 ) üssü 3 ü sadece hesaplarız. = x üssü 4*3 = xüssü12 olur.

**(x üssü12) ile 2nci terim olan (x üssü 8) den üssü büyük olan yani 12 = A(x) polinomunun DERECESİ olur.

14-B) B(x) = (((2 x üssü 3 )- (3x üssü4+x üssü3)) üssü2)) * (3x+2) üssü3  ün derecesini bulalım. (ÇARPMAYA DİKKAT,  A) şıkkında arada + vardı)

* nın solundaki 1nci terimde  (xüssü3) ve (x üssü4 ) den derecesi büyük olan  (x üssü4)ü alırız. 2 ve 3 gibi sayılarla uğraşmayız. (x üssü4 ) üssü2 = (x üssü4*2) = x üssü8

* nın sağındaki 2nci terimde en büyük üslü (x) üssü 3 ) ü alırız. 

B(x) in derecesi= (xüssü8) ile (x üssü3) çarpımının üssü= (x üssü8+3) =x üssü 11  olur.

14-C) N(X) = (a kare )* (b küp)  + 2*b *(a küp) + 3* (a üssü4)*(b üssü5)... polinomunu derecesini bulalım.

2 tane + işleminin ayırdığı 3 terimin  en büyük üslerini bulalım.

1nci terim olan (a kare)*(b küp) ün derecesi = 2 +3=5  dir.

2nci terim olan 2*b*(a küp) ün derecesi = 1 +3 =4 dür.

3 ncü terim olan  3* (a üssü4)*(b üssü5) ün derecesi = 4 + 5 =9 dur.

N(x) polinomunun derecesi = 5 ve 4 ile 9 un en BÜYÜĞÜDÜR = 9 olur.

Örnek15) A(x)= (Karekök x)............(A(x) polinom değildir, x-değişkeninin üsleri DOĞAL SAYI olmalı yani ya SIFIR  ya da POZİTİF TAMSAYILAR olmalı.   (karekök X)= x üssü 1/2  demek tir. Yani x in üssü kesirli sayı olmuştur.

B(x)= 1/x    + 1/ x kare  ......B(x) polinom değildir, x-değişkeninin üssü  DOĞAL SAYI değildir,

1/ x =  x üssü(-1) olur, x-değişkeninin üssü NEGATİF sayı olmuştur.

1/ xkare = x üssü(-2) olur, x-değişkeninin üssü NEGATİF SAYI olmuştur.

SONUÇ OLARAK; X-değişkeninin üssü,  karekök, küpkök gibi sayılar ve negatif sayılar  OLMAMALI 

AMA x-değişkenlerinin önündeki katsayılar kareköklü, küpköklü,,, veya ondalık veya rasyonel sayı OLABİLİR.

C(x)= (küpkök3)* x kare  + 0,6 x +  (karekök2) .... C(x) polinomdur. x-değişkeninin üslerinin hepsi POZİTİF TAMSAYIlardır. x kare nin üssü=+2   ve x in üssü =+1 dir.

x-değişkenlerinin önündeki sayılar, yani KATSAYILARI  reel sayılar olmalıdır,

(xkare) nin önündeki katsayı =(küpkök3)  olabilir, (küpkök3) bir reel sayıdır.

x in katsayısı =0,6 olabilir. 0,6 bir ondalık sayıdır, veya 6/10 olarak düşünürsek rasyonel sayıdır.

Ondalık ve rasyonel sayılar da reel sayıların içindedir. En büyük gerçek sayı ya da reel sayılar kümesidir.    

D(x)=(küpkök 6).....D(x) bir polinomdur. İçinde x-değişkeni olmayan polinom ,SABİT POLİNOMdur ve derecesi=0 dır. 

E(x) = 0 / (karekök2)...E(x) polinomu SIFIR Polinomudur ve derecesi BELİRSİZdir

( pay=0 ve payda bir sayıysa, bu kesrin değeri=0 dır DAİMA.)   0/5=0  ve     0/ (küpkök3) =0  ların da sonucu =0 dır. AMA 0/0=TANIMSIZdır.

F(x) = 26.... SABİT Polinomdur.

