Doğal Tamsayı,Asal Sayılar,Çözümleme
18/03/2009  |  MATEMATİK | (11)yorum | 77916 kez okundu.

A) 0 dahil ve 1, 2, 3, 4,....gibi POZİTİF sayılardan oluşan küme = N= {0, 1, 2, 3, 4,.....} DOĞAL SAYILARı oluşturur

B) Doğal sayılara NEGATİF sayıları da EKLERSEK oluşan küme =Z={......, -4,  -3,  -2,  -1,  0, 1, 2, 3, 4,...} TAMSAYILARI oluşturur. 

C) Doğal sayılardan SIFIRI ÇIKARIRSAK SADECE POZİTİF sayılardan oluşan küme =S={1, 2, 3, 4, ....} SAYMA sayılarıdır.

Örnek1) İki doğal sayının toplamları=15 ise , bu sayımların ÇARPIMLARININ

           a) en büyük ve

         b) en küçük  değerini bulalım. 

         c) Sayılar  SAYMA SAYILARI olsaydı , çarpımların maksimum ve minimum değerlerini bulalım.

***a)Toplamları =15 olan 2 sayı BİRBİRİNE YAKIN ise; Çarpımları en  büyüktür,yani  ÇARPIMLARI MAKSİMUMdur.

Toplamları=15 ve BİRBİRİNE YAKIN (ya da sayıların FARKI MİNİMUM) olan sayılar  7 ve 8 in  çarpımı=56 MAKSİMUM  olur.

***b) Toplamları =15 olan 2 sayı BİRBİRİNDEN UZAK ise; Çarpımları en küçüktür, yani ÇARPIMLARI MİNİMUM dur.

Toplamları=15 ve BİRBİRİNE UZAK(ya da sayıların farkı MAKSİMUM) olan sayılar 15 ve 0 ın çarpımı= 0 MİNİMUMdur

c) b-şıkkındaki  0-sayısı SAYMA SAYILARInda OLMADIĞINDAN

 toplamları=15 ve birbirine uzak (farkları maksimum olan) olan 2 SAYMA sayısı olarak  1  ve 14 ü alırız. MİNİMUM ÇARPIM= 14*1 =14 olur.

Örnek2) Çarpımları=15 olan 2 doğal sayının TOPLAMLARININ

      a) en büyük ve

      b) en küçük değerlerini bulalım.

a) Çarpımları=15  ve BİRBİRİNDEN UZAK (FARKLARI maksimum) doğal sayıların TOPLAMI EN BÜYÜK, MAKSİMUMdur

1 ve 15 olan sayılarının farkı maksimum ve birbirlerinden UZAK olup toplamı= 1+15=16 olarak en büyüktür.

b) Çarpımları=15 ve BİRBİRİNE YAKIN(farkları minimum) doğal sayıların TOPLAMI EN KÜÇÜK, MİNİMUMdur. 

3 ve 5 sayılarının farkı minimum ve birbirine yakın olup  toplamı =3+5=8, en küçük, minimumDUR.

öRNEK3) xy=24 ve yz=64 ise, x+y+z nin maksimum ,en büyük değerinin bulalım.

2 eşitlikte de Ortak olan  y ye  en küçük değeri =1 i verelim. Bu durumda x=24 ve z=64 olarak en büyük olur.

Toplamları=x+y+x= 24 + 1 + 64=89 en büyük olur.

Örnek4) (3 üssü 3 ) +  (3 üssü 4) + (6 üssü 2 ) + ( 6 üssü 5) =???? Sonuç  ÇİFT SAYImıdır?

KURAL: ÜSLÜ SAYILARDA

          Taban ÇİFTSE; sayı ÇİFT

          Taban TEKSE;  sayı TEK olur.

***YANİ ÜSLÜ SAYILARDA  üsse   bakmaya gerek yoktur, taban çifse, sayı çift

                                                                             taban tekse, sayı tekdir.

a) (3 üssü 3) ve (3 üssü 4) ün  ikisi de tek sayıdır.  2 tek sayının toplamı ÇİFTdir. 

b) (6 üssü 4) ve (6 üssü 5) inikisi de çift sayıdır. 2 çift sayının toplamı ÇİFTdir.

c) a ve b  deki 2 çift sayının toplamı da ÇİFTdir.

KURAL: 2 TEK Sayının  TOPLAMI  TEKtir.         3 + 5 =8

             2 ÇİFT Sayının TOPLAMI ÇİFTdir.          4 + 6=10

            1 TEK ve 1 ÇİFT sayının TOPLAMI TEKtir.  5 + 6 =11

KURAL: Her sayının  SIFIRINCI Kuvveti TEKTİR. 

KURAL: 2 TEK Sayının ÇARPIMI TEKtir.

          2 çift sayının ÇARPIMI ÇİFT  ve

          1 TEK ve 1 ÇİFT Sayının ÇARPIMI da ÇİFTdir.

Örnek5 )    (3 üssü 2 )* (3 üssü 5) = tek * tek =tek

                 (4 üssü 2) * (4 üssü 5) = çift * çift =çift

                      5        *     10        =tek * çift = çift    

DİKKAT:5! =5FAKTÖRİYEL = 1 den 5 e kadar(5 dahil) sayıların ÇARPIMIdır  

1 * 2 * 3 * 4 * 5 = 120  olup daima   5faktöriyel ÇİFT SAYIdır. 

