POLİNOMLAR
09/10/2009  |  10.sınıfMATEMATİK | (5)yorum | 23584 kez okundu.

POLİNOMLAR

A)POLİNOM NEDİR? DERECESİ NASIL BULUNUR ?

KURAL:1)Polinomun katsayıları REEL sayı olmalı, KAREKÖK gibi KÖKLÜ sayı olamaz.

Örnek1)  P(X) = (karekök2) x + 5   polinom değildir.

Çünkü (x) in katsayısı olan (karekök2) reel sayı değildir. Polinomdaki   x  gibi değişkenlerin önündeki katsayılar REEL olmalıdır.  

KURAL:2) Polinomdaki x gibi değişkenlerin üsleri DOĞAL SAYI olmalıdır. (EKSİ ÜS olamaz) Yani üsler, 0,1,2,3,4,..... gibi sıfır veya pozitif tamsayıdırlar.

Örnek2) P(x)=  x  üssü (10 / 6+a)  +  2x (üssü (a-1)  polinomunun derecesi kaç olabilir?

KURAL:3) Polinomun DERECESİ =En YÜKSEK ÜSLÜ olan x gibi değişkenin ÜSSÜ 

2nci kurala göre ; P(x) polinomundaki    x  lerin üsleri sıfır veya pozitif tamsayı olmalıdır.

Kesir halde bulunan üsden başlayalım: (10/ (6+a)) yı kesirden kurtarıp DOĞALSAYI yapmak için;

(6+a) sayısı, 10 u bölebilecek sayı  olmalı: a=1 desek; (6+1)=7 sayısı 10 u bölmez.

                                                                             a=2 desek; 6+2   =8 de 10 u bölmez ve

                                                                             a=3 desek; 6+3 =9 da 10 u bölmez.

                                                                             a=4 desek;  6+4=10 sayısı, 10 u böler, a=4 OLDU ve

 bu durumda polinomun 1nci terimi = x (üssü 1) =x oldu ve x in derecesi =1 oldu.

a=4 olduğunda; 2 nci terim=2x (üssü )a-1)) in üssü = 4-1 =3 olur.

2nci x li değişken terimin derecesi = 3 olur.

SONUÇ olarak; POLİNOMUN DERECESİ=En büyük dereceli x in derecesi    olacağından;

                          polinomun derecesi = 2nci x li değişkenin derecesi =3 olacaktır. 

Örnek3) P (x) = 4x (üssü ( 8 /a) bir POLİNOM ise; a sayısı neler olabilir? 

P(x) in bir polinom olduğu söylenmiştir.

O halde üs = 8/a kesrini , doğal sayı yapacak (a) ları bulmalıyız.

8 i bölecek sayılar :  8, 4, 2 ,1 olacaktır.

(a sayıları ) = { 8, 4, 2, 1}  olur ve

polinomun dereceleri de ={ 8/8=1, 8/4=2, 8/2=4, 8/1=8 } olur.

Örnek4) P(x)= (1 /x ) + (1/x in karesi)   polinom DEĞİLDİR.

* (1/x) =  x  (üssü (-1)) = x in -1 üssüdür. KURAL2) ye göre  x in üssü negatif sayı olamaz.

**(1/x in karesi)= x(üssü)-2)) =x in -2nci üssüdür. KURAL2) ye göre üs EKSİ OLAMAZ. 

SONUÇ: X üsleri doğal sayı (sıfır veya pozitif tamsayılar) OLMADIĞINDAN ; P(x), plinom değildir.  

Örnek4) P(X)= 0 / (karekök 2)  bir POLİNOMdur ve SABİT POLİNOM dur. Hem de SIFIR POLİNOMudur.

KURAL4) sıfırın bir sayıya bölümü sıfırdır.   (0/ karekök2 )= sıfır dır.

DİKKATTTTT (0/0 TANIMSIZdır ve 1/0 belirsizdir. )

KURAL5) Sabit polinomda x veya y gibi değişkenler YOKTUR, yani KATSAYILARI =0 dır.

 Sadece SAYILAR vardır. P(x)=1 veya =2 ,....gibi

Sıfır Polinomda, P(x)=0 dır. 

DİKKATTTT: Sabit polunum derecesi =0 dır. AMA

                    Sıfır Polinomunun derecesi BELİRSİZdir

Örnek5) P(x) = 5    SABİT Fonksiyon ve

               P(x)= 0    SIFIR Fonksiyondur

Örnek6) P(x)= (2m+2) x kare  + (n-3 )x bir SABİT polinomsa  m ve n yi bulalım.

Sabit polinomda  x gibi DEĞİŞKEN ler olmamalı yani x-değişkenlerinin KATSAYISI =0 olmalı.

 2m+2 =0 dan  m=-1   ve  n-3= 0 dan n=3 buluruz.

