Rasyonel Sayılar
05/05/2009  |  MATEMATİK | (19)yorum | 36744 kez okundu.

RASYONEL SAYILAR

KURAL-1) 3 / Kesri BASİT Kesirdir. Pay (olan 3  rakamı), ( 4 olan) Paydadan KÜÇÜKSE; kesir BASİT Kesirdir.

          5 / 4 Kesri BİLEŞİK Kesirdir. Pay (olan 5 rakamı), (4 olan )Paydadan BÜYÜKSE; kesir BİLEŞİK Kesirdir. 

Pay =Payda olursa da; BİLEŞİK Kesirdir. 

Örnek1) 5/8=A/B   ve  7/16 = C/B orantılarında B en az kaç olabilir?

***2 orantıda da bulunan B nin karşısındaki 8 ve 16 rakamlarını EŞİTLEMEK için ilk orantının pay ve paydasını 2 ile çarpalım :   5*2  / 8*2 = 10/16 =A/B olur.

                                  7/16  = C/B  olarak verilmişti. Bu 2 orantıdan   A=10  B=16  ve C=7 buluruz.

KURAL-2) (+) Rasyonel sayılarda SIRALAMA şöyle yaparız:

a) Paydalar  EŞİTSEPayı BÜYÜK olan BÜYÜKtür.  ( 4/15 > 3/15 gibi) 

b)Paylar  EŞİTSE; Paydası KÜÇÜK olan BÜYÜKtür. ( 8/6 > 8/9 gibi)

c)Pay ve paydalar  ARASINDAKİ FARK EŞİTSE

C-1)Payı < Payda sından KÜÇÜKSE (yani BASİT KESİRSE); BÜYÜK sayılı kesirler BÜYÜKtür.

150/153 > 35/38 > 5/8 (Pay ve paydaları arasındaki FARK=3 olan BASİT kesirlerde büyük sayılı olan kesir büyüktür)

c-2) Payı > Paydasından BÜYÜKSE(yani BİLKEŞİK Kesirse); KÜÇÜK sayılı kesirler BÜYÜKtür.

8/5>38/35>153/150 (Pay ve paydaları arasındaki FARK=3 olan BİLEŞİK kesirlerde KÜÇÜK sayılı olan kesir BÜYÜKtür.

KURAL-3-a) TOPLAMA ve ÇIKARMA

  a)  3/4  + 4/8 +2 + (2 tam 1/3) toplamasını yapalım: 3/4 ve 4/8 rasyonel kesirlerinin önce PAYDALARINI EŞİTLEYELİM:

b)Rasyonel kesirlerin paydasını eşitlemeden önce; (2tam 1/3) TAMSAYILI KESRİ rasyonel kesre çevirelim:

 (2*3  +1 )/3 = 7/3 rasyonel kesrini buluruz.

c) 3/4 + 4/8 + 2 + 7/3  haline gelen sorudaki 2 tamsayısının paydası =1 dir

d) 3/4 + 4/8 + 2/1 + 7/3 Haline gelen sorudaki her terim rasyonel sayı oldu:Şimdi PAYDALARI EŞİTLEYELİM

Paydadaki sayıların en küçük ortak katını(=EKOK) bulalım: EKOK(4, 8, 1, 3) =24 olur.

1nci KESRİ 24 / 4 =6 İle çarparız : 3*6 / 4*6 = 18/24 olur.

2nci kesri 24/8 =3 ile çarparız:  4*3 /8*3 = 12 /24 olur.

3ncü kesri 24/1 =24 ile çarparız : 2*24 / 1*24 =48/24 olur.

4ncü kesri 24/3 =8 ile çarparız: 7*8 / 3*8  = 56 /24 olur. ŞİMDİ TOPLAYABİLİRİZ.

18/24 + 12/24 + 48/24 + 56/24 = (18+12+48+56) / 24 =134 /24 olur.

TOPLAMADA ve ÇIKARMADA;Kesirlerin PAYDALARI EŞİTse;PAYLARI TOPLARIZ ve toplamın payına yazarız.

