Modüler Aritmetik
12/03/2009  |  9.sınıfMATEMATİK | (1)yorum | 28900 kez okundu.

MODÜLER ARİTMETİK

1) 77 = 5   ( MOD 12 ) ile   77 ün   MOD olan  12  ye bölündüğünde  KALANIN=5 olduğunu  ve

    77  ile  5  sayılarının    MOD=12 YE GÖRE  BİRBİRLERİNE DENK olduğunu    söylüyoruz.

2) 89  = 5   (MOD 12)ile  89 un  MOD olan 12 ye bölündüğünde KALANIN=5 olduğunu  ve

    89  ile   5   sayılarının   MOD=12  YE GÖRE  BİRBİRLERİNE  DENK olduğunu  söylüyoruz.

3) 77= 89  da  77 ve 89 nin MOD olan 12 ye bölündüğünde KALANLARININ EŞİT (=5) olduğunu söylüyoruz. 

4)  77126 + 5 mod 5  + kalan   

      89  =  12  *7 +5   =  mod*   + kalan  işlemlerini  BÖLME işlemi gibi düşünürsek

     MOD =BÖLEN =12

    77  ve 89  BÖLÜNEN

    6  ve  7      BÖLÜM

    KALAN =5  olduğunu görürüz.

DİKKAT: MOD=m  de  DAİMA   m>1  olmalıdır. 

KURAL1) A ve B tamsayı  ve  mod=m>1 olacak şekilde; A=C(A nın B ye bölümünden KALAN) ve mod=B dir.

Kural2)  x= 83 *k + 2    de  mod=3 olup,   k=.., 2, 1, 0, -1, -2 ,...  olur.

                                    mod=3 ün  3-1 =2 ye kadar olan  (+) sayıları DENKLİK SINIFLARIDIR

Yani DENKLİK SINIFLARI=KALANLARIN ÇEŞİTLERİDİR. Mod=3 olunca  x=0 ise kalan=0 dır.

                                                                                                 x=1  ise kalan=1 dir.

                                                                                                 x=2 ise kalan=2 dir.

                                                                                                 x=3 ise kalan=0 oldu YİNE. Demekki mod=3 olunca DENKLİK SINIFI=KALANLAR ÇEŞİDİ=3 çeşit olmaktadır. {0, 1, 2} olarak 3 çeşit denklik sınıfı vardır.

Başka bir deyişle; mod=3 olunca,  k yerine     ...,  2, 1, 0, -1, -2,...... gibi sayıları koyabiliriz.

k=2 için       x= 3*2 +2 =8   den      x=8 dir.

k=1 için       x= 3*1 +2 =5   den      x=5 dir.

k=0 için       x= 3*0 +2 = 2  den      x=2 dir.

k=-1 için     x=3* (-1)+2 =-1 den     x=-1 dir. 

k=-2 için     x=3* (-2)+2 =-4 den     x=-4 dür.

*k nın alabileceği değerler    {., ., ., -2, -1,  0,  1,   2,.,.,.,} olarak mod=3 olarak artar veya eksilir.

**x in alabileceği değerler  de  {., ., -4, -1,  2,   5,  8,.,.,} mod=3 olarak artar ve eksilir.

*Önce herhangibir  k  için, örneğin k=1 için x=5 i buluruz. mod=3 olduğundan,  k en fazla m-1=3-1=2 olabilir.

 k yı da  0,1,2, deriz ve - lerini de ekleyerek  k={.,.,,-2, -1, 0, 1, 2,.,.,} buluruz

x ler için önce herhangibir k, mesela  k=0 için bir x i buluruz. x= 2 olur. Diğer x ler için;  mod=3 olarak 2 yi artırır veya eksiltiriz.                                        x={., ., -4,   -1, 2, 5,8,.,., }

Denklik sınıfı da 3 tane olur. {0, 12}

 

Örnek1) x=2 (mod3) den k ve x in alabileceğı  değerleri bulalım. 

          mod=3 ile bölündüğünde 2=kalanı veren x sayılarının  formülünü   x=3k +2  olarak yazabiliriz.

k bir TAMSAYIDIR.                      k={..., -2, -1,   0,   1,   2,....}   dir

k=0 için  x=3*0 +2 =2 buluruz.       x=...,   -4,  -1,   2,  5,   8,... } olarak mod=3 olarak artar veya azalır.

Denklik sınıfları= m-1 =3-1 =2 tanedir.

Örnek2) x=4 (mod5) ise  5 tane denklik sınıfı vardır. En büyük denklik sınıfı=en büyük kalan= mod-1 =5-1=4 dür.

Denklik sınıfları da ={0, 1, 2, 3, 4} olarak 5 tanedir.