Örnek7) P(x)= (2m+2) xkare  +(n-3)x + r    SIFIR polinomsa m, n ve r yi bulalım.

Sıfır Polinomun değeri=0 olmalıhem xli değişkenlerin katsayıları= 0 ve hem de sabit terim=0  olmalı.

KURAL6) SABİT TERİM=Polinomda x li değişkeni olmayan sayı dır.

P(x) polinomunun SABİT TERİM= r  dir ve r=0 olmalıdır.  Örnek 6 dan m=-1 ve n=3 bulmuştuk.

Örnek8) P(x) =((xkare)*(x nin küpü) + (x in küpü )*x)) nin karesi  polinomonun DERECESİni bulalım.

DİKKATTT : ((xkare)*(xküp)) üslü sayılarının çarpımı= x (üssü5) olur.(= kare için 2 ve küp için 3 ün toplamı =5 olur)

((xkare)*(xküp))ün karesi =x(üssü5)in karesi = x (üssü5)in 2nci üssü = x(üssü5*2)=x(üssü10) olur.

(+) dan sonraki 2 nci terimin de üssünü bulalım. Hangisi büyükse=polinom derecesi olur.

(x in küpü)*x üslü sayıların çarpımı=(x in 3ncü kuvveti)*(x in1nci kuvveti)=x in 3+1=4ncü kuvveti olur.

(x) in küpü*x)in karesi =(x in 4ncü kuvveti) nin karesi= x(üssü4)ün 2nci üssü=x(üssü4*2)=x(üssü8)

xüssü10 ve xüssü 8 den büyük olan xüssü10 =P(x)in derecesi

KURAL7) ÜSLÜ SAYILARDA ÇARPMA: (x üssü )*(xüssü3) = xüssü5 olur. Çarpmada ÜSLERİ TOPLA.

ÜSLÜ SAYILARDA ÜS ALMA : (xüssü5)in karesi = xüssü 5*2 = xüssü10. ÜS almada ÜSLERİ ÇARP.

Örnek8) P(x)= (x) üssü (8 /2+a)  + x üssü (a-3) polinomunun derecesi kaç olabilir?

ÜSLER DOĞAL SAYI OLMALI: (8/(2+a))  da (2+a) nın sonucu 8 i tam bölmelidir. ve

                                      (a-3)in sonucu da doğal sayı olmalı. 

(a-3) ün sonucu 0 veya pozitif tamsayı olmalıdır. (a en küçük  3 olabilir )veya

                                                                                        (a , 3 e eşit veya büyük olmalıdır)

(a-3) de a=3 se (3-3 )=0  olur ama (8/ (2+3)) = tamsayı OLMAZ.

(a-3) de a=4 se (4-3)=1 doğalsayıdır.  (8/ (4+3))= tamsayı OLMAZ

(a-3) de a=5 se (5-3)=2 doğalsayıdır.(8/(5+3)) =1 tamsayıdır. P(x)= x üssü2 + x üssü1  olur ve

                                                                                 polinomun derecesi = 2  olur.

Örnek9) P(x)= ((x kare+ 2) üssü y ) * (xküp +2x) üssü (4/y) polinomunda derece en yüksek ne olabilir?

(üssü y) ve (üssü 4/y) lere dikkat edelim.

4 ü bölen y lerden 4/y  yi doğal sayı yapan y lere bakalım.

EN KÜÇÜK y=1 deneyelim((xkare+2 ) üssü1)*(xküp+2x)üssü 4/1

                           = (xkare +2)   *( (xküpün 4ncü üssü)+ (2x)in 4ncü üssü )

DİKKAT: X in derecesi,  polinomun derecesinde önemlidir. (xkare+2)deki 2 ve 2x deki 2 gibi sayıların derecesi önemsizdir ve bu sayıları YOK sayalım.

                           =(xkare )  *((x in 3*4 üncü üssü) + (x in 4ncüüssü))

                           =(xkare*x in 12nci üssü)+( xkare* x in 4ncü üssü)

                          = x in 2*12nci üssü      + x in 2*4 ncü üssü = x in 24 ncü üssü + x in 8 nci üssü

POLİNOMUN DERECESİ= (24 ve 8 nci üslerden BÜYÜK olan) 24 ncü derecedir.  

Örnek10) P(a, b ) = ( (a küp)*(b kare) + (a kare)* (b kare)) ün karesi   polinomunun derecesini bulalım. 

 P( a,b) polinomu , a ve b gibi 2 değişken li bir polinomdur.