KURAL:  1 !(1 faktöriyel)    ve   0! (sıfır faktöriyel)  daima  =1 dir ve TEKtir.

2! (2faktöriyel) ve daha büyük faktöriyellerde 2 gibi enaz bir çift sayı çarpanı   bulunduğundan ÇİFTdir.                              

Örnek6) x tamsayıysa;  (x kare  -x   + 1) Tektir. Niye? 

KURAL: ARDIŞIK SAYILARın ÇARPIMI ÇİFTdir.  x*(x-1) veya x*(x+1) yazılımları da 2 ARDIŞIK SAYININ ÇARPIMINI göstermektedir ve sonucu ÇİFTdir.  

2 ve  3 ardışık sayılardır, yani aralarındaki fark=1 olan BİRBİRİNİ TAKİP EDEN sayılardır.

Daima ardışık sayıların biri TEK, diğeri ÇİFT olur.  2 * 3 =6   (çift * tek = çift)

Örnek6) ya dönelim.

(xkare - x  + 1 )deki  x leri,   ortak-x parantezine alalım:   (x* ( x - 1) +) deki

                                                                             x* (x-1), 2 ardışık sayının çarpımını göstermektedir ve sonucu ÇİFTdir. Bu çift olan sonuca , tek sayı olan 1 i ekleyince sonuç TEK SAYI olacaktır. 

***Soru   x(x+1) +1  olsaydı   sonuç yine TEK olacaktı. x(x+1) ,ardışık sayıların çarpımı çift olur. Bu çift sayının da 1 olan tek sayıyla toplamı yine tek olacaktır.

***Soru  x(x+1) +2 olsaydı , x(x+1) in sonucu olan çift sayıyla  yine çift sayı olan 2 nin toplamı da çift  olacaktır. 

Örnek7)  a) (x kare  +2x +1 ) tek ise;  

              b) (xkare + 2x + 2) çifttir. Neden???  

a tek ise;  b = a+1 olduğundan tek sayıya 1 eklendiğinde, sonuç=b, ÇİFT sayı çıkar.  (KURAL: a ve b nin arasındaki fark=1 , a ve b ardışık sayılardır, biri tek ise diğeri çiftdir, çift=tek+1 ,tek =çift+1 ) 

Örnek8) a)  5! + 6!  de   çift + çift sayı  olduğundan  toplam da çift sayıdır.  

               b)   1! + 5! DE TEK + ÇİFT sayı  olduğundan toplam tek sayıdır.

              c)    0! +3!  de  tek+ çift sayı olduğundan toplam tek sayıdır.

d) (3 üssü 5 )+(2 üssü 4) + 1! + 3! ün sonucunu bulalım.

        tek sayı   + çift sayı + tek + çift  in sonucu çift sayı olur.

DİKKAT: yukarıdaki 2 tek sayı toplamı = çift sayı olur. Şayet 3 tane tek sayı olsaydı ;

   (3 üssü 5) + ( 2 üssü 4) +1! +  3! + 0! ün sonucunu bulalım

      tek        +   çift        +tek +çift +tek   den

     tek         +çift           +çift    +çift  den sonuç  tek  olur. 

Örnek9)        (a üssü b)* (b üssü a) =5!  ise  a ve b tek mi çift midir?

5! çift sayıdır.  Ya (a üssü b) veya (b üssü a) dan biri çift olabilir.

                         a ve b'den İkisi de  çift olabilir. AMA a ve b nin ikisi de TEK OLAMAZ.  

DİKKAT: Çift sayının yarısı tek veya çift olabilir ,yani çift sayının yarısı çift olmak zorunda değil. 

(42 /2 =21, tek sayı oldu,çünkü 42 de 1 tane 2 var.    44 /2 =22 çift oldu, 44 de 2 tane 2 var !!!!!!)   

Örnek10) x, y, z pozitif tamsayılar ve  (3xy +5 ) / z =2 ise x,ve y tekmidir, çift midir?  

3xy + 5 =2z  de  2z çift sayıdır. O halde eşitliğin solundaki (3xy+5) de çift sayı olmalıdır.

3xy = çift sayı - 5 = çift sayı - teksayı  da çiftden tek sayı çıkarınca sonuç tek sayı çıkar. 3xy teksayıdır.

3xy, teksayıysa , 3 xy = tek*x*y çarpımında  x ve y nin  İKİSİDE TEK OLMALIDIR.

KURAL: Aralarındaki FARKLARI eşit olan  sayıların toplamını şöyle bulabiliriz.

A) GENEL FORMÜL 

3+5+7+9 de 3, 5, 7, 9 gibi sayılar var ve aralarındaki fark EŞİT ve burada 2 dir.

Önce TERİM SAYISInı bulalım=n= ((son terim - ilk terim) / aradaki fark) + 1  = ((9 - 3 ) / 2) +1 = 3+1=4 bulduk. Gerçekten de 3, 5, 7, 9 gibi 4 rakamı olduğunu bu formülden doğruladık.