                                      Ortak olan PAYDAYI da; Toplamın paydasına yazarız.   

KURAL-4) (2tam 1/3 ) kesri TAMSAYILI Kesirdir.

a) Tamsayılı kesri RASYONEL kesre çevirmek istersek;

2 * (payda=3) +(pay=1) =6+1=7  yi rasyonelin PAYına yazarız.

1/3 deki 3 olan paydayı da, rasyonel kesrin paydasına yazarız :  (2 tam 1 / 3 )= 7 /3 bileşik kesri oldu. 

b) 7/3 bileşik kesrini TAMSAYILI KESRE çevirmek istersek; 7 yi 3 e bölelim: Payı Paydaya bölelim:

                                                                                     Bölüm =2 =tamsayı olur.

                                                                                   Kalan=1=rasyonel kısmının payı olur.

                                                                                  Bölen=3 =rasyonelin paydası olur.  

KURAL-5) ÇARPMA :

a) Tamsayıyla bir rasyonel kesri çarparken; tamsayıyla PAYI ÇARPAR ve çarpıma pay olarak yazarız.

                                                                      Kesrin paydasını,  çarpıma payda olarak yazarız.

Örnek2) 2 * (3/ 7 ) =  (2*3 ) / 7 =6/7  gibi   

b) Rasyonel kesirleri çarparken ; Paylarını çarparçarpım kesrine  pay olarak yazarız

                                           Paydalarını da çarpar, çarpım kesrine payda olarak yazarız.

Örnek3) (3/4)* (2/3)*(4/5) = (3*2*4 ) / (4*3*5) = 24 /60 olarak buluruz.   

Örnek-2)deki tamsayı ile kesri çarparken; tamsayıyı da  paydası=1 olan kesir olarak düşünelim= (2/1 )

 (2/1)* (3/7)= (2*3) / (1*7) = 6/7 olarak  örnek-2) deki aynı sonucu buluruz. 

KURAL-6)Örnek-3 te bulunan 24/60 sonucununda pay ve payı SADELEŞTİrerek yazarız.

Pay ve paydayı önce  2 ile bölelim: Kesir =12 /30 olur.

Pay ve paydayı tekrar 2 ile bölebiliriz: Kesir= 6/15 olur.

Pay ve paydayı (2 ile artık bölünemez) 3ile bölelim. Kesir = 2/5 olur . artık hiçbir sayıya bölünemezler ve EN SADE KESİR = 2/5 olur.   

KESİRLERİN DENKLİĞİNDEN bahsedelim:   24/60 = 12/30 = 6/15 = 2/5 olan bu 4 kesir DENKtir.   

24/60 kesrinin pay ve paydasını 2 ye bölerek elde ettiğimiz 12 /30 kesri SADELEŞMİŞ HALİ dir ve 2 kesir DENKTİR.

12/30  kesrinin pay ve paydasını 2 ile çarparak; büyüttüğümüz, GENLEŞTİRDİĞİMİZ kesir olan 24 /60 kesride  12/30 kesrine DENKtir.Toplama ve çıkarmada PAYDALARI EŞİTLERKEN; kesirleri genişletiriz. 

KURAL-6) BÖLME

a) Bir kesri tamsayıya bölmek için; tamsayıyı kesrin paydasıyla çarparız:

(2/5) kesrini 4 e bölmek için;(2/5) kesrinin paydasını 4 ile çarparız:2/ (5*4) = 2 /20 yi sadeleştirelim = 1 /10 olur

b) Bir kesri başka bir kesre bölmek için; 1nci kesri AYNEN YAZAR, 2 nci kesri TERS çevirip yazar ve 2kesri ÇARPARIZ:

2/5 kesrini 4/3 kesrine bölelim: 2/5 i aynen yazalım ve 4/3 kesrini TERS çevirerak 3/4 olarak yazıp çarpalım

 (2 /5) : (4/3) = (2/5) * (3/4)= (2*3) / (5*4) = 6/20 yi sadeleştirelim: 3/10 olur. 

c) Bir tamsayıyı bir kesre bölmek için; tamsayıyı aynen yazarız, kesri ters çevirip tamsayıyla çarparız.  