KURAL8) 2 değişkenli polinomun derecesi = 2 değişkenin üslerinin TOPLAMININ EN BÜYÜĞÜ    

P(a ,b) = ((a nın 3ncü üssü* karesi)*(b nin 2nciüssü*karesi))+((a karenin karesi)*(b karenin karesi)

            =(( a nın 3*2 üssü)*(b nin 2*2 nci üssü))+(( a nın2*2nci üssü)*( b nin 2*2 nci üssü))

           =(( a nın 6 ncıüssü)*(b nin 4ncü üssü))+((a nın 4 ncü üssü)*(b nin 4ncı üssü)) 

P(a,b) nin DERECESİ=  6 + 4 =10  derece    veya        4+4 =8 dereceden BÜYÜK olanı = 10 derece olur.      

Örnek11) P(x)= (x+ x küp)  Polinomunda  P(xkare) polinomunun derecesini bulalım.  

DİKKAT: P(x kare) demek;    P(x) polinomunda x gördüğümüz yere  (xkare ) koymalıyız demektir. 

P(xkare) = ((x kare ) + ((xkare)nin küpü=(x kare) + ( xin 2*3 ncü üssü) = (xkare)+( x in 6ncı üssü)    

P(x) in derecesi = 6  

Örnek12) A(x) in derecesi = B (X) in derecesinin 3 katı  +  2    

 (A(x kare )* B(x küp)) derecesi  = 18 ise; B(x ) in derecesini bulalım.

 

A(x) dercesi =a   ve B(x) in derecesi =b olsun.        

               a                     = 3b            +2     

DENEYELİM::: P(x)= xküp ten P(Xkare) nin derecesini yazalım.

                 P(x ) in derecesi =3 olur ve P(x kare)nin derecesi= (xkarenin) küpü =2*3=6 olur ÇARPTIK

A(xkare) nin derecesi =2 *a = 2* (3b+2)

(A(xkare)* B(xküp) )derecesi =22   ise DENEYELİM: (xkare)*(xküp) derecesi= 2+3=5 olur TOPLADIK  

 = 2*(3b +2) + 3b =18 den b yi bulalım  TOPLADIK

=6b +4 +3b =22  den  b=2 buluruz.                                                     

DENEYELİM: (X in 6ncı üssü ) / (x in 3ncü üssü) = x üssü 6 /x üssü 3  = x ( 6 - 3 =3 ncü üssü) = x küp ÇIKARDIK

Yukardaki örnekte, (A(xkare) / (B(xküp) derecesi) = 22 olsaydı (çarpma yerine bölme olsaydı; toplama yerine çıkartma yapacaktık)

= 2*(3b+2) - 3b =22 den    3b = 18  b =6 buluruz. 

Örnek13) A(x) derecesi =6 ise  A(x üssü 4) polinomunun derecesi kaç olur?

A(x) in en yüksek dereceli x-değişkeninin üssü = A(X) polinomunu derecesi =6 dır.

A (X üssü4 ) için , A (x) polinomunda x yerine (x üssü4) koymalıyız.

A(x) de en yüksek üslü x = A(X)İN DERECESİ OLAN = 6 dır. (x üssü 6 ) daki x yerine (x üssü4) koymalıyız.

A(X üssü 4) için   (xüssü 6) nın  x i yerine (x üssü 4) yazarız. = ( x üssü 4 ) üssü6 = x üssü4*6=xüssü24 olur.

Yani   A( X ÜSSÜ 4 ) ün derecesi =24 olur.

Kural: ÜSLÜ sayıların ÜSSÜ alınırken ; 2 üs ÇARPILIR. (2 ÜSLÜ sayı ÇARPILIRKEN de; üsler TOPLANIR

          (x üssü2 )nin 3ncü üssü = x üssü 2*3 =x üssü6  AMA  (x üssü2)*(x üssü3) = x üssü(2+3)=(xüssü 5)

Örnek14-A) A(x)= (2x üssü4 + x)üssü3 + 5 x üssü8   polinomunun derecesini bulalım. 

+ nın solundaki 1nci terimde  (2x üssü4 + x)üssü3  te 2 gibi katsayıyla ilgilenmiyoruz ve EN YÜKSEK DERECELİ X ile ilgilendiğimizden;

(x üssü 4 ) üssü 3 ü sadece hesaplarız. = x üssü 4*3 = xüssü12 olur.

**(x üssü12) ile 2nci terim olan (x üssü 8) den üssü büyük olan yani 12 = A(x) polinomunun DERECESİ olur.

14-B) B(x) = (((2 x üssü 3 )- (3x üssü4+x üssü3)) üssü2)) * (3x+2) üssü3  ün derecesini bulalım. (ÇARPMAYA DİKKAT,  A) şıkkında arada + vardı)

* nın solundaki 1nci terimde  (xüssü3) ve (x üssü4 ) den derecesi büyük olan  (x üssü4)ü alırız. 2 ve 3 gibi sayılarla uğraşmayız. (x üssü4 ) üssü2 = (x üssü4*2) = x üssü8

* nın sağındaki 2nci terimde en büyük üslü (x) üssü 3 ) ü alırız. 