G(x)=  2 + karekök6   da SABİT polinomdur.

H(x)= xkare - (xküp) /2  +  (1/x)  polinom değildir. 

xkare nin üssü=+2   ve xküp ün üssü =+3 olup doğal sayıdır, ama x in üssü =(-1) olup NEGATİF SAYI olduğundan polinom DEĞİLDİR.

K(x)= (karekök x)* (karekök x),   de önce çarpma işlemini yapıp sonra polinomluğuna bakalım.

K(x)= x    oldu, x-değişkeninin üssü =+1 yani doğal sayıdır ve K(x) bir polinomdur.

L(x) = (karekök (-16)) x....   polinom değildir. Polinomda x-değişkenlerinin  katsayıları ve sabit sayılar REEL(GERÇEK) sayılar olmalı. DİKKATTTT karekök (-16) sonucu bir gerçek sayı değildir.

KURAL:1) karekök , 4 ncü, 6ncı kök gibi ÇİFT SAYILI KÖKler içindeki sayılar NEGATİF OLAMAZ, (negatif  OLURSA , SONUÇ=REEL OLMAYAN SAYIdır) 

DÜŞÜNELİM: (-2) ve (+2) nin karesi de +4 tür. karesi negatif sayı olan bir GERÇEK  sayı bulamayız AMA küpü negatif olan bir sayı bulabiliriz.  (-3 ) ün küpü= (-27) gibi. O halde

KURAL2) küpkök, 5nci, 7nci kök gibi TEK SAYILI KÖKler içindeki sayı NEGATİF OLABİLİR, SONUC=GERÇEK SAYIdır

 M(x) = (küpkök (-125)... SABİT Polinomdur. Çünkü (küpkök(-125))  GERÇEKTİR ve =(-5) dir.

N(x) = karekök (x küp)   ...polinom değildir. x-değişkeninin üssü = x üssü (3/2) olan rasyoneldir, (doğal sayı değildir.)

KURAL: Karekök(xküp) sayısını üslü sayı olarak yazarken;

 karekök içindeki xküpün üssü olan 3 ü PAYA yazarız.

Paydaya da; xküpün dışındaki kök almanın derecesi olan =2 yi yazarız.

Yani bir sayıyı KÖK ALMADAn KURTARIP üslü sayı olarak yazmak istersek; üssün pay ve paydasını bu şekilde yazarız.   

B-1) P(X) ,POLİNOMUNDA KATSAYILAR TOPLAMI = P(1) dir

yani P(x) polinomunda ;paranteziçinde ve eşitliğin sağındaki tüm x'lerde x=1 yapmak, x gördüğümüz yere 1 koymaktır.  

P(X)= xkare  +2x+ 3   den   P(1)= 1 in karesi +2*1 +3 =6=katsayılar toplamıdır.

B-2) P(X), POLİNOMUNDA SABİT TERİM =P(0)

yani P(X) polinomunda, parantez içi ve eşitliğin sağındaki x'li ifadedeki x'lerin yerine   x=0 yapmaktır. 

P(0)= 0 ın karesi + 2*0 + 3 =3 = sabit terim

B-3) P(X), POLİNOMUNDA derecesi =ÇİFT OLAN xlerin KATSAYI TOPLAMI= ((P(1) +P (-1)) / 2  dir.

P(-1) = (-1)in karesi +2* (-1) + 3 = 1 -2 +3 =2

Derecesi ÇİFT olan x'lerin katsayı toplamı((6) + (2))  / 2 = 4

B-4)Derecesi TEK olan x'lerin katsayı Toplamı= katsayılar toplamı - derecesi ÇİFT olan x'lerin katsayı toplamı

                                                                          =P(1)                         - ((P(1) + P(-1)) / 2

 

                                                                           =6                          -       4        

                                                                           =2

Örnek16)  P(x) = xküp  + 2x +2 dir.   P(X+3) polinomunun sabit terimini bulalım.

KURAL) P(X+3) polinomunun SABİT TERİMİNİ bulmak için; parantez içine x=0 yazmalıyız. 