2 * (3/4) ile çarpmak için; kesri ters çevirip çarparız:  2 * (4/3)= (2*4)/3= 8/3 buluruz.   

KURAL-7)a ve c şıkkındaki tamsayıları paydaları=1 olarak yazarsak; a ve c şıkları ,b şıkkındaki bir kesrin başka bir kesre bölünmesi problemine dönüşür.   

Örnek4) (2tam1/4): ( 3tam2/3) =???

Önce tamsayılı kesirleri rasyonel kesir yapalım=  (( 2*4+1)/4)  : ((3*3 +2)/3) = (9/4) : (11/3)  

Bölme için 2 nci kesri ters çevirip ,kesirleri çarpalım= (9/4)* (3/11) = (9*3) / (4*11)=27/44 olur.  

Örnek5) 4*((2ninküpü)-(3ünkaresi)) ifadesinin karesi*(8:4)-(1/4)=????

İŞLEM ÖNCELİĞİ olarak; önce PARANTEZin içini bulalım: (8-9)un karesi =(-1 )in karesi =+1 bulduk.

            4* ( +1 ) * (8:4) -(1/4)=??? ifadesinde önce çarpma ve bölmeleri yapalım.

                                             sonra toplama ve çıkarma yapalım.

               4        *   2   -(1/4) = 8-(1/4) = şimdi 8 tamsayısını kesir yapalım= (8*4/1*4) =32 /4

                                            =32/4 - (1/4)= 31/4 buluruz. 

Örnek6) ((1/3) + (4/5))*x  ifadesinin tamsayı olması için, x ne olmalıdır?

KURAL-8) 1/3 ile 4/5 i toplamak için PAYDALARI EŞİTLEYELİM: Paydadaki 3 ve 5 in en küçük ortak katını bulalım

EKOK(3,5) =15 bulduk. 1nci kesri,  15/3 =5 ile genişletelim= 1*5 / 3*5 = 5/15 olur.

                               2nci kesri, 15/5=3 ile genişletelim = 4*3 / 5*3 = 12 /15 olur.  

Kesirleri toplayalım:  5/15 + 12 /15  =  (5+12) / 15 =17/ 15

  ( (17/15)*x)ifadesinin tamsayı olması için x in olacağı en küçük tamsayı x=15 olmalı  veya

                               ''                   ''             ''                 ''   ''   rasyonel sayı x= 15/17 olmalı ki 17/15 ile çarpılınca sonucu =1 tamsayısı olsun.

Örnek7) Bir rasyonel sayının çarpmaya göre tersiyle toplamaya göre tersinin çarpımı nedir?

Rasyonel sayıya =x/y diyelim.

KURAL-9-a)Bir rasyonel sayının =x/y çarpmaya göre tersi 1 /(x/y) = y/x dir.(sayıyı TERS çeviririz)

**1 İ yani tamsayıyıyı da paydası=1 olan kesir yapalım  1/1 kesrini 5/1 kesrine bölerken; 1/1  i AYNEN yazar, 2nci kesri= 5/1 i TERS çevirerek ÇARPARIZ: (1/1) * (1/5)= 1/5 olur.

Bir rasyonel sayının toplamaya göre tersi= - (x/y) dir. Yani negatif işaretlisidir.

Soruya dönelim:  (y/x)* (- x/y) = -1 olur.  

KURAL-9-b)Sayı tamsayıysa örneğin 5 diyelim :Tamsayıyı paydası=1 olan rasyonel sayı gibi düşünelim=5/1 olsun ÇARPMAYA GÖRE TERSİ = 1 BÖLÜ  tamsayıdır= 1/ (5/1) = 1/5  

KURAL-9-c) Her sayının toplamaya göre tersi: KENDİSİNİN TERS İŞARETLİSİDİR.

(-5 İN TOPLAMAYA GÖRE TERSİ =+5 dir.)     

Örnek8) (3x+6) /4x  ifadesinin toplamaya göre tersi = - 15/4 ise  x i bulalım. 

