1) 24, 60, 108 sayılarını kalansız bölen veya tam bölen en büyük doğal sayı (en büyük ortak bölen denen EBOB) kaçtır?
KURAL) Sayıların hepsini de bölen en büyük sayı yani sayıların ORTAK BÖLENİ olan en BÜYÜK SAYI = EBOB (EN büyük ortak bölen) dir.
2, 3, 5, 7 gibi asal çarpanların en küçüğü olan 2 den başlayarak,
*yukardaki 3 sayıyıda ORTAK bölen asal çarpanların EN KÜÇÜK ÜSlüsünü almak ve
**Ortak bölMEYENLERİ alMAMAktır.
24 = 2*2*2*3 =(2 nin 3ncü üssü)*3
60 = 2*2*3*5 =(2 nin 2nci üssü)*3*5
108 = 2*2*3*3*3 =(2 nin 2nci üssü)*(3 ün 3ncü üssü)
24, 60 ve 108 de ortak bölen olan asal çarpan 2 ve 3 tür.
* 2nin ortak bölen olan en küçük üslüsü = 2 nin 2nci üssü dür.EBOB a alacağız
**3 ün ortak bölen olan en küçük üslüsü = 3 ün 1 nci üssü =3 dür ve EBOB a alacağız.
***5 çarpanı Ortak Bölen OLMAYAN çarpandır, yani EBOB a almayacağız.
EBOB(24, 60, 108) = (2 nin 2nci üssü) * 3 =(2*2)*3=12 olur.
2) 24, 60, 108 e bölünen en küçük doğal sayı kaçtır?
KURAL) Bu 3 sayıya da bölünen en küçük doğal sayı= Bu sayıların EN KÜÇÜK ORTAK KATI (EKOK) olmalıdır.
Bu 3 sayıda ORTAK olan asal çarpanların EN BÜYÜK ÜSLÜsünü ve Ortak OLMAYANLARI EKOK a alacağız
24,60,108 de ortak olan çarpanlardan 2 nin en büyük üslüsünü yani 2 nin 3ncü üslüsü ile
3 ün en büyük üslüsünü yani 3 ün 2nci üslüsünü ve
ortak OLMAYAN 5 çarpanını da EKOK a alacağız.
EKOK(24, 60, 108)= ( 2nin 3ncü üssü)*(3 ün 3nci üssü)* 5 =(2*2*2) *(3*3*3)*5=8*27*5=1080 olur.
DİKKAT: 1080 olan EKOK; 24, 60 ve 108 e bölünür, yani bu 3 sayının ORTAK katıdır(en küçük) ve sayılardan BÜYÜKtür.
12 olanEBOB, 24, 60 ve 108 olan sayıların 3ünü de bölen en büyük ORTAK BÖLENdir ve sayılardan KÜÇÜKtür.
KURAL) ASAL sayılar, kendisinden ve 1 den başka çarpanı (yada bu sayıları bölen bir sayı)OLMAYAN sayılardır.
2, 3, 5, 7, 11, 13,17, 19,.....asal sayılardır. Tüm bu sayıları kendisinden veya 1 den başka sayı BÖLEMEZ.(1 Asal değildir, 2 hem asal ve hem de ÇİFT olan tek sayıdır)
**6 asal değildir. Kendisi=6 ve 1 den başka 2 ve 3 gibi 2 çarpanı(veya böleni) vardır.
***7 asaldır.Kendisi=7 ve 1den başka böleni(çarpanı) YOKtur.
ASAL SAYILAR pozitiftir.
Bir sayıyı asal çarpanlarına ayıralım:
Örnek: 60 ı ayıralım:
En küçük asal çarpan olan 2 den başlayarak 60 ı önce 2 ye bölelim: 60 = 2*30
Sonra 30 u 2 ye bölelim :30 = 2 * 15
15 sayısı 2 ye bölünemez. Sonraki asal sayı 3 e bölelim: 15 = 3 * 5
3 ve 5 asal sayılarına ulaşınca iş bitmiş demektir. Şimdi 60 ın çarpanlarını yazalım: 60 = 2*2*3*5
KURAL) Sayıların 1 den başka ortak böleni YOKsa bu sayılar ARALARINDA ASAL SAYILARDIR.
KURAL)ARALARINDA ASAL sayıların EBOB=1 ve EKOK=Bu 2 sayının çarpımıdır.