Sabit terim = P(0+3) = P(3 ) = (3)ün küpü +2*3 +2 = 27 + 6 +2 =35 

***P(X+3) Ün  KATSAYILAR TOPLAMINI bulmak istesek; x=1 yazmalıyız: P(1+3)= P(4) bulmalıyız.

P(4)= (4)ün küpü + 2*4 +2 = 64 + 8 +2 =74 buluruz.

C) POLİNOMLARDA EŞİTLİK ve DÖRT İŞLEM ve KALAN

C-1) Polinomların Eşitliği =DERECESİ AYNI olan polinomlarda

                                                         Aynı dereceli x'lerin KATSAYILARI da AYNIYSA, Polinomlar eşittir.

Örnek17) A(x) = B(x) polinomlar eşittir. A(x) = a(xküp) + (b-2) x +2

                                                          B(x)= -2 (xküp) + c    

polinomlarından a, b ve  c  yi bulalım.

***A(x) ve B(x) polinomları eşit verilmiştir.Gerçekten 2 sinin dereceleri eşittir =3

O halde ; xküp lerin katsayıları da eşit olmalıdır:  a = -2

             x lerin katsayıları da eşit olmalıdır:   b-2 =0   b=2

            sabit terimlerde eşit olmalıdır:          c=2   

Örnek18) (x-2)* (bx+4 ) =2(xkare) +4x +c  den  a ve c yi bulalım.

SOLDAKİ *  HALİNDEKİ  parantezli işlemleri çarparak POLİNOMA dönüştürelim, yani a(xkare)+bx+c gibi yazalım.

a(xkare) +4x -2bx -8 = 2(xkare) +4x+c (x li olan 2 terimi(4x ve (-2bx)i 1 parantezde toplayalım)

a(xkare) + (4-2b) x -8 = 2(xkare) +4x+c  

a=2     4-2b =4  den 0=b   ve   -8=c  buluruz.

Örnek19-A) ZOR BİR ŞEY YAPALIM:

     ( x+5) /( (xkare)-1 ) =    A / (x-1) + B/(x+1)   den     A+B=?  

SAĞDAKİ KESİRLERİN PAYDASINI EŞİTLEYELİM: (x-1)i (x+1) ile çarpalım

                                                               (x+1) i (x-1) ile çarpalım

                                             =(A*(x+1) / ((x-1)*(x+1))) + (B*(x-1) / ((x+1)*(x-1)))  

                                            =(Ax+A)) /((xkare)-1) + ((Bx-B)/((xkare)-1) olur ve

 SOLDAKİ  kesir PAYDASI (xkare-1) =SAĞDAKİ kesirin PAYDASİ(xkare-1) ise PAYLARI DA EŞİTLERİZ:  

(x+5)                                  = (Ax+A) + (Bx-B)  sağı DÜZENLERİZ:( xli sayıları ve sabitleri biraraya TOPLarız.)

                                        =(A+B)x + (A-B)

   1 = A+B   ve 5 =A-B  den     taraf tarafa toplayıp   6 = 2A+B-B =2A  ve A=3 Buluruz.

   1 = 3+B den   B=-2 olur. 

SONUÇ OLARAK;  (x+5) / ((xkare)-1) kesrini = 3/ (x-1) +(-2)/(x+1) gibi 2 kesrin TOPLAMI olarak yazmak çok sık isteyebiliriz. Bu yolu kullanacağız.  

Aslında bu yöntemi KOLAY  şöyle de uygulayabiliriz.(x+5) /(kkare -1) = A /(x-1) + B / (x+1)

de solun paydasını çarpanlara ayır. KURAL = (xkare -1 ) = (x-1)*(x+1) olur.

(x+5) / (x-1)* (x+1) = A/ (x-1) + B/ (x+1)  sağdaki A yı bulmak için; A nın paydasını =SIFIR yapan x=1 değerini soldaki x yerine koyarız.AMA kesrin tanımsız olmaması için; soldaki paydadan (x-1) i ATARIZ.

(x-1)i paydadan ATALIM  ve (x+5) / (x+1) de x=1 yapıp A yı buluruz= (1+5) / (1+1) = 6/2 =3=A buluruz.

B yi =0 yapan x=-1 değerini soldaki x yerine koyarız ve solun paydasından (x+1) i ATARIZ.