0 ın denklik sınıfı={...., -10, -5, 0, 5, 10, 15,.....} mod=5 e bölününce kalan=0 verenler sınıfında önce kalan=0 veren 5 i ortaya yazıp, 5 er 5 er artırıp azaltabilirsin.

1 in denklik sınıfı ={..., -11, -6, 1, 6, 11, 16,...} mod=5 e bölününce kalan=1 verenler sınıfındakiler için;

                         kalan=0 veren sıfır-denklik sınıfındakilerden 1 er ekler veya çıkarırsın.

2 nin denklik sınıfı içinde; sıfırın denklik sınıfındakilerden 2 çıkarır veya 2 eklersin. ={...-12, -7, 2, 7, 12, 17,...}

KURAL3) x i tekrar formülle yazalım. DAİMA x=4 (mod5) denince    x= 5*k + 4  yazarız.

                                                                              k=0 için       x=4 ü buluruz.

k lar kümesi={....,   3,     -2,    -1,   0,    1,      2,.....} ve

x ler kümesi={...,   -11,   -6,   -1,   4,    9,    14,...} olur.

Denlik sınıfları = 0, 1, 2, 3, 4 olup 5 tanedir.

0 ın denklik sınıfı={...-10,  -5, 0,  5,  10,....} 

1 in denklik sınıfı={......-11,  -6,  1,  6,   11,...} DENKLİK SINIFLARINDAKİ SAYILARIN ARASINDAKİ FARK=MOD= tir.5

KURAL4 A )TOPLAMA  

            12  =  7 (mod5)  ve

           22  = 17 (mod5)  olsun. DİKKAT: 2 SİNDE DE MOD LAR EŞİT !  KALANLARI =2 dir. 2 satırı  toplayalım

          34    = 24  OLDU  (MOD5) DİKKAT:MOD=5e göre kalanları =4 oldu (kalanlar değişti, DENKLİK SINIFI =4 OLDU) AMA YİNE KALANLARI EŞİT OLDU,     

4B) ÇIKARMA

        2 satırı çıkaralım.

      22 - 12  = 17- 7  (mod5)

              10 =10         (mod5)

               0  = 0           (mod5) kalanlar değişti(kalan=0  AMA  KALANLAR EŞİT   

4C) ÇARPMA  

      2 satırı çarpalım

     22* 12  = 17*7 (mod5)

    264        =   119  (mod5)

             4 =    4     (mod5) kalanlar değişti(kalan=4 AMA KALANLAR EŞİT         

4D) ÜSSÜNÜ ALMA

    kolay örnek seçelim :     1nci)       2= 4   (mod2 )  kalan =0

                                                2nci)      3=5  (mod2 )  kalan=1

1nci satırın  3ncü kuvvetini alalım.  2*2*2  =?? 4*4*4   (mod2 )

                                                                        8 =??64      (mod2)

                                                                       0= 0 (8  ve  64 ü mod=2 ye bölersek kalnları =0 ve EŞİTtir 

4E) Bir denliğin 2 tarafını da AYNI SAYMA SAYISIYLA ÇARPALIM 

 n= 3 sayma sayısıyla 1nci satırı çarpalım, sonuçta yine KALANLARI EŞİT yani DENK olacaklar.

       2*3 =?? 4*3   (mod2)

        6 =??12     (mod2) 6 ve 12 nin 2 ye bölümünden kalan=2 ve EŞİT,YİNE DENKLER

        0 =0       (mod2) 

4C)  1 ve 2 nciyi ÇARPALIM         2*3  =?? 4*5  (mod2)

                                                6 =?? 20   (mod2)

                                                0 = 0 ( 6 ve 20 nin mod=2 bölümlerinden kalan=0 ve eşit)

4B) 1 ve 2 nciyi ÇIKARALIM        3 -2 =??5 -4  (MOD2)

                                                  1 =1  (MOD2) kalanlar EŞİT oldu yine

4A) 1 ve 2 nciyi toplayalım        3 +2 =?? 4 +5  (mod2)

                                               5  = 9 (mod2)

                                               1   =1 (mod2) kalanlar EŞİT yine

SONUÇ : EŞİT  MODLARDA  KALANLARI   KALNLARI EŞİT OLAN YANİ DENK OLAN SAYILAR;

araf tarafa  toplandığında, çıkarıldığında, çarpıldığında, EŞİT üssü alındığında, AYNI SAYMA SAYISIYLA çarpılınca

           YİNE KALANLARI EŞİT OLUYOR yani DENK OLUYORLAR.     

ÖRNEK3)  8 üssü  12  nin  3 den kalanını çok kolay bulabiliriz.