TOPLAMINI bulalım = terim sayısı * (son terim + ilk terim)/2 = 4* (9+3) /2 =4*6 =24 bulduk. Gerçekten de bu 4 sayının toplamı = 3+5+7+9 =24 olmaktadır. 

Örnek11) 6 den başlayarak 6 şar sayarak 42 ya kadar(42 dahil) olan sayıların toplamını bulalım.

TERİM SAYISI = ((42 -6) /6 ) +1 =7

TOPLAMI=  7 * ( 42+6) /2 = 7*24 =188  ( 6+12+18+24+30+36+42=188)

B-1) Şayet sayılar 1 den başlayan ve  aralarındaki fark=1 olan ARDIŞIK SAYILAR olsaydı; A daki genel formülü yine kullanabilirdik. Ama daha kolay basit halini de kullanabiliriz, ama ezberlemek zorundasın

 1+2+3+4 ün toplamını şöyle bulabiliriz. Terim sayısı= (4 - 1) /1  +1 =4

1+2+3+4 ün TOPLAMI = terim sayısı * (terim sayısı +1) /2  =  4 (4+1) / 2 =10 olarak toplamını buluruz.

Örnek12)  1 den başlayarak 10 a kadar(10dahil) ardışık sayıların toplamını bulalım 

1+ 2+ 3+ 4+ 5+ 6+ 7+ 8+ 9+ 10 =???

terim sayısı = 10   toplam = 10 * 11 /2 = 55

B-2) 2 den başlayan ÇİFT SAYILARIN TOPLAMINI  veren formül = terim sayısı* (terim sayısı+1)yine ezber lazım

Örnek13)  2+4+6+8+10=????

terim sayısı =5 sayı vardır. TOPLAM = 5* (5+1) =30 buluruz.

B-3) 1 den başlayan TEKSAYILARIN TOPLAMInı veren formül = terim sayısının KARESİyine ezber lazım

Örnek14) 1+3+5+7+9+11 =????

 terim sayısı =6   TOPLAM= 6 nın karesi =36 buluruz.

DİKKAT: B-1 ve B-2 ve B-3 deki formülleri ezberlemek yerine hepsini A daki GENEL FORMÜLle yapabiliriz. 

A daki  Terim sayısını bulmak birçok başka problemde de işe yarar.

Örnek15) Örnek12 ,13 ve 14 deki toplanacak sayılar ÇOK OLSAYDI;

Örnek12: 1 den 100 e kadar ardışık sayıların toplamını bulalım. Burada terim sayısını bulmak kolay: 100 tane sayı var ve terim sayısı =100 toplam = 100 (100+1) /2 = 50* 101 =5050

Örnek13) 4 den başlayarak 24 e kadar(24 dahil) çift sayıların toplamını bulalım.

terim sayısı = ((24 -4 ) / 2 ) +1) = 11  toplam = 11 *(11+1)=11*12 =132

DİKKAT: Çift sayı toplamında  4  ve  24 gibi ilk ve son terim çift sayı olarak verilmiştir. Çift sayı OLMASALARDI:

***3 den başlayarak 25 a  kadar çift sayıların toplamını bulalım

3 den sonraki ilk çift =4 =ilk terim ve 25 dan önceki ilk çift sayı =24 =son terim olarak formülü yine uygulardık.

Örnek14) 4 den başlayarak 24 e kadar tek sayıların toplamını bulalım. DİKKAT: Teksayı toplamında ilk ve son terimler tek değil. yapalım: 4 den sonraki tek sayı  =5 =ilk terim

                                   24 den önceki tek sayı = 23 =son terim

terim sayısı =(( 23-5) /2) +1 =10   teksayılar toplamı= terimin karesi =100

DİKKAT: TEK ve ÇİFT sayılarda TERİM SAYISINI bulurken= ((sonterim - ilkterim) / sayılar arasındaki fark)+1 de FARK, DAİMA  2 dir. 1,3,5,... ve 2,4,6,8... gibi tek ve çift sayılar arsındaki fark=2 dir.

3 er 3 er  sayarken fark=3  veya  4 er 4er sayarken fark=4 gibi devam eder.... 

Örnek16) 4 den 48 e kadar (48dahil) 4 ün katı olan veya 4 e bölünen sayıların adedini bulalım.

4 ün katı olan veya 4 e bölünen sayıların araındaki fark=4

terim sayısı =(( 48 - 4) /4) +1 = 12

Örnek17) 8+16+32+.......+320 de kaç terim vardır?

Sayılar arasındaki fark=8     terim sayısı=(( 320-8) / 8) +1 =40

Örnek18) 150 sayfalık kitabın sayfalarını numaralamak için kaç rakam kullanırız?

***0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 olarak 10 tane RAKKAM vardır.   örneğin;125 sayısında 3 rakkam vardır.

1 den 9 a kadar                                                                                9 rakam

10 dan 99 a kadar  99-10+1=90sayı  ve                    90*2 =180 rakam

100 den 150 ye kadar 150-100 +1 =51 sayı ve       51 *3 =153 rakam  olarak toplam 342 rakam vardır.