(x+1) i paydadan ATALIM ve (x+5) / (x-1) de x=-1 yapıp B yi buluruz. (-1 +5) / (-1-1) =4 /(-2) =-2 =B 

Örnek19-B) (x+6 ) / (x-2)nin karesi  ifadesini  A-şıkkında yaptığımız gibi 2 kesrin TOPLAMI gibi yapalım.

KURAL)Paydada (x-2)nin karesi gibi  TAMKARE ifadesi varsa, kural biraz değişiktir.

(x+6) / (x-2 )nin karesi =  A /(x-2 )  + (Bx +C ) / (x-2)nin karesi yazarız ve A şıkkındaki gibi polinom

EŞİTLİĞİNDEN çözeriz.

KURALLA İLGİLİ OLARAK) A-Sabit sayı ve derecesi=0  ve paydasının derecesi = pay derecesi +1 =0+1=1 olmalı  ve

                                         (Bx+C) NİN Derecesi =1  çünkü  paydasının derecesi =2  olmalı  bu bir kural

Örneğin ;                    P / ( x-1)kare  =  K /(x-1)  + (Lx+M) / (x-1)karesi olarak yazacaktık.   

                               =sağın PAYDALARINI EŞİTLEYELİM VE A/ (X-2) nin pay ve paydasını (x-2) ile çarpalım.

                               = (A(X-2  ) + ( Bx +C)) / ( x-2)nin karesi   oldu ve paydalar eşitlenince PAYLARI EŞİT YAZABİLİRİZ: (x+6) = Ax -2A +Bx +C sağı düzenleyelim

                          =(A+B)x + (-2A+C)  olur.

x lerin katsayısını eşitleyelim:   1 = A+B   ve sabit sayıların eşitliğinden de 6=-2A+C olur. Burada A,B ve C GİBİ 3 bilinmeyen ve 2 denklem oldu. (3 bilinmeyen ve 3 denklem olsaydı; A,B ve C yi bulabilirdim, şu an bulamam AMA  1 denklem daha uydurursam, bulabilirim 

 örneğin ; A+B-C=4 olsun. BU DENKLEMDE 1=A+B yazalım ve C=-4 olur.

              6=-2A+C  de C=-4 yazalım   2A = -6 -4 =-10 dan  A=-5 olur.

             1 = A+B den 1=-5 +B DEN                                           B=6 olur.

Örnek20)Polinomlarda TOPLAMA ve ÇIKARMA yapalım. AYNI DERECELİ x lerin KATSAYILARINI toplayıp çıkarırız.

P(x) = 2xkare + 3x + 4  

 R(x)= 3xkare -2x -1

P(x) + R(x) = (2+  3)Xkare +(3-2)x + (4-1) = 5xkare +x+3

P(x)-R(x)=    (2-3)xkare +(3-(-2))x ++4-(-1)) = -xkare +5x +5

Şimdi de 2 polinomu çarpalım:

 P(X)*R(x) =3terimli P(x) *3terimli R(x) =9 terimli P(x)*R(X) VE çarpımın DERECESİ

= EN yüksek P(X)in x li teriminin derecesi * en yüksek dereceli R(x) in x li terimi=2*2=4 derece olacaktır. 

P(x)*R(x)= 2xkare*(3xkare -2x-1 )

               +3x*(3xkare-2x-1)

                +4*(3xkare-2x-1)

              =2*3(xkare*xkare)+(2xkare*(-2x)) -2xkare

               +((3*3)*(x*xkare)) +(3*(-2))*(x*x)-3x

              +4*3xkare -4*2x - 4

             =6( x in 4ncü üssü)- 4xküp -2xkare

              +9xküp -6xkare-3x

              +12 xkare -8x-4

             = 6(x üssü4)  +5xküp  +4xkare -11x -4

Örnek21) A(x) = 3xküp +2x +1

            B(x) = 2x kare +xüssü4      ise;  A(x)*B(X) ÇARPIMINDA (xüssü5) in katsayısını bulalım.