Önce   8 nın  mod=3 e göre kalanını bulalım:      8 =2 (mod3) yani 8 in 3 e bölümünden kalan=2 dir, YANİ mod=3 e göre  8 ve 2 sayıları DENKTİR.  yani mod=3 e göre KALANLARI EŞİTtir. 

      8 in karesini  alalım.  DİKKAT:KALANI =0  veya KALANI=1 olan BİR ÜSSÜNÜ BULMAYA ÇALIŞACAĞIZ.

     8 İN karesi = 64 = 1   ( mod3 ) 64 ün mod3 e bölümünden kalan=1 oldu, GÜZEL, KALAN=1 i bulduk.

     8 üssü 12  için   ( 8 üssü  2 nin=karesinin) de 6 ncı üsüünü almalıyız.

4D)ÜS ALMA KURALINI UYGULAYALIM:   (8 üsü 2 ) nin üssü 6  =????  ( 1)  in 6ncı üssü    (mod3)

                                                                    8 üssü  12                  =1    (mod3)  olur. DİKKAT: eşitliğin sağında  KALAN=1 olunca  1 in 6 ncı üssü yine 1  YANİ KENDİSİNE EŞİT  olduğundan  İŞLEM KOLAY oluyor.

Kalan=0 olunca da 0 ın hangi üssü olursa olsun yine KENDİSİNE , 0 a eşit olmaktadır. 

Örnek4)  8 in 12 nci üssünün 2 ile bölümünden kalanını  bulalım.  (YANİ  MOD=2 den kalanı  arayacağız)

                                   8=  0    (mod2) 2 tarafın 12 nci üssünü alabilirim ve DENKLİK DEVAM EDER.

             8 in 12 nci üssü   = 0 ın 12 nci üssü =0  olur.

Örnek5) 7 sayısının 5 nci üssünün 8 e  bölümünden kalanını bulalım.       7  üssü 5 = ??? (mod8)  

                   7      =     7     (mod8 )  

        7 üssü 2       =     49    = 1     (mod8)  49 un 8 e bölümünden kalan=1 GÜZEL, KALAN=1 BULDUK

       Şimdi 2 tarafın aynı ÜSSÜNÜ alırız VE DENKLİK BOZULMAZ

      ( 7 üssü 2 ) nin 2 nci üssü  =  7 nin 4 ncü üssü  =  (1) in 2nci üssü =1

       ( 7 nin 4 ncü üssü ) *(7 nin 1 nci üssü )         = ( 1in 2 nci üssü)* (1in 1nci üssü)

         (7 nin 5 nci üssü )                                    =1*= 1  oldu

Örnek6) 13 ün 90 ncı kuvvetinin 5 ebölümünden kalanını bulalım.

           (13 ün  90ncı kuvveti)                       =?????   (mod5)

  1)   (13 ün 1 nci üssü)                            =   2      (mod5 )

  2)    (13 ün 2nci üssü )   = 13*13 =169     =4       (mod5)  DİKKAT: KALAN=1  veya =0 bulamadık. Devam ET

  3)   (13 ÜN 3ncü üssü)=(13ün 2nci üssü)*(13ün 1 nci üssü) = ???        mod5

        3 ün ÜSLERİNİ TOPLA =(13 ün 3 ncü üssü)               = 4*2 ==3  mod5 8in 5 e bölümünden kalan=3

4)  (13ün 4ncü kuvveti) =(13ün3ncüsü)*(13ün1ncisi)veya (13ün2ncisinin 2ncisi)= 3 * 2 =6 =1  mod5

NİHAYET  KALAN=1 BULDUK

5) (13 ün 4 üncü kuvvetinin 22nci kuvveti)* (13ün 2nci kuvveti)  = * 4  =    4

             4                 *         22                  +  2  = 90 ncı üs yapar  DİKKATTTTT

öRNEK7) a= 57 sayısının 458 nci kuvvetinin BİRLER BASAMAĞINDAKİ sayıyı bulalım.  (57 nin 458nci üssü)=? mod10

KURAL: Bir sayıyı  10 abölersek; BİRLER BASAMAĞINDAKİ SAYIYI buluruz.  57 /10 =7 , 7 =birler basamağı

 57 nin 1nci üssü                       =57       =  7   mod10

 57 nin 2nci üssü                       =57 *57 = 7*7 = 49 =mod10

57 nin 3ncü üssü=57nin 1nci üssü  *  57nin 2nci üssü  = 7 * 9 =63 =3   mod10

57 nin 4 ncü üssü = 57 nin 3 ncü üssü * 57nin 1nci üssü = 3 *7 =21 =mod 10 ,KALAN=1 oldu

458 nci kuvvet = 458 / 4   = 4ncü üssün 114nci üssü  * 2nci üssü

                         = 4*114 =456 ncı üssü                  * 2nci üssü  =  456 + 2 yani 458nci üs

(57nin 4ncü üssünün 114ncü üssü ) * (57 nin 2 nci üssü)= (1 in 114ncü üssü) * 9 = 1*9 =9 oldu.