3) 9 ve 16 aralarında asaldır.( 9 ve 16 nın 1 den başka ortak böleni yoktur.) AMAAAAA
9 asal sayı değildir. 9=3*3 ( Kendisi=9 ve 1 den başka 3 çarpanı vardır.)
16 asal sayı değildir. 16= 2*2*2 (Kendisi=16 ve 1 den başka 2 böleni vardır)
4) (2a-3) ve (3b+4) aralarında asaldır.
(2a-3) / (3b+4 ) = 36 / 60 ise a=? b=?
Eşitliğin sağındaki 36 ve 60 sayılarını ARALARINDA ASAL SAYILAR yapalım: İkisini de ortak bölenleriyle sadeleştirelim
2 ye bölelim: 18 / 30 oldu
Tekrar 2 ye bölelim 9 / 15 oldu Hala 3=ortak böleni var,
3 ebölelim 3 / 5 olunca, 3 ve 5 artık aralarında asal sayılar oldu.
(2a-3) / (3b+4) = 3 / 5 den içler dışlar çarpımı yaparsak; (2a-3)=3 ve (3b+4)=5 buluruz.
Bu 2 denklemi çözersek; 2a=6 dan a=3 ve 3b=1 den b=1/3 çıkar.
5) A ve B aralarında asal sayılardır. ebob(A,B)=a-5 ve ekok(A,B)=60a ise A+B=?
Aralarında asal sayıların ebob=1 olduğundan ebob(A,B)= a-5 i 1 e eşitleriz: a-5=1 den a=6 olur.
Aralarında asal sayıların ekok= 2 sayının çarpımıdır. ekok(A,B)=60a =60*6=360 dır.
Şimdi 360 ı önce çarpanlarına ayırmalıyız: 360 = 2*2*2*3*3*5 = (2nin 3ncüssü)*(3 ün 2nciüssü)*5
Sonra 360 ı ebob=1 olan 2 aralarında asal sayıya ayırmalıyız ki 1 den başka ortak böleni olmasın.
A= (2 nin 3ncüssü)*(3 ün 2nciüssü)
B= 5 dersek A ve B sayılarını aralarında asal olarak buluruz.
(A=2 üssü3, B=(3üssü2)*5 ) olarak da sayıları seçebiliriz.
(A=3üssü2 B=(2üssü3)*5 ) olarak da seçebliriz.Önemli olan A ve B de ortak çarpan OLMAYACAK.
6) Ekok=260 olan 3 sayının toplamı
A) en çok kaç olabilir?
B) en az kaç olabilir?
ekok=260 = 2*2*5*13 olan ve toplamı en çok olacak 3 sayıyı oluşturalım.
1nci sayı=260 olsun =2*2*5*13
2nci sayı=130 =2*5*13
3ncü sayı=65=5*13 olur. 3 sayının toplamı en çok = 260 + 130 + 65 = 455 olur.
B) 1nci sayı =2*2
2nci sayı=5
3ncü sayı=13 olarak seçilirse (260 ın çarpanlarını aralarında asal 3 parçaya böldük)Minimumtoplam=4 + 5 +13= 22 olur.
7) A ve B birbirinden farklı pozitif sayılardır.
ebob ları =24 ise bu sayıların en küçük toplamlarını bulalım.
24 =2*2*2*3 yapalım. Minimum toplam elde etmek için 1nci sayı =ebob=24 olsun
2nci sayı =ebob 24 * en küçük asal çarpan 2 =48 olsun
MİNİMUM TOPLAM = 24 + 48 = 72 olur.
8) A ve B doğal sayı ve ebobları=3 ve 8A=5B ise A ve B nin toplamını bulalım.
B yi A nın paydasına,
8 ide 5 in paydasına yazarak bir orantı yazalım: (A / B) = ( 5 / 8) olur.
ebobları =3 ise A= 5* ebob 3 =15
B=8 * ebob3 =24 olur. A+B= 15+24=39 olur.
**ebobları=3 demek , A ve B sayılarında 3 var demek, A/B gibi oran halinde yazılınca 3 sadeleşip, 5/8 kalmış.
9) ebob (A,B)= 24 ve ekok(A,B)=240 ise, A ve B nin minimum toplamını bulalım.
ebob ve ekok ların çarpanlarını yazalım.
ebob =24= 2*2*2*3
ekok =240 = 2*2*2*2*3*5 =(2*2*2*3)*2*5= ebob*2*5
ebob=24 olduğundan A ve B nin ikisindede 24 çarpanı olmalı.
ekokta = ebob*2*5 olduğundan, minimum toplam için, ekoktaki 2 ve 5 çarpanlarından birini A ya , diğaerini B ye ekleyebiliriz.