Tersi = - 15 /4 olan sayının kendisi TERS işaretlisidir    Kendisi= + 15/4 olur.

          4* (3x+6) =15*4x =60x

       12x + 24     =60x

                24   =48x

               1/2   =x olur.

Örnek9) 7/8 + 9/10 + 11/12 =x  ise                15/8           +       19/10               + 23/12 =????

                                                            (7/8 + 8/8)  + ((9/10 +10/10) +(11/12 +12/12)

                                                                         (7/8 + 9/10 +11/12) + (8/8 +10/10 + 12/12 )

                                                                                          x                     + 3    olur.

Örnek10) x=(3y+1) / (y-4)  ise  y nin x cinsinden değerinin bulalım( y=...x cinsinden olmalı)

***y leri eşitliğin bir tarafında, x leri diğer tarafında bırakalım.

İçler dışlar çarpımı yapalım:  x / = (3y+1) / (y-4) Bir kesrin PAYIYla diğerinin PAYDAsını çarpalım.

                                       (x)*(y-4) = (3y+1)*1  ve   xy-4x =3y +1 de y leri solda, x leri sağda toplayalım.

                              xy-3y        =4x+1      de  y parantezine alalım.

                              y(x-3)      = (4x+1) y nin çarpanı olan (x-3) e eşitliğin 2 tarafını da bölelim.

                                y           = (4x+1) / (x-3)  olur.

KURAL-10) Bir kesrin PAYDASI =0 OLAMAZZZZZZ

 y= (4x+1) / (x-3) ifadesinde  X=3 OLAMAZZZ, ya da x=3 için y -DEĞERİ TANIMSIZDIRRRRR

Örnek11-a) (x+4) / 13 basit kesir olduğuna göre, x hangi değerleri alabilir?

Basit kesirse; PAY < PAYDA olmalı:   x+4 < 13 olmalı.   x< 13-4   ve  x< 9 olmalı.

Örnek11-b) Kesir bileşik kesir olsaydı; x hangi değerleri alabilirdi?

Bileşik kesirse; PAY , PAYDAdan BÜYÜK veya EŞİT olmalı.    x, 9 dan büyük veya eşit olmalı, olurdu. 

Örnek12) (3x+y) / y = 0 İSE,   y=0 OLAMAZZZZ.   3x+y =0 OLMALIIII:   3X= - y  olur.

Örnek13) x / y*z  kesrindeki her sayıyı  4 ile bölersek;   yeni kesir ilk halinin kaç katı olur?  

Yeni kesir = (x/4) / (( y/4)* (z/4)) = (x/4)  / (yx /16 ) = (x/4) * (16 /xy) = 4 katı olurdu 

Örnek14) 3/4 kesrine DENK olan kesirlerin pay +payda toplamı ne olabilir?

3k / 4k olan herhengibir DENK kesrin (pay+payda)= 3k + 4k = 7k olur ,yani toplam 7 ye bölünmeli

Örnek15) 4/5 kesrinin pay ve paydasına 1/4 eklenince kesir nasıl değişir?

Yeni kesir = (4 + 1/4 ) / ( 5 + 1/4 ) = ((4*4 +1) /4)  / (( 5*4 +1 ) /4 ) = (17 /4) / (21/4 )= (17/4)*(4/21)=17/21

Yeni kesir- İlk kesir = (17 /21)  - ( 4/5) = (17*5 -21*4) / (21*5) =(85-84) / 105 = 1/105 ARTAR.

KURAL-11) Paydaları  21  ve 5 gibi aralarında Asal olan kesirlerin ÇIKARMA ve TOPLAMAsında PAYDALARI EŞİTLEMEK için;

 1nci kesrin PAYI ile  2ncinin PAYDAsını çarpar(17*5) ve araya (çıkarmaysa  -)  veya (toplamaysa +) koyarız,

sonra 1ncinin PAYDAsı ile   2ncinin PAYını çarparak yazarız(21*4). Bu ifadenin sonucu =toplam veya çıkarmanın PAYI olur. (17*5 -21*4) gibi

1nci ve 2nci kesirlerin paydalarının ÇARPIMI da toplam veya çıkarmanın PAYDASI olur.= 21*5 gibi 

Örnek16) A-B=2/3 de A dan 3/4  çıkartır ve B ye 1/6 eklenirse yeni fark NE kadar değişir?