(xüssü5 ) li terimin katsayısı 2 yerden gelebilir. (3xküp)*(2xkare) =6xüssü5

                                                              (2x)*(xüssü4)    =2x üssü5

A(x)*B (x) çarpımında (xüssü5) li terimin katsayısı = (6+2) xüssü5 = 8 xüssü5

D)POLİNOMLARDA BÖLME( HORNER METODU ile)

A(x) = 3xküp + 4 xkare -2x +5  i 

B(x)(x-1 ) e Horner metoduyla BÖLELİM.

Polinomun katsayılarını yazalım.

                                                                          3                         4                         -2                    5

 (x-1) =0  yapan  1 i de yazalım      1

                                  3 ü aşağı inelim.           3              1*3=3                      -14                 -16

                                  4+3 =7 toplayalım                                   7

                                 7 * (-2) = -14 çarpalım

                              (-2)+ (-14)= -16topladık

                               5+(-16)  = -11 =BÖLMENİN KALANI   ve

                                       C(x)=  BÖLÜM =3 xkare + 7x   -14                                                       

 BÖLME KURALI)       A(x)    = B(x) *       C( X) +              K (x)

 3xküp + 4xkare - 2x + 5   =(x-1)  * ( 3xkare + 7x -14 ) +  (-16 )

   3ncü derece    Bölünen = 1nci derece BÖLEN * 2nci derece BÖLÜM + SIFIRıncı derece KALAN

DİKKATTTT: 1NCİ derece BÖLEN ile 2nci derece BÖLÜMün çarpım EN BÜYÜKderecesi = Bölünen derecesi =3 olmalı

a) Bölenin derecesi, BÖLÜNENİN derecesinden KÜÇÜK veya en fazla EŞİTtir.

Bölünenin derecesi =3 Bölenin derecesi=1

b)KALANın derecesi, BÖLENİN derecesinden 1 derece küçüktür.( kalanın derecesi=0, bölenin derecesi=1)

Dikkat...Hohner metodonda; BÖLÜM polinomu (x-1) gibi 1nci derece veya 1nci derece çarpanları olan polinom OLMALI, Hohner HERZAMAN uygulanamıyor.

Örneğin; Bölen= (xkare -1) ise (xkare-1) = (x-1)* (x+1) diye 2 tane 1nci çarpanlara ayırırız ve Hohner i x=1 ve x=-1 için 2 kere arka arkaya uygularız.

    A(x) =   3xküp +   2x +   4   ü B(x) = xkare-1 e bölelim. Önce (x-1 ) e bölmek için x=1 i Hohnerle yapalım 

DİKKAT: HOHNER de  aşağıdaki 3, 0, 2,4  sayılarını yazarken; xkare gibi A(x) de olmayan x lerin katsayıları yerine SIFIR YAZMAYI UNUTMAYALIM.

                           0              2                  4      

  1                   1*3=3         1*3=3           1*5=5

              3        0+3=3        2+3=5          4+5=9

A (x ) in (x-1) e bölümü =B(x) = 3 xkare + 3x + 5   ve  KALAN=9 olur.   BİRİNCİ HOHNER SONUCU

2nci Hohner i ;  1nci hohner bölümü olan  B(x) =3xkare +3x+5  i   (x+1) e bölmek için  x=-1 ile yapalım.

 

                         3                     3                               5

  -1                               -1*3=-3                -1*0 =0

                       3           3+(-3)=0                 5+0 =5

B(x) in (x+1) e bölümü olan 2nci hohner sonucu BÖLÜM= C(x) = 3x +0   ve  KALAN =5  olur.

SONUÇ :  A (x) = (xkare-1 ) *3x  + son kalan

                           =(xkare-1 )*3x (2nci hohner bölüm)+son kalan

 SON KALAN = (2.hohner kalanı olan 5)* (1.hohner böleni olan (x-1)) + 1nci hohner kalanı olan 9 

A(x)= 3xküp + 2x+  4 = (xkare-1) * 3x + (5*(x-1)+9)= (xkare-1)* 3x +( 5x+4) buluruz.

HERZAMAN UYGULAYABİLECEĞİMİZ BÖLMEYİ UYGULAYIP AYNI SONUCU BULALIM.