A=2*24 =48 ve B= 5*24 =120 olur.
Minimum toplam = 48 + 120 = 168 buluruz.
KURAL) 2 sayının çarpımı = ebob * ekok
10) Çarpımları =240 olan 2 sayının ekok u=60 ise ebob=?
240 = ekok * ebob = 60* ebob ve ebob=4 olur.
11) 198 sayısına hangi minimum sayıyı eklersek, 11 ve 19 ile tam bölünür? (kalansız bölünür)
11 ve 19 aralarında asal sayılar olduğundan bu 2 sayıyla tam bölünen sayı , ikisinin EKOK udur.
Aralarında asal sayıların ekok u = sayıların çarpımıdır.
ekok = 11*19 =209
209- 198 =11 eklersek, 11 ve 19 a tam bölünür.
12) A+B=8 ve ebob(A,B)=1 İSE A=? B=?
ebob =1 ise, A ve B aralarında asaldır.
A + B = 8 den A ve B yi bulalım.
1 + 7 = 8 den A ve B için 1 ve 7 desek 1 ve 7 aralarında asal olmazlar.
2 + 6 =8 den A ve B için 2 ve 6 desek, 2 ve 6 aralarında asal DEĞİL (2 ortak bölendir)
3 + % =8 dersek A ve B için 3 ve 5 diyebiliriz. aralarında ASAL SAYILARdır.
13) 12 ile bölündüğünde 10 ve
14 ile bölündüğünde 12 kalanını veren en küçük doğal sayı kaçtır?
KURAL)Bu sayı = 12k + 10 = 14k +12 olarak gösterebiliriz.(12+10 da sayının 12 ye bölündüğünde 10 kalanını verir)
**Sayıya 2 eklersek; bu sayı 12 ve 14 e tam bölünür Sayı+2 = 12k =14k olur.
ekok(12,14 )= 2*2*3*7 =84 den sayı+2 =84 ve sayının =82 olduğunu buluruz.
14) Bir sınıf 4 er, 5 er ve 7 şer sayıldığında hep 3 öğrenci artmaktadır. Sınıfın mevcudu?
KURAL) Sınıf 3 kişi EKSİK olsa, sınıf mevcudu 4, 5 ve 7 ile kalansız bölünecek ve sayıların ekok u olacaktır.
Sınıf mevcudu -2 = 4k=5k=7k olup = 4 e, 5e, 7 e tam bölünecektir.=ekok (4, 5, 7)
ekok(4, 5, 7) =4*5*7= 140 (4,5,7 aralarında asal olduğundan, ekok ları =sayıların çarpımlarına)
Sınıf mevcudu = 140+2 =142 olur.
15) Paketlerdeki 56, 63, 84 kg lık pirinçler karıştırılmadan ve hiç artmadan paketlenecektir. En büyük poşetlerden kaç tane lazımdır?
DİKKAT: Burada BÜYÜK paketden KÜÇÜK ama en BÜYÜK paketi bulmaya çalışacağız.
Büyük paketden küçük pakete giderken EBOB bulmamız gerekli.
56, 63 ve 84 ü tam bölecek en büyük sayıyı bulacağız. EBOB lazım.
56 = 2*2*2*7
63=3*3*7
84=2*2*3*7
ebob (56,63,84)= 7 (hepsinde ortak olan sadece 7 var) O halde 7 kglık KÜÇÜK PAKETler yapacağız
Kaç KÜÇÜK paket lazım= 56 /7 + 63 /7 + 84 /7 = 8 + 9 +12 =29 tane 7 kg lık poşet lazım
16-A) ÇEVREYLE İLGİLİ
Kenarları 24 ve 60 m olan bahçenin etrafına eşit aralıklarla ağaç dikilecek.En az kaç ağaç gerekli?
24 ve 60 ı tam bölecek en büyük bölen lazım ki; en az ağaç sayısını bulalım.