Yeniyi yapalım:  (A-3/4) - (B+1/6) i bulalım.  (A-B )+ (-3/4) +(-1/6) yapalım. 2 eksiyi parantez önüne alalım ve

  2 kesir pozitif olur.                                  A-B = + (3/4  + 1/6) kural11 gibi payda eşitleyelim

                                                           YENİ       A-B =  ( (3*6 + 4*1) /4*6) = 22 /24 =11 /12 olur.

YENi fark - İLK fark = 11 /12 - 2/3 =  (11*3 - 12*2 ) / 12*3 = (33-24 ) / 36 = 9 /36 = 1/4 ARTAR.

Örnek17) 3x / 2y nin pay ve paydasınan  a çıkartırsak, 2x /y ye eşit oluyor. a=??? 

       3x-a / 2y-a = 2x /y   

(3x-a)*y = (2y-a)*2x  

3xy -ay  = 4yx- 2xa

2xa -ay = 4yx - 3xy = xy                    

a (2x-y ) =y   den     a= y / ( 2x-y) buluruz. Bu kesrin tanımlı olması için; 2x =y OLMAMALIII

Örnek18) 3/4 kesrine DENK olan kesrin payından 2 çıkarıp, paydasına 2 eklenirse, değeri=1/2 oluyor. Kesrin pay+payda toplamını bulalım.

KURAL: 3/4 kesrine DENK kesirleri = 3k / 4k olarak yazalım

(3k -2 ) / ( 4k+2 ) = 1/2 de içler dışlar çarpımı yapalım= (3k-2)*2 = (4k+2)*1

                                                                           6k-4        = 4k +2

                                                                                  6k-4k= 2+4 =6

                                                                                      2k = 6  den k=3 buluruz.

Pay + payda = 3k + 4k = 7k = 7*3=21 olur.

Örnek19) 2 / (1-1/6) =???

önce paydayı bulalım:  1/1 -1/6=(1*6 -1*1) / 1*6 = (6-1) /6 =5/6 olur.

((1/6 ) -1 ) /5 =?????

önce payı bulalım:  (1/6)-1 = (1 / 6) - 1/1 = (1*1 - 6*1 ) / (6*1) = - 5 /6 olur.

Örnek20)  3,75 =a + (b/4) ve a ile b +tamsayılarsa, (a+b) toplamının en büyüğünü bulalım.

        a)      3,75  = 3 + 0,75 = 3 + 3 / 4  den  a=3 ve b=3 olmalı.  a+b= 3+3 =6  olur. 

        b)      3,75  = 2 + 1,75 ise                    a=2  ve b/4 =1,75 ten b=1,75 *4 =7 olur. a+b=2+7=9 olur.

       c)      3,75 =1 + 2,75 ise    a=1 ve b/4 =2,75 ten b=2,75*4=11 ve a+b=1+11=12 max olur.                       

                                                                                        

                                                                           