B(x) in derecesi= (xüssü8) ile (x üssü3) çarpımının üssü= (x üssü8+3) =x üssü 11  olur.

14-C) N(X) = (a kare )* (b küp)  + 2*b *(a küp) + 3* (a üssü4)*(b üssü5)... polinomunu derecesini bulalım.

2 tane + işleminin ayırdığı 3 terimin  en büyük üslerini bulalım.

1nci terim olan (a kare)*(b küp) ün derecesi = 2 +3=5  dir.

2nci terim olan 2*b*(a küp) ün derecesi = 1 +3 =4 dür.

3 ncü terim olan  3* (a üssü4)*(b üssü5) ün derecesi = 4 + 5 =9 dur.

N(x) polinomunun derecesi = 5 ve 4 ile 9 un en BÜYÜĞÜDÜR = 9 olur.

Örnek15) A(x)= (Karekök x)............(A(x) polinom değildir, x-değişkeninin üsleri DOĞAL SAYI olmalı yani ya SIFIR  ya da POZİTİF TAMSAYILAR olmalı.   (karekök X)= x üssü 1/2  demek tir. Yani x in üssü kesirli sayı olmuştur.

B(x)= 1/x    + 1/ x kare  ......B(x) polinom değildir, x-değişkeninin üssü  DOĞAL SAYI değildir,

1/ x =  x üssü(-1) olur, x-değişkeninin üssü NEGATİF sayı olmuştur.

1/ xkare = x üssü(-2) olur, x-değişkeninin üssü NEGATİF SAYI olmuştur.

SONUÇ OLARAK; X-değişkeninin üssü,  karekök, küpkök gibi sayılar ve negatif sayılar  OLMAMALI 

AMA x-değişkenlerinin önündeki katsayılar kareköklü, küpköklü,,, veya ondalık veya rasyonel sayı OLABİLİR.

C(x)= (küpkök3)* x kare  + 0,6 x +  (karekök2) .... C(x) polinomdur. x-değişkeninin üslerinin hepsi POZİTİF TAMSAYIlardır. x kare nin üssü=+2   ve x in üssü =+1 dir.

x-değişkenlerinin önündeki sayılar, yani KATSAYILARI  reel sayılar olmalıdır,

(xkare) nin önündeki katsayı =(küpkök3)  olabilir, (küpkök3) bir reel sayıdır.

x in katsayısı =0,6 olabilir. 0,6 bir ondalık sayıdır, veya 6/10 olarak düşünürsek rasyonel sayıdır.

Ondalık ve rasyonel sayılar da reel sayıların içindedir. En büyük gerçek sayı ya da reel sayılar kümesidir.    

D(x)=(küpkök 6).....D(x) bir polinomdur. İçinde x-değişkeni olmayan polinom ,SABİT POLİNOMdur ve derecesi=0 dır. 

E(x) = 0 / (karekök2)...E(x) polinomu SIFIR Polinomudur ve derecesi BELİRSİZdir

( pay=0 ve payda bir sayıysa, bu kesrin değeri=0 dır DAİMA.)   0/5=0  ve     0/ (küpkök3) =0  ların da sonucu =0 dır. AMA 0/0=TANIMSIZdır.

F(x) = 26.... SABİT Polinomdur.

G(x)=  2 + karekök6   da SABİT polinomdur.

H(x)= xkare - (xküp) /2  +  (1/x)  polinom değildir. 

xkare nin üssü=+2   ve xküp ün üssü =+3 olup doğal sayıdır, ama x in üssü =(-1) olup NEGATİF SAYI olduğundan polinom DEĞİLDİR.

K(x)= (karekök x)* (karekök x),   de önce çarpma işlemini yapıp sonra polinomluğuna bakalım.

K(x)= x    oldu, x-değişkeninin üssü =+1 yani doğal sayıdır ve K(x) bir polinomdur.

L(x) = (karekök (-16)) x....   polinom değildir. Polinomda x-değişkenlerinin  katsayıları ve sabit sayılar REEL(GERÇEK) sayılar olmalı. DİKKATTTT karekök (-16) sonucu bir gerçek sayı değildir.

KURAL:1) karekök , 4 ncü, 6ncı kök gibi ÇİFT SAYILI KÖKler içindeki sayılar NEGATİF OLAMAZ, (negatif  OLURSA , SONUÇ=REEL OLMAYAN SAYIdır) 

DÜŞÜNELİM: (-2) ve (+2) nin karesi de +4 tür. karesi negatif sayı olan bir GERÇEK  sayı bulamayız AMA küpü negatif olan bir sayı bulabiliriz.  (-3 ) ün küpü= (-27) gibi. O halde

KURAL2) küpkök, 5nci, 7nci kök gibi TEK SAYILI KÖKler içindeki sayı NEGATİF OLABİLİR, SONUC=GERÇEK SAYIdır

 M(x) = (küpkök (-125)... SABİT Polinomdur. Çünkü (küpkök(-125))  GERÇEKTİR ve =(-5) dir.