DİKKAT:Burada en az ağaç sayısı için EN BÜYÜK AĞAÇ ARALIĞI yani EN BÜYÜK ORTAK BÖLEN lazım. EN AZ AĞAÇ tan yanılıp EKOK problemi olarak düşünme, HAYAL ETTTTT)
ebob(24, 60) = 2*2*3 =12m aralıklarla ağaç dikilmelidir.= en büyük aralık =ebob
en az ağaç sayısını bulalım. =BAHÇENİN ÇEVRESİ / 12 = 2*(24+60) /12 = 84 /6 =14 AĞAÇ GEREKLİ
16-B) ALANLA İLGİLİ
10 ve 12 cm lik ebatlarda dikdörtgenlerden kare yapılacaktır. Dikdörtgenlerden en kaç tane lazımdır?
KURAL) KÜÇÜK DİKDÖRTGENLERDEN BÜYÜK KARE YAPILACAK ve karenin 1 kenarı 10 ve 12 nin en küçük ortak katı olmalı( dikdörtgenlerden en az kaçı gerekli için karenin kenarları 10 ve 12 ye tam bölünebilen EN KÜÇÜK ORTAK KAT OLMALI) yine hayal ettttt, karışabilir!!!!
ekok (10, 12 ) = 2*2*3*5 =60 =karenin 1 kenarı olmalı
Dikdörtgen sayısı = (kare kenarı * kare kenarı) / (dikdörtgen kenarı*dikdörtgen kenarı)
=( 60*60) / (10*12 ) =6*5 =30 tane dikdörtgen gereklidir.
16-C) HACİMLE İLGİLİ
Ebatları 4, 10 ve 16 olan dikdörtgenler prizması kutular eklenerek küp yapılacak. Kaç tane prizma gerekli?
16-B) deki soruya benzer. KÜÇÜK ebatlı dikdörtgen prizmalardan BÜYÜK ebatlı küp yapacağız ve BU bir EKEOK problemidir. Küpün 1 kenarı 4,10 ve 16 ya tam bölünmelidir , yani ekok (4, 10, 16 ) ya eşit olmalıdır.
ekok(4, 10,16)= 2*2*2*2*5 =80 = küpün 1 kenarı
Kaç tane küçük dikdörtgen prizma gerekli= Küpün hacmi (büyüğün hacmi) / KÜÇÜK ün hacmi
(80*80*80) /(4*10*16) = 20*8*5 =800 tane gerekli
DİKKAT: 16-A) da Ağaç sayısı = Bahçe çevresi /Bahçe aralığı (ebob problemiydi)
16-B)ALAN probleminde KÜÇÜK dikdörtgenden BÜYÜKkare yaparken EKOK probleminde
KÜÇÜK dikdörtgen sayısı = BÜYÜKkare ALANI / KÜÇÜK dikdörtgen ALANI
16-C) de HACİM probleminde KÜÇÜK dikdörtgenden BÜYÜK kÜP yaparken EKOK probleminde
KÜÇÜK dikdörtgen prizma sayısı = BÜYÜK KÜP HACMİ / KÜÇÜK dikdörtgen prizma hacmi
DİKKAT: Alanda 2 boyut çarpımı olmalı, kare -dikdörtgen alanla ilgili
Hacimde 3 boyut çarpımı olmalı, küp - prizma hacimle ilgili
17) Bir çocuk parkı 6 dakikada, diğeri 10 dakikada, üçüncüsü 18 dakikada dolaşmaktadır. Üçü beraber koşmaya başladıktan kaç dakika sonra tekrar yanyana gelirler?
6, 10 ve 18 dakikaya tam bölünebilen en küçük ortak katları olan dakikada çocuklar tekrar yanyana gelebilirler.
ekok(6, 10, 18 )= 90 dakika sonra ikinci kez yanyana gelirler(birinci kez beraber yarışa başladıktan sonra)
90 +90= 180 dakika sonra 3ncü kez yanyana gelirler.
18) 64, 43, 72 sayıları bir x sayısına bölündüğünde sırasıyla 4,3,2 kalanlarını vermektedir. En büyük x i bulalım.
64 sayısı 4, 43 sayısı 3 ve 72 sayısı 2 sayı eksik olsaydı, kalanların en büyük ortak böleni =x olacaktı.
x= ebob (60, 40,70) =10(6,4,7 ) =10 ( 2*3, 2*2, 7) =10
**parantez içinde hiç ORTAK ÇARPAN YOK. ebob olamaz.