öRNEK19) x+y =50 ve x+z=35 ise y-z=?

Sorulana ve verilenlere dikkat edelim: Eşitliğin solunda  y-z olması için; (x+y) den (x+z) yi ÇIKARTMALIYIZ.

             x+y-x-z =y -z = 50-35       y-z=15   olur.

KURAL:ARDIŞIK 5 SAYI   veya

          ARDIŞIK TEK sayı  veya

          ARDIŞIK ÇİFT sayı  gibi  5 tane yani TEK sayıdaki terimlerin   TOPLAMI belliyse,

            ORTADAKİ sayıyı bulmak için;  TOPLAM / TERİM SAYISI yapariz. 

Örnek20-A) Ardışık 5 (tek sayıda) tane TEK sayının toplamı=105 ise, sayıların en büyüğünü bulalım.

 Önce ortadaki sayıyı bulalım =   105  /5 =21

Sayılar 5 tane olduğuna göre, 21 in solunda 2  tane tek sayı  ve 21 in sağında da yine 2 tane  tek sayı olacaktır.

       17        19      21     23    25   olur. En büyüğü=25 tir.

Ortadaki sayının 2  aralık sağına gidersek,  2 tek sayı geçildiğinden,  2*2 =4  ve ortadaki sayı21 + 4 =25  bulunur.

Örnek20-B) Ardışık 6 tek sayının toplamı=120 olsaydı; en büyük tek sayıyı bulalım.

DİKKAT: Terim sayısı=6 yani ÇİFT SAYIDA TERİM VAR.

120 / 6 =20 bulduk.  20  sayısı 19 ve 21 gibi 2 tek sayının ortasındadır.

Sayıları yazalım.   15       17       19       21      23     25  den en büyük tek sayı=25 olur. 

Örnek21) Ardışık 2 ÇİFT sayının kareleri farkı=90 ise,   bu sayıların toplamını  bulalım.

Ardışık 2 çift sayı  a   ve  b  olsun  (a nın karesi) - (b nin karesi) = 90

Eşitliğin sol tarafını ÇARPANLARINA AYIRALIM: (a-b)* (a+b) =90

                                                                                       2 * (a+b) =90  dan     a+b=45  olur. 

KURAL: 2 ARDIŞIK TEK veya ÇİFT sayının farkı =2  dir.

          2 ARDIŞIK sayının  farkı=1 dir.     

KURAL: 2 SAYININ kareleri FARKINIn çarpanları=  (sayıların farkıyla (=a-b),  (sayıların toplamının (=a+b)çarpımıdır.

                  a nın karesi - b nin karesi          =      ( a-b)                   *        (a+b)

KURAL:  1 ve kendisinden başka böleni olmayan sayılar ASAL SAYIlardır.  2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,....

            1, asal sayı DEĞİLdir.

            2 ,ÇİFT asal sayıdır ve 1 tanedir, diğer tüm asal sayılar teksayıdır.

KURAL: ARALARINDA ASAL SAYILAR, aslında kendileri asal sayı olmayabilir. AMA aralarında asal 2  sayının 1 den başka ortak böleni YOKTUR.

 16  ve 27  asal sayı değiller.  16 nın 2*2*2*2 gibi 1 ve kendisinden başka 2 sayısı olarak  böleni var

                                                    27 nin de 3*3*3 gibi 1 ve kendisinden başka  3 sayısı olarak böleni var.

AMA 16  ve 27 nin ikisini de bölen sayı yok yani ARALARINDA ASAL SAYILAR.  

**16 ve 54  aralarında asal DEĞİL.

16 =2*2*2*2  ve

54=2*3*3*3    nin  ikisini de bölen 2 sayısı var yani ortak bölenleri var, bu durumda ARALARINDA ASAL DEĞİLLER.

öRNEK22)       2x + 2  / y+1   =  16 /50  ise ve  2x+1 ile y+1 aralarında  asal ise; x ve y=???   

Eşitliğin sol tarafı aralarında asal ise; sağ tarafını da 16 ve 50 yi de aralarında asal yapalım: ortak bölenlerini yokedelim:   16 =2*2*2*2 ve 

                50=2*5*5        sayılarını ortak bölenleri=2 ye bölelim. Sayılar  8 ve 25 olur, ve aralarında asal oldular.  

 2x+2   / y+1 = 8 / 25  den   2x+2 =8  ve y+1 =25 yapalım.     x=3 ve y=24 çıkar.     

KURAL: ÇÖZÜMLEME =Bir sayıyı rakamların BASAMAK DEĞERLERİNİ toplayarak yazmaktır.

 222 sayısında hep aynı rakam, 2 vardır. AMA

sağdan ilk basamak BİRLER BASAMAĞINdaki 2 nin BASAMAK DEĞERİ=2*BASAMAK DEĞERİ =2*1=2

sağdan 2 nci basamak ONLAR BASAMAĞındaki 2 nin BASAMAK değeri=2*BASAMAK DEĞERİ =2*10=20

SAĞDAN 3ncü basamak YÜZLER BASAMAĞIndaki 2 nin BASAMAK DEĞERİ=2*basamakdeğeri=2*100=200 

222 yi ÇÖZÜMLEYELİM: 

222 = 2*yüzler basamak değeri + 2* onlar basamak değeri  + 2 * birler basamak değeri

222 = 2*100                          + 2*10                           +2*1

222 = 2* 10 un karesi              + 2*10 un 1nci üssü         + 2*10 un sıfırıncı üssü  olur.