N(x) = karekök (x küp)   ...polinom değildir. x-değişkeninin üssü = x üssü (3/2) olan rasyoneldir, (doğal sayı değildir.)

KURAL: Karekök(xküp) sayısını üslü sayı olarak yazarken;

 karekök içindeki xküpün üssü olan 3 ü PAYA yazarız.

Paydaya da; xküpün dışındaki kök almanın derecesi olan =2 yi yazarız.

Yani bir sayıyı KÖK ALMADAn KURTARIP üslü sayı olarak yazmak istersek; üssün pay ve paydasını bu şekilde yazarız.   

B-1) P(X) ,POLİNOMUNDA KATSAYILAR TOPLAMI = P(1) dir

yani P(x) polinomunda ;paranteziçinde ve eşitliğin sağındaki tüm x'lerde x=1 yapmak, x gördüğümüz yere 1 koymaktır.  

P(X)= xkare  +2x+ 3   den   P(1)= 1 in karesi +2*1 +3 =6=katsayılar toplamıdır.

B-2) P(X), POLİNOMUNDA SABİT TERİM =P(0)

yani P(X) polinomunda, parantez içi ve eşitliğin sağındaki x'li ifadedeki x'lerin yerine   x=0 yapmaktır. 

P(0)= 0 ın karesi + 2*0 + 3 =3 = sabit terim

B-3) P(X), POLİNOMUNDA derecesi =ÇİFT OLAN xlerin KATSAYI TOPLAMI= ((P(1) +P (-1)) / 2  dir.

P(-1) = (-1)in karesi +2* (-1) + 3 = 1 -2 +3 =2

Derecesi ÇİFT olan x'lerin katsayı toplamı((6) + (2))  / 2 = 4

B-4)Derecesi TEK olan x'lerin katsayı Toplamı= katsayılar toplamı - derecesi ÇİFT olan x'lerin katsayı toplamı

                                                                          =P(1)                         - ((P(1) + P(-1)) / 2

 

                                                                           =6                          -       4        

                                                                           =2

Örnek16)  P(x) = xküp  + 2x +2 dir.   P(X+3) polinomunun sabit terimini bulalım.

KURAL) P(X+3) polinomunun SABİT TERİMİNİ bulmak için; parantez içine x=0 yazmalıyız. 

Sabit terim = P(0+3) = P(3 ) = (3)ün küpü +2*3 +2 = 27 + 6 +2 =35 

***P(X+3) Ün  KATSAYILAR TOPLAMINI bulmak istesek; x=1 yazmalıyız: P(1+3)= P(4) bulmalıyız.

P(4)= (4)ün küpü + 2*4 +2 = 64 + 8 +2 =74 buluruz.

C) POLİNOMLARDA EŞİTLİK ve DÖRT İŞLEM ve KALAN

C-1) Polinomların Eşitliği =DERECESİ AYNI olan polinomlarda

                                                         Aynı dereceli x'lerin KATSAYILARI da AYNIYSA, Polinomlar eşittir.

Örnek17) A(x) = B(x) polinomlar eşittir. A(x) = a(xküp) + (b-2) x +2

                                                          B(x)= -2 (xküp) + c    

polinomlarından a, b ve  c  yi bulalım.

***A(x) ve B(x) polinomları eşit verilmiştir.Gerçekten 2 sinin dereceleri eşittir =3

O halde ; xküp lerin katsayıları da eşit olmalıdır:  a = -2

             x lerin katsayıları da eşit olmalıdır:   b-2 =0   b=2

            sabit terimlerde eşit olmalıdır:          c=2   

Örnek18) (x-2)* (bx+4 ) =2(xkare) +4x +c  den  a ve c yi bulalım.

SOLDAKİ *  HALİNDEKİ  parantezli işlemleri çarparak POLİNOMA dönüştürelim, yani a(xkare)+bx+c gibi yazalım.

a(xkare) +4x -2bx -8 = 2(xkare) +4x+c (x li olan 2 terimi(4x ve (-2bx)i 1 parantezde toplayalım)

a(xkare) + (4-2b) x -8 = 2(xkare) +4x+c  

a=2     4-2b =4  den 0=b   ve   -8=c  buluruz.

Örnek19-A) ZOR BİR ŞEY YAPALIM:

     ( x+5) /( (xkare)-1 ) =    A / (x-1) + B/(x+1)   den     A+B=?  