Yorumlar

1)ricardo | 30/10/2012 | 18:10:49
Çok yardımcı oldunuz çok teşekkür ederim...
2)aşık | 02/11/2012 | 12:11:52
Yardım için teşekkürler.Sizin paylaşımınız sayesinde matematik dersinden 100 aldım Cok saolun
3)mavii kiz | 07/09/2013 | 12:09:20
100 mu aldin ahahaha sen nerde okuyosun yavrucum bu paylasima bakıp 100 aldiysan turkiyenin eğitimi sıfır demektir. Cok yazık.
4)asASas | 17/10/2013 | 10:10:59
ASDASDASDA
5)ANAN BİLİR | 03/11/2013 | 08:11:06
ÇOK SAOLUN ZATEN YARRAK GİBİ BİR DERS ÇOK YARDIMCI OLDUNUZ
6)asdaASS:s.sasas:aAaSas | 18/11/2013 | 16:11:19
hiç yardımcı degil ne olur pay ve paydasına böleme yı anlatın
7)aqq oç senın ebn | 18/11/2013 | 16:11:03
sağollunnn :/ :/ ;) :* :* :* :* :*
8):Sad.s:D.SAd.sa.d:A:Das | 04/12/2013 | 17:12:22
çok sağolun
9)İPEK | 09/01/2014 | 20:01:23
BEĞENDİİM
10)DENİZ | 09/01/2014 | 21:01:32
BEN ZATEN BU KONUYU KAVRADIM AMA KESİRLERİ BİLMEYEN BİRİ İÇİN YARDIMCI BİR SİTE*XD
11)NİL | 09/01/2014 | 21:01:21
KESİRLERİ AYRINTILI ANLATMANIZ GÜZEL FAKAT İYİ ANLATAMADINIZ SANIRIM.YAŞ12GENÇLİK
12)YAREN | 09/01/2014 | 21:01:40
MATTAN 52 ALDIM ÇOK YÜKSEK
13)hatice | 12/10/2014 | 18:10:11
Güzel icinde onemli bilgiler var
14)Ömer | 16/10/2014 | 00:10:52
Güzel bir anlatın ayrıntılı anlatılmış yarısında ödevi bıraktım yinede teşekkürler..
15)mehmet | 24/12/2014 | 17:12:36
adam sik gibi anlatıyo orospu işte
16)xxxx | 03/11/2015 | 18:11:24
-3/4 kesrinin bölme işlemine tersi nedir? diye soru eksik
17)incici_hatun | 13/11/2015 | 20:11:37
sırf bu konuları anlamadım diye matemattkten ilk defa düşük aldm hatta ilk kez düşük not aldım
18)Olamazzzzzz | 19/11/2016 | 09:11:20
Olamaz Kesinlikle Olamaz 76 aldağğğğım ni hahahaha amk lise 2 nekada zor la 76 aldım nihahah amk 76 aldım diye hocayam götümü göstercektim az daha amkama sitenin yararımı oldu bilmiyim XD
19)Sude nur Yilmaz | 07/10/2017 | 15:10:12
Sayı doğrusunda pay paydadan küçükse bölünürmü yoksa sıfır ile bir arasındamıdır

Yorum Yaz

İsminiz

Eposta adresiniz

Güvenlik Kodu

Yorumunuz

 
 
 
 
 
Isı ve Sıcaklık21ocak2014YENİ
21ocak2014eklendi. Bitti... »
KaldırmaKuvvetiYeniMart2013
KaldırmaKuvvetiYeniMart2013... »
ÖĞRENCİLER LÜTFEN SORU ve CEVAPLARINI AYNEN KOPYALAMAYINIZZZZZZZZ
KOPYALAMAYINIZZZZZZZZ. ÖGRENCİLER LÜTFEN SORU VE CEVAPLARI AYNEN KOPYALAMAYINIZ... »
Sınav Kolay Başarı Kolay
*Dersin esasını öğrenelim, anlayalım, temel kavram ve yasaları öğrenelim, detaylara boğulmayalım. Ezberlemeyelim. *Yanlış yaptıklarımızın muhakkak doğrusunu öğrenelim, doğrular bizimdir, yanlışkarımızdan öğreniriz. *Konuları çok fazla tekrara gerek yok, amaç günde çok fazla soru yapmak değil ; güzel ve değişik dersanelerin sorularından yapmalıyız. Önemli konuların hepsini 3-4 aydabir sorularla sürekli tekrarlıyor olmalıyız. *Soruları çözerken; zor, normal ve kolay soruları ayırtedebilmeliyiz. Zor veya uzun vakit kaybettirebilecek sorulara boğularak vakit kaybetmemeliyiz. Hedefimize ulaşmak için; her dersten en az kaç soru cevaplamamız gerekiyorsa; önce kolay sorulardan hata yapmadan çözmeliyiz.... »