DİKKAT:a) Herhangibir sayının SIFIRINCI ÜSSÜ =1 dir.

b)222 de en büyük basamak 10 un karesi yani 10 üzeri 2 dir. ve BASAMAK SAYISI = 2+1 olur.

Herhangibir sayıdaki en büyük  basamak üssünün 1 fazlası kadar BASAMAK SAYISI bulunur. 

Örnek23) 109.256.768 sayısını çözümleyelim

Bu sayıda 9 basamak var, en yüksek basamak üssü de 8 olacaktır. 8 den 0 a kadar tüm basamakları atlamadan yazmalıyız.

1 * 10 üssü 8 + 0 *10 üssü7 + 9*10 üssü 6  + 2* 10 üssü5  + 5* 10 üssü4 + 6* 10 üssü3 + 7*10üssü2 + 6*10üssü1 + 8*10 üssüsıfır

Birler, Onlar, Yüzler  basamaklarının bulunduğu   Sağdaki ilk 3 basamak BİRLER BÖLÜĞÜdür.

Binler, Onbinler, Yüzbinler basamaklarının bulunduğu, sağdaki 4,5 ve 6ncı basamaklar BİNLER BÖLÜĞÜdür

Milyonlar, Onmilyonlar,Yüzmilyonların bulunduğu,sağdaki 7,8 ve 9ncı basamaklar MİLYONLARBÖLÜĞÜdür.

Milyarlar,Onmilyarlar,Yüzmilyarların bulunduğu,sağdaki10,11,12nci basamaklar MİLYARLAR BÖLÜĞÜdür.

KURAL:2 basamaklı ab sayısının rakamları yer değiştirilip (ba yapılıp)

A)toplanırsa; toplam   a ve b nin rakam değerleri toplamının yani (a+b) nin 11 katı olur.

 ab +ba = 11 (a+b) olur. 

B)çıkarılırsa, sonuç a ve b nin rakam değerleri farkının 9 katı olur.

 ab-ba = 9(a-b)

Örnek24)  kural2-A) yı bulalım.

ab ve ba yı çözümleyelim:  ab =a*10 +b*1 =10a+b

                                                ba =b*10 +a*1 =10b +a   ve 2 çözümlemeyi toplayalım.

                                        ab+ba =                     =11a+11b = 11 (a+b) 

B) 2 çözümlemeyi çıkaralım: ab-ba = 10a+b-10b-a = 9a-9b =9 (a-b)

Örnek25-A) ab-ba=81 ise a-b=? 

                ab -ba yerine 9(a-b) yazalım

             9(a-b) =81 den  (a-b) =9 çıkar.

B) ab+ba =121 ise, a+b =?

   ab+ba yerine 11(a+b) yazalım

     11(a+b) =121  ise    a+b=11 çıkar.

Örnek26) axyz sayısının  binler basamağını  3  artırır,  yüzler basamağını 2 azaltır,  birler basamağını 5 artırsak, sayıdaki değişiklik ne olur?

Binleri 3 artırırsam,   +3*1000  = +3000   sayı artar

Yüzleri 2 azaltırsam  -2*100  =-200   sayı azalır

Birleri 5 artırırsam     +5*1     =+5      sayı artar.

Yukardaki 3 değişikliği toplarsam; sonuç= +3000 -200+5 =+2805  axyz sayısı artar. 

Örnek27) ab +ba =66 ise kaç farklı ab sayısı yazabiliriz.

11 (a+b) =66 ise  a+b=6 olur. Toplamı 6 olan rakamları bulup kaç farklı sayı yazacağımızı göreceğiz.

Toplamı=6 olan sayılar 15 ve 51 sayıları yazabiliriz.

                              24  ve 42 olabilir.

                              33    olabilir.

                              60 olabilir AMA 06 yazamayız,çünkü 1 basamkalı olur. ab sayısı 2 basamaklı isteniyor

6 farklı sayı yazılabilir

Örnek28) abc  ve acb 3 basamaklı sayılardır. b-c=3 ise, abc-acb=??                                         

DİKKAT: abc-acb ÇIKARMASINDA  a lar aynı basamakta, sonuçta değişiklik  yaratmayacak.Neden?? sayıları çözümleyip farklarını alınca aynı basamaktaki a lar birbirini yokedecektir. 100a +10b+c -(100a+10c+b) =9b*9c=9(b-c)

bc- cb sonuçta değişiklik yaratacak:  9(b-c) =9*3 =27 olarak sayı  artacak.  abc-acb=27 olacak

DİKKAT: bc-cb de en başta b varsa, 9 (b-c) de b yi önce yazıyorum!!!!

Örnek29) a-c=5  ise    abc-cba =???