SAĞDAKİ KESİRLERİN PAYDASINI EŞİTLEYELİM: (x-1)i (x+1) ile çarpalım

                                                               (x+1) i (x-1) ile çarpalım

                                             =(A*(x+1) / ((x-1)*(x+1))) + (B*(x-1) / ((x+1)*(x-1)))  

                                            =(Ax+A)) /((xkare)-1) + ((Bx-B)/((xkare)-1) olur ve

 SOLDAKİ  kesir PAYDASI (xkare-1) =SAĞDAKİ kesirin PAYDASİ(xkare-1) ise PAYLARI DA EŞİTLERİZ:  

(x+5)                                  = (Ax+A) + (Bx-B)  sağı DÜZENLERİZ:( xli sayıları ve sabitleri biraraya TOPLarız.)

                                        =(A+B)x + (A-B)

   1 = A+B   ve 5 =A-B  den     taraf tarafa toplayıp   6 = 2A+B-B =2A  ve A=3 Buluruz.

   1 = 3+B den   B=-2 olur. 

SONUÇ OLARAK;  (x+5) / ((xkare)-1) kesrini = 3/ (x-1) +(-2)/(x+1) gibi 2 kesrin TOPLAMI olarak yazmak çok sık isteyebiliriz. Bu yolu kullanacağız.  

Aslında bu yöntemi KOLAY  şöyle de uygulayabiliriz.(x+5) /(kkare -1) = A /(x-1) + B / (x+1)

de solun paydasını çarpanlara ayır. KURAL = (xkare -1 ) = (x-1)*(x+1) olur.

(x+5) / (x-1)* (x+1) = A/ (x-1) + B/ (x+1)  sağdaki A yı bulmak için; A nın paydasını =SIFIR yapan x=1 değerini soldaki x yerine koyarız.AMA kesrin tanımsız olmaması için; soldaki paydadan (x-1) i ATARIZ.

(x-1)i paydadan ATALIM  ve (x+5) / (x+1) de x=1 yapıp A yı buluruz= (1+5) / (1+1) = 6/2 =3=A buluruz.

B yi =0 yapan x=-1 değerini soldaki x yerine koyarız ve solun paydasından (x+1) i ATARIZ.

(x+1) i paydadan ATALIM ve (x+5) / (x-1) de x=-1 yapıp B yi buluruz. (-1 +5) / (-1-1) =4 /(-2) =-2 =B 

Örnek19-B) (x+6 ) / (x-2)nin karesi  ifadesini  A-şıkkında yaptığımız gibi 2 kesrin TOPLAMI gibi yapalım.

KURAL)Paydada (x-2)nin karesi gibi  TAMKARE ifadesi varsa, kural biraz değişiktir.

(x+6) / (x-2 )nin karesi =  A /(x-2 )  + (Bx +C ) / (x-2)nin karesi yazarız ve A şıkkındaki gibi polinom

EŞİTLİĞİNDEN çözeriz.

KURALLA İLGİLİ OLARAK) A-Sabit sayı ve derecesi=0  ve paydasının derecesi = pay derecesi +1 =0+1=1 olmalı  ve

                                         (Bx+C) NİN Derecesi =1  çünkü  paydasının derecesi =2  olmalı  bu bir kural

Örneğin ;                    P / ( x-1)kare  =  K /(x-1)  + (Lx+M) / (x-1)karesi olarak yazacaktık.   

                               =sağın PAYDALARINI EŞİTLEYELİM VE A/ (X-2) nin pay ve paydasını (x-2) ile çarpalım.

                               = (A(X-2  ) + ( Bx +C)) / ( x-2)nin karesi   oldu ve paydalar eşitlenince PAYLARI EŞİT YAZABİLİRİZ: (x+6) = Ax -2A +Bx +C sağı düzenleyelim

                          =(A+B)x + (-2A+C)  olur.

x lerin katsayısını eşitleyelim:   1 = A+B   ve sabit sayıların eşitliğinden de 6=-2A+C olur. Burada A,B ve C GİBİ 3 bilinmeyen ve 2 denklem oldu. (3 bilinmeyen ve 3 denklem olsaydı; A,B ve C yi bulabilirdim, şu an bulamam AMA  1 denklem daha uydurursam, bulabilirim 

 örneğin ; A+B-C=4 olsun. BU DENKLEMDE 1=A+B yazalım ve C=-4 olur.

              6=-2A+C  de C=-4 yazalım   2A = -6 -4 =-10 dan  A=-5 olur.

             1 = A+B den 1=-5 +B DEN                                           B=6 olur.

Örnek20)Polinomlarda TOPLAMA ve ÇIKARMA yapalım. AYNI DERECELİ x lerin KATSAYILARINI toplayıp çıkarırız.

P(x) = 2xkare + 3x + 4  

 R(x)= 3xkare -2x -1

P(x) + R(x) = (2+  3)Xkare +(3-2)x + (4-1) = 5xkare +x+3

P(x)-R(x)=    (2-3)xkare +(3-(-2))x ++4-(-1)) = -xkare +5x +5

Şimdi de 2 polinomu çarpalım:

 P(X)*R(x) =3terimli P(x) *3terimli R(x) =9 terimli P(x)*R(X) VE çarpımın DERECESİ

= EN yüksek P(X)in x li teriminin derecesi * en yüksek dereceli R(x) in x li terimi=2*2=4 derece olacaktır. 