3xküp  + 2x +4  /   (xkare-1)  = 3x  ( xkareyi neyle çarpıp 3xküp ü buluruz diye sorup  3x  i buluruz.)

                                          Sonra 3x * (xkare-1) = 3xküp -3x çarpıp soldaki bölünenden çıkarırız.

 

3xküp +2x +4  den  (3xküp -3x ) ÇIKARIRIZ. = 2x +4 +3x = 5x +4 çıkar . Şimdi SOLDA 5x+4 = BÖLÜNEN olur.

5x +4  ü          / (xkare-1 ) e bölebilir miyiz? HAYIR Bölemeyiz. Bölünen =5x+4 ün derecesi=1, bölen derecesi=2 den KÜÇÜK olduğundan BÖLME BİTER . KALAN=5x+4

A(x) = 3xküp + 2x + 4 = (xkare-1) * 3x  +    ( 5x+4 )

      = BÖLÜNEN         = BÖLEN    *  BÖLÜM + KALAN

SAYILARLA YAPTIĞIMIZ BÖLME GİBİ UYGULADIĞIMIZ BU BÖLMEYİ HER ZAMAN UYGULAYABİLİRİZ.

E) BÖLMELERDE KALAN BULMA

Örnek22)  (x-2 ) A( x) = x+5 +k ise,   A(x) in (x+2) ile bölümünden kalanı bulalım. 

KURAL) A(-2) = A(x) in (x+2) ile bölümünden KALANı verir.

 x+2 =0 dan x=-2 yi x yerine koyup A (-2)yi buluruz. 

 (-2-2 ) A (-2) = (-2) +5 +k  dan     

-4 A(-2)=3+k  ve  A(-2) = (3+k) / (-4)

Ama  k yı bulmalıyız. Eşitliğin solunu =0 yapacak x değeri=2 için A(2)yi bulalım

(2-2)A(2) = 2 +5 +k dan    0=7+k  ve k=-7 buluruz.  A (-2)=(3-7)/-4 =1

Yorumlar

1)merve | 10/11/2013 | 21:11:46
iğrenç bir site berbatt...
2)merve | 10/11/2013 | 21:11:07
Bu ne yaa 3 x küp yapmışsınız insan üstüne yapar x kare berbat anlatılmış
3)melis | 14/12/2013 | 15:12:15
(akıllım yazılmıyor olabilir) ödevim için yardımcı oldu sağolun
4)Engin Beyazgül | 24/07/2017 | 01:07:29
üzerinde uğraşılmış bir anlatım emeğinize sağlık

Yorum Yaz

İsminiz

Eposta adresiniz

Güvenlik Kodu

Yorumunuz

 
 
 
 
 
Isı ve Sıcaklık21ocak2014YENİ
21ocak2014eklendi. Bitti... »
KaldırmaKuvvetiYeniMart2013
KaldırmaKuvvetiYeniMart2013... »
ÖĞRENCİLER LÜTFEN SORU ve CEVAPLARINI AYNEN KOPYALAMAYINIZZZZZZZZ
KOPYALAMAYINIZZZZZZZZ. ÖGRENCİLER LÜTFEN SORU VE CEVAPLARI AYNEN KOPYALAMAYINIZ... »
Sınav Kolay Başarı Kolay
*Dersin esasını öğrenelim, anlayalım, temel kavram ve yasaları öğrenelim, detaylara boğulmayalım. Ezberlemeyelim. *Yanlış yaptıklarımızın muhakkak doğrusunu öğrenelim, doğrular bizimdir, yanlışkarımızdan öğreniriz. *Konuları çok fazla tekrara gerek yok, amaç günde çok fazla soru yapmak değil ; güzel ve değişik dersanelerin sorularından yapmalıyız. Önemli konuların hepsini 3-4 aydabir sorularla sürekli tekrarlıyor olmalıyız. *Soruları çözerken; zor, normal ve kolay soruları ayırtedebilmeliyiz. Zor veya uzun vakit kaybettirebilecek sorulara boğularak vakit kaybetmemeliyiz. Hedefimize ulaşmak için; her dersten en az kaç soru cevaplamamız gerekiyorsa; önce kolay sorulardan hata yapmadan çözmeliyiz.... »