Hemen çözümleyelim: 100a +10b+c-( 100c+10b+a) = 99a -99c=99(a-c) =99*5=495 den abc-cba=495 olur.

DİKKAT: abc -cba ÇIKARMASINDA, aynı basamaktaki b ler yokoldu. a0c-c0a oldu. 9(a-c) DEĞİL, 99(a-c)olur.

****abcd - dbca =???  olsaydı   b ve c ler aynı basamakta ve bu çıkarmada yokolurlar.

Sayı (a00d-d00a) =999(a-d) olurdu  

Örnek30)  aba ve bab 3 basamaklı doğal sayılardır. a=b+3 ise aba-bab=???

hemen önce çözümleyelim: 100a +10b+a -(100b+10a+b)= 91(a-b) =91*3=273 olur. (a-b=3)

Örnek31) x,y,z doğal sayılar   xy=56 ve xz=63 is e maksimum z=? yi bulalım

***xy=7*8

     xz=7*9  yapalım.

sağdaki  ortak çarpanlardan  7 yi  soldaki ortak çarpanlardan x ile eşleştirebiliriz.  

x=7   y=8 ve z=9 olur.   

Örnek32) 2ab sayısını x ile gösterirsek, 54ab sayısını nasıl gösterebiliriz.

2*100+ab =2100+ab = x ise,      5*1000+4*100 +ab =5400 +ab =3300 +2100+ab = 3300+x  olur.

Örnek33-a) Rakamları farklı  2 basamaklı, farklı 6 çift sayının toplamı=186 ise bu sayıların en büyüğünü bulalım.

***Birinin en büyük olması için, diğerlerinin 2 basamaklı en küçük sayılar olması lazım. 

Önce 5 küçük rakamları farklı, çift ,2 basamaklı  , farklı sayıları  yazalım ve TOPLAYALIM.

10 +12 + 14+ 16 +18 =70 oldu. En büyük sayı da = 186 - 70 =116 olur.

b) Rakamları farklı, 2 basamaklı ,6 çift sayı deseydi(farklı sayı demedi)

Farklı sayı demeyince,  10 +10+10+10+10 =50 ve en büyük sayıda=186-50=136 olurdu.

c) 3 basamaklı en büyük teksayı ve 3 basamaklı en küçük çift doğal sayının toplamı??

 Rakamları farklı istemediğinden  999 +100 =1099 olur.

Örnek34) A= 8x4y   B=6x3y  ise  A-B=??

X VE Y LER aynı basamakta OLDUKLARINDAN,  bu ÇIKARMADA  yokolurlar.

8*1000 +4*10 - 6*1000 -3*10 = 2000 +10 =2010 olur. 

Örnek35) ab +bc+ca =143 ise, a+b+c+8 toplamı hangi sayıya bölünür?

Çözümleyelim:  10a +b +10b +c +10c +a = 11 (a+b+c) =143 ise  a+b+c=13 olur.

a+b+c+8 =13 +8 =21 olur. 3 ve 7 ye bölünür.

Örnek36-a) 4 ile  304(304 dahil) arasında hangi sayılar 2 ve 3 ile tam bölünebilir?

kural1)(2 ve 3 ile) de  ve dediği için, sayılar hem 2 hem de3 e tam bölünmeli.(Kümelerdeki KESİŞİM gib)

kural2) 2 ve 3  aralarında asal olduğundan, çarpımları=2*3=6, hem 2 hem de 3 e tam bölünür. yani 6 ile 300 arasında 6 ya tam bölünen sayıları bulacağız.

kural3)4 ve 6 ya tam bölünen sayılar deseydi;  4 ve 6 aralarında asal DEĞİL.

4= 2*2 ve

6=2*3 de ortak çarpanı yokedelim, 2 sayıyı da 2 ye bölelim  2 ve 3 aralarında asal oldu. 2*3=6 ya bölünen sayıları aramalıyız.

Şimdi soruya dönelim:

 4 ve 304  arasında  6 ya bölünen ilk sayıyı bulalım, bu  6 dır.

ilk 6 ya bölünen sayıdan, yani 6 dan başlayarak 6 şar 6şar sayalım,  6, 12,18,24,.......300 olur. 

Terimler arası fark=6

Bu dizideki terim sayısını bulalım=  ( 300- /)+1 =50 tane sayı 6 ya yani hem 2 ile hem3 e bölünür.=s(2n3)

B) Aynı soru 2 veya 3 ile bölünen sayıları bulmak olsaydı; kümelerdeki BİRLEŞİM gibi düşünmeliydik.

s (2 U 3) = s( 2) + s(3) -s(2n 3) ü hesaplamalıyız.

*Önce s(2) yani 2 ile bölünen sayıları bulalım.

4 ve 304 arasında 2 ile ilk bölünen sayı 4 dür ve 2 şer 2şer sayalım:  4, 6, 8, 10,12,....,304

sayılar arası fark=2     terim sayısı =(304 -4 /2) +1=151 tane sayı 2 ye bölünür

** sonra s(3) yani 3 e bölünen sayıları bulalım.

4 ile 304 arasında 3 ile bölünen ilk sayı =6 dır ve 6 dan başlayarak 3 er 3 er sayalım.