P(x)*R(x)= 2xkare*(3xkare -2x-1 )

               +3x*(3xkare-2x-1)

                +4*(3xkare-2x-1)

              =2*3(xkare*xkare)+(2xkare*(-2x)) -2xkare

               +((3*3)*(x*xkare)) +(3*(-2))*(x*x)-3x

              +4*3xkare -4*2x - 4

             =6( x in 4ncü üssü)- 4xküp -2xkare

              +9xküp -6xkare-3x

              +12 xkare -8x-4

             = 6(x üssü4)  +5xküp  +4xkare -11x -4

Örnek21) A(x) = 3xküp +2x +1

            B(x) = 2x kare +xüssü4      ise;  A(x)*B(X) ÇARPIMINDA (xüssü5) in katsayısını bulalım.

(xüssü5 ) li terimin katsayısı 2 yerden gelebilir. (3xküp)*(2xkare) =6xüssü5

                                                              (2x)*(xüssü4)    =2x üssü5

A(x)*B (x) çarpımında (xüssü5) li terimin katsayısı = (6+2) xüssü5 = 8 xüssü5

D)POLİNOMLARDA BÖLME( HORNER METODU ile)

A(x) = 3xküp + 4 xkare -2x +5  i 

B(x)(x-1 ) e Horner metoduyla BÖLELİM.

Polinomun katsayılarını yazalım.

                                                                          3                         4                         -2                    5

 (x-1) =0  yapan  1 i de yazalım      1

                                  3 ü aşağı inelim.           3              1*3=3                      -14                 -16

                                  4+3 =7 toplayalım                                   7

                                 7 * (-2) = -14 çarpalım

                              (-2)+ (-14)= -16topladık

                               5+(-16)  = -11 =BÖLMENİN KALANI   ve

                                       C(x)=  BÖLÜM =3 xkare + 7x   -14                                                       

 BÖLME KURALI)       A(x)    = B(x) *       C( X) +              K (x)

 3xküp + 4xkare - 2x + 5   =(x-1)  * ( 3xkare + 7x -14 ) +  (-16 )

   3ncü derece    Bölünen = 1nci derece BÖLEN * 2nci derece BÖLÜM + SIFIRıncı derece KALAN

DİKKATTTT: 1NCİ derece BÖLEN ile 2nci derece BÖLÜMün çarpım EN BÜYÜKderecesi = Bölünen derecesi =3 olmalı

a) Bölenin derecesi, BÖLÜNENİN derecesinden KÜÇÜK veya en fazla EŞİTtir.

Bölünenin derecesi =3 Bölenin derecesi=1

b)KALANın derecesi, BÖLENİN derecesinden 1 derece küçüktür.( kalanın derecesi=0, bölenin derecesi=1)

Dikkat...Hohner metodonda; BÖLÜM polinomu (x-1) gibi 1nci derece veya 1nci derece çarpanları olan polinom OLMALI, Hohner HERZAMAN uygulanamıyor.

Örneğin; Bölen= (xkare -1) ise (xkare-1) = (x-1)* (x+1) diye 2 tane 1nci çarpanlara ayırırız ve Hohner i x=1 ve x=-1 için 2 kere arka arkaya uygularız.

    A(x) =   3xküp +   2x +   4   ü B(x) = xkare-1 e bölelim. Önce (x-1 ) e bölmek için x=1 i Hohnerle yapalım 

DİKKAT: HOHNER de  aşağıdaki 3, 0, 2,4  sayılarını yazarken; xkare gibi A(x) de olmayan x lerin katsayıları yerine SIFIR YAZMAYI UNUTMAYALIM.

                           0              2                  4      

  1                   1*3=3         1*3=3           1*5=5

              3        0+3=3        2+3=5          4+5=9

A (x ) in (x-1) e bölümü =B(x) = 3 xkare + 3x + 5   ve  KALAN=9 olur.   BİRİNCİ HOHNER SONUCU

2nci Hohner i ;  1nci hohner bölümü olan  B(x) =3xkare +3x+5  i   (x+1) e bölmek için  x=-1 ile yapalım.

 

                         3                     3                               5

  -1                               -1*3=-3                -1*0 =0

                       3           3+(-3)=0                 5+0 =5

B(x) in (x+1) e bölümü olan 2nci hohner sonucu BÖLÜM= C(x) = 3x +0   ve  KALAN =5  olur.

SONUÇ :  A (x) = (xkare-1 ) *3x  + son kalan

                           =(xkare-1 )*3x (2nci hohner bölüm)+son kalan

 SON KALAN = (2.hohner kalanı olan 5)* (1.hohner böleni olan (x-1)) + 1nci hohner kalanı olan 9 

A(x)= 3xküp + 2x+  4 = (xkare-1) * 3x + (5*(x-1)+9)= (xkare-1)* 3x +( 5x+4) buluruz.