6, 9, 12, 15, 18, 21,........., 303 de sayılar arası fark=3

terim sayısı =(303 -6 / 3 )+1 =100 tane sayı 3 e bölünür.

***s(2n3) yani hem 2 hem 3 ile bölünen yani 6 ile bölünen syaıları a-şıkkında 50 adet bulmuştuk.

****Şimdi  s(2U3) = 151 +100 -50 =201 olarak buluruz.

Örnek37) Bir sayıyı 4 ile çarparken 7 olan yüzler basamağını 2 olarak ve 3 olan onlar basamağını 9 olarak çarpmışsak sonuç ne kadar değişir?

7 olan yüzler basamağının değeri 7*100 =700 iken yanlışlıkla 7 yerine 2 yazınca 

                                             2*100=200 olmuş,    200 -700 = - 500 AZALMIŞ

3 OLAN ONLAR BASAMAĞININ DEĞERİ 3*10= 30 İKEN YANLIŞLIKLA 3 yerine 9 yazınca

                                                  9*10=90 olmuş,       90-30 =+ 60 ARTMIŞ  olup

SONUÇ olarak sayı= -500 + 60 = -44O AZALMIŞTIR.

Sayıyı  4 ile çarpacağımızdan, çarpım sonucu = 4* (-440) = - 1760 AZALACAKTIR. 

Örnek 38)  x< y

ARDIŞIK ÇİFT SAYILAR ARASINDAKİ FARK=2 dir.

z-y = 2   ve  (z-x) =4  olduğundan,     (z-y)*(z-x)=2*4= 8     

Örnek39)       4   

                      b    3

        x---------------

          c      d      e   

    2    4     0

+_________________

   f     g     h     4      a  ve  b   yi şu şekilde bulabiliriz.

ÇARPMANIN  A , B ve C adımlarını yazalım ve dikkat edelim

A )  (4 a) * 3 =  cde    ve  

B)  (4 a)* b=240  ve

C) bunların toplamının son rakamı=4 olduğundan,

 a * 3 = ? 4 lü olmalı:  a *3 = 24 OLSA    a=8  OLUR. bakalım uyacak mı?   48*3 =144 = c d e olur     ve

                                                                                                48* b =240 ise b=5  OLMALI.

           1   4  4

      2   4   0

+__________________

     2   5   4  4     den   f=2   g=5   h=4   buluruz. 

Örnek40)  a  4   b

                 x    x

x_________________________________

           *    *     *

    *     *     *

+______________________

   3      7     6    b                         de    a   ve    b  leri   bulalım

DİKKAT:  b * x =b  için  x=1 OLMALI

                             a      4         b

                                     1          1

                  x________________

                           a        4         b

                   a      4       b

             +________________

                 3       7         6       b          ise soldan başlayalım:   a=3   ve   a+4=7 de   a=3 eşitliği sağladı

                                                                                                     b+4=6 dan b=2 olur 

Örnek41)

              A  B   C

                Y    4

X__________________

         1   3   6   4

     *  *   *   *

+_______________

    1  8    4   1   4         DE  Y=???

DİKKAT:    (ABC) * 4= 1364  olmalı              ABC   =  1364  / 4  = 341 BULURUZ.

DİKKAT:   1841 - 136 ****    =  (ABC) *Y =341 *Y  =1705   den  Y= 1705 / 341 = 5 olur. 

(136 + **** = 1841  OLMAKTA . 

Örnek 42)             a     b

                          4     3

                   x__________

                         c      d

              1    2    8

    +____________________

            e     f     g      h

Dikkat: Kural A)      ab *  3  =cd

                       B)     ab*4    =128

                       C) d=h  olur   ve     c  +   (128 ) = efg   veya    cd  + 1280 = efgh = efgd

  

 128  / 4 = 32 = ab  olur.

 ab  * 3 = cd = 32 *3 =96  dan              

                                                     9 6   nın altında  6 yı boş bırakarak  128 in 8 ini 9 un altına getirelim.

                                               1 2  8

                                            +_________

                                              1 3   7  6 our. 

Örnek43)

                     5    x     y

                          z      3

               X_______________

                *   *    1    4

           *    *   7    6

    +_______________________

          1     2   3   7    4                        

  (5xy  ) *3 = * * 1 4  çarpımda  sonuç =**14 ,                      y*3 = 4  de   y=8 alalım.

                             8*3 = 24 den 4 ü yazarız ve ELDE=2 kalır:  x*3 + elde2  = * 1 ise x=3 olmalı(3*3+2 =11)

  538 * 3 =  1 6 1 4    olur.              1  6  1  4

                                              *  *  7  6

                                        +_______________

                                             1   2  3  7   4     ise     * *  =1 0  olmalı

             1076 = 538 * (z3 )  den        z3 =    1076 / 538   =2 buluruz.

Örnek44)  x, y, z, t sayma sayılarıysa,  t=  2z = 4y = 6x     i  sağlayan  en küçük x i bulalım.  x=???

 1, 2, 4, 6 olan  t, z, y, x in  katsayılarının  EKOK=en küçük ortak katınını alalım. EKOK=12 olur.

1*t = 12= EKOK    dan  t=12

2*z =12 = EKOK tan      z= 6

4*y = 12 =EKOK tan    y=3

6*x =12 =EKOK  TAN   x=2 buluruz.

Örnek45)      (xy3z)  4  basamaklıysa  ve rakamları toplamı =22 ise, yazılabilecek  maksimum ve minimum sayılar kaçtır?

A) yazılabilecek maksimum sayı için; en  büyük DEĞERLİ BASAMAK EN SOLDA olduğundan ; en büyük RAKAMI yani 9 EN SOLA yani burada BİNLER BASAMAĞINA koymalıyız.

Sonra   8 i yüzler basamağına koyalım  :    9 8  3 z nin toplamı=  22 olması için  9+8+3+z=22 den z=2 olur.

B) yazılabilecek minimum sayı için ; En büyük değerli basamağa  EN KÜÇÜK RAKAMI yani  1   i  KOYMALIYIZ.

***Yazılacak sayının 4 basamaklı olması istendiğinden; sıfırı BİNLER basamağına koyamayız.

1 y 3 z =22 olmalı.   y+z= 22-4 =18 olmalı. Yazılacak sayıda RAKAMLARI FARKLI olması istenMEDİĞİ  için; y=z=9 olabilir. E n küçük sayı = 1939 olur. 

Örnek46)  a ve b, sıfır olmayan 2 doğal sayıdır.    8a = 48b  ise,   a/b=????

İstenen = a/ b oranını SOLDA yalnız bırakmak için     8a =48b yi   8b  ye bölelim 

                                                                            8a  / 8b  =  48b / 8b

                                                                                  a /b = 6 OLARAK BULURUZ.

Yorumlar

1)melik4e | 19/12/2013 | 18:12:20
dediyimi bulamadım
2)İHSAN DİVARCİ | 03/06/2014 | 08:06:04
3-5-7-9.. GİBİ TEK SAYILARI 3 VEYA 4 E BÖLECEK OLURSAK ÖR : 7 SAYISINI 4 GÜNE BÖLMEK İSTESEK Salı 2 Çarşamba 1 perşembe 2 cuma 2 nasıl bir formül kullanmalıyız yardımcı olursanız memnun olurum
3)berkay | 05/11/2014 | 18:11:58
melike ye katılıyorum bnde dediğimi bulamadım yani daha çok yardım etmenizi işterim..
4)Güven | 06/11/2014 | 17:11:30
Rakamları birbirinden farklı en küçük tek sayıyı hangi sayıyla toplarsam 500 olur?
5)ELİF AYDIN | 15/11/2014 | 14:11:10
İSTEDİĞİM HİÇBİRŞEY YOK
6)serhat | 17/03/2015 | 10:03:09
KARIŞIK HİÇ BİŞEY YOK MALCA
7)merve | 02/10/2016 | 13:10:06
OKUMADADAN GEÇERKEN BİLE BEYNİM YANDI
8)sdf | 25/10/2016 | 21:10:01
fgh
9)sanane benim adımdan | 25/10/2016 | 21:10:30
bakarken gözlerim acıdı neyse adamlar yapmış helal olsun yani
10)hayat | 28/11/2016 | 18:11:44
Ya bu nasıl site aradığım hiç bir şeyi bulamadım
11)soner | 03/04/2017 | 20:04:05
100 SAYISININ 2 KARE FARKI CİNSİNDEN YAZIMI

Yorum Yaz

İsminiz

Eposta adresiniz

Güvenlik Kodu

Yorumunuz

 
 
 
 
 
Isı ve Sıcaklık21ocak2014YENİ
21ocak2014eklendi. Bitti... »
KaldırmaKuvvetiYeniMart2013
KaldırmaKuvvetiYeniMart2013... »
ÖĞRENCİLER LÜTFEN SORU ve CEVAPLARINI AYNEN KOPYALAMAYINIZZZZZZZZ
KOPYALAMAYINIZZZZZZZZ. ÖGRENCİLER LÜTFEN SORU VE CEVAPLARI AYNEN KOPYALAMAYINIZ... »
Sınav Kolay Başarı Kolay
*Dersin esasını öğrenelim, anlayalım, temel kavram ve yasaları öğrenelim, detaylara boğulmayalım. Ezberlemeyelim. *Yanlış yaptıklarımızın muhakkak doğrusunu öğrenelim, doğrular bizimdir, yanlışkarımızdan öğreniriz. *Konuları çok fazla tekrara gerek yok, amaç günde çok fazla soru yapmak değil ; güzel ve değişik dersanelerin sorularından yapmalıyız. Önemli konuların hepsini 3-4 aydabir sorularla sürekli tekrarlıyor olmalıyız. *Soruları çözerken; zor, normal ve kolay soruları ayırtedebilmeliyiz. Zor veya uzun vakit kaybettirebilecek sorulara boğularak vakit kaybetmemeliyiz. Hedefimize ulaşmak için; her dersten en az kaç soru cevaplamamız gerekiyorsa; önce kolay sorulardan hata yapmadan çözmeliyiz.... »