HERZAMAN UYGULAYABİLECEĞİMİZ BÖLMEYİ UYGULAYIP AYNI SONUCU BULALIM.

3xküp  + 2x +4  /   (xkare-1)  = 3x  ( xkareyi neyle çarpıp 3xküp ü buluruz diye sorup  3x  i buluruz.)

                                          Sonra 3x * (xkare-1) = 3xküp -3x çarpıp soldaki bölünenden çıkarırız.

 

3xküp +2x +4  den  (3xküp -3x ) ÇIKARIRIZ. = 2x +4 +3x = 5x +4 çıkar . Şimdi SOLDA 5x+4 = BÖLÜNEN olur.

5x +4  ü          / (xkare-1 ) e bölebilir miyiz? HAYIR Bölemeyiz. Bölünen =5x+4 ün derecesi=1, bölen derecesi=2 den KÜÇÜK olduğundan BÖLME BİTER . KALAN=5x+4

A(x) = 3xküp + 2x + 4 = (xkare-1) * 3x  +    ( 5x+4 )

      = BÖLÜNEN         = BÖLEN    *  BÖLÜM + KALAN

SAYILARLA YAPTIĞIMIZ BÖLME GİBİ UYGULADIĞIMIZ BU BÖLMEYİ HER ZAMAN UYGULAYABİLİRİZ.

E) BÖLMELERDE KALAN BULMA

Örnek22)  (x-2 ) A( x) = x+5 +k ise,   A(x) in (x+2) ile bölümünden kalanı bulalım. 

KURAL) A(-2) = A(x) in (x+2) ile bölümünden KALANı verir.

 x+2 =0 dan x=-2 yi x yerine koyup A (-2)yi buluruz. 

 (-2-2 ) A (-2) = (-2) +5 +k  dan     

-4 A(-2)=3+k  ve  A(-2) = (3+k) / (-4)

Ama  k yı bulmalıyız. Eşitliğin solunu =0 yapacak x değeri=2 için A(2)yi bulalım

(2-2)A(2) = 2 +5 +k dan    0=7+k  ve k=-7 buluruz.  A (-2)=(3-7)/-4 =1

Yorumlar

1)merve | 10/11/2013 | 21:11:46
iğrenç bir site berbatt...
2)merve | 10/11/2013 | 21:11:07
Bu ne yaa 3 x küp yapmışsınız insan üstüne yapar x kare berbat anlatılmış
3)melis | 14/12/2013 | 15:12:15
(akıllım yazılmıyor olabilir) ödevim için yardımcı oldu sağolun
4)Engin Beyazgül | 24/07/2017 | 01:07:29
üzerinde uğraşılmış bir anlatım emeğinize sağlık
5)Hoca | 17/09/2018 | 21:09:13
Öncelikle reel sayı nedir rasyonel sayı nedir çalışmanızı öneririm. Köklü sayı reel sayıdır dolayısıyla polinomun katsayı köklü sayı olabilir

Yorum Yaz

İsminiz

Eposta adresiniz

Güvenlik Kodu

Yorumunuz

 
 
 
 
 
Isı ve Sıcaklık21ocak2014YENİ
21ocak2014eklendi. Bitti... »
KaldırmaKuvvetiYeniMart2013
KaldırmaKuvvetiYeniMart2013... »
ÖĞRENCİLER LÜTFEN SORU ve CEVAPLARINI AYNEN KOPYALAMAYINIZZZZZZZZ
KOPYALAMAYINIZZZZZZZZ. ÖGRENCİLER LÜTFEN SORU VE CEVAPLARI AYNEN KOPYALAMAYINIZ... »
Sınav Kolay Başarı Kolay
*Dersin esasını öğrenelim, anlayalım, temel kavram ve yasaları öğrenelim, detaylara boğulmayalım. Ezberlemeyelim. *Yanlış yaptıklarımızın muhakkak doğrusunu öğrenelim, doğrular bizimdir, yanlışkarımızdan öğreniriz. *Konuları çok fazla tekrara gerek yok, amaç günde çok fazla soru yapmak değil ; güzel ve değişik dersanelerin sorularından yapmalıyız. Önemli konuların hepsini 3-4 aydabir sorularla sürekli tekrarlıyor olmalıyız. *Soruları çözerken; zor, normal ve kolay soruları ayırtedebilmeliyiz. Zor veya uzun vakit kaybettirebilecek sorulara boğularak vakit kaybetmemeliyiz. Hedefimize ulaşmak için; her dersten en az kaç soru cevaplamamız gerekiyorsa; önce kolay sorulardan hata yapmadan çözmeliyiz.... »