ÖRNEK8) MOD=6 da    5x + 3=0 denklemini çözelim.

*Solda  x i yalnız bırakmak için;  soldaki 3 ü yoketmeliyiz. mod 6 da  6 =0 yani 6 ve katları sıfıra denktir. EŞİTLİĞİN SOL TARAFINA HANGİ SAYI EKLEMELİYİZ Kİ; 3 İLE TOPLANINCA 6 YAPSIN VE KALANI=0 OLSUN

3 eklersek;

A) soldaki 3+3 =6 OLUR ve  kalanı=0 olup   yokolur. Eşitliği bozmamak için sola eklenen=3 ü sağa da eklemeliyiz. 

5x +3 + =  0 +  mod6    

 5x  + 0   =    3 Şimdi  soldaki x i 5 çarpanından kurtarmalıyız. İki tarafı neyle çarpmalıyız ki;  soldaki x in çarpanı  6 ya bölününce kalanı=1 olsun ve solda sadece katsayısı =1 olan x kalsın  

B) İki tarafı 5 ile çarpalım:  5*5x  = 3*5  mod6

                                            25 x  =15    mod6

                                           1* x=3  buluruz. mod6

DİKKAT: TOPLAMA ve ÇARPMAYI  KALNLI OLARAK verilen MODDA yapıyoruz.

Kontrol edelim: bulunan x=3  5x+3=0 denklemini mod 6 da sağlamalı:  5*3 +3 =18 =0  oldu ve SAĞLADI

Örnek9) mod 9 da        3*4 + 6  -7   İŞLEMİNİ YAPALIM

Önce çarpmayı yapalım    3*4   =12   = 3 (12 nin 9 a bölümünden kalan =3)  mod9

Sonra toplamayı yapalım  3 + 6  =9  =0   (9 un 9 a bölümünden kalan=0)  mod9

En son çıkarmayı yapalım   0  -7 = -7 veya  + sonuç elde etmek için; 0 yerine 0 a denk olan ve çıkarılacak sayı=7 den büyük olan=9 yazabiliriz.

                                   9-7     =2 olur. 

SONUÇ OLARAK; -2  VEYA   7  diyebiliriz. MOD=9 a göre  (-7) = 2 = 11 =20  dir. Yan, -7 ile 2  veya 11 veya 20 DENKTİR, YANİ KALANLARI EŞİTTİR. MODÜLER ARİTMETİK; MODÜLE GÖRE KALANLARLA İŞLEM YAPILAN VE  SONUÇ OLARAK DA KALAN BULUNAN BİR KONUDUR. 

ÖRNEK10  X kare +12   = 0    mod16  da  x i bulalım. 

  Soldaki  12 yi yoketmek için mod 16 ya göre  her 2 tarafa da 4 ekleyelim:  (x kare) +12 +4 = 4 mod16

x kare  = 4   mod16

 x=2   veya X= -2 olur.   -2 olan  x 'i + yapalım:   -2  + 16 =14 

SONUÇ: x=2 veya x=14    x kare +12 =0 ı sağlaması lazım. 

Kontrol edelim:  2 nin karesi  +12  = 4+ 12 =16 = 0 oldu, x=2 sağladı.

                    14 ün karesi  +12 =196 +12 =208 =0 oldu  x=14 sağladı

O halde mod16 da    x kare + 12 =0 denkleminin çözüm kümesi ={2,  14}    olur.  

öRNEK11) Z/ 7 de 4x =3 ün çözüm kümesini bulalım. 

mod 7 de  soldaki x in katsayısı=4 ü hangi sayıyla çarpmalıyım ki; çarpma sonucunda kalan=1 olsun  

    2*  4x   =  3 *2    mod7

     8x =6   mod7

 x= 6   mod 7  SONUÇLAR  DAİMA  MOD SAYISINDAN KÜÇÜKTÜR.( X=6 nın l sı mod=7 deki 7 den DAİMA KÜÇÜKTÜR)    

kontrol edelim:  4*6 = 24 buluruz ve mod6 ya göre kalanı =3 olur ve 3 e denktir. Zaten sorudada eşitin sağ tarafındaki verilen sayı=3 tü. Demekki x=3 denklemi sağladıu. DOĞRU BULDUK.   

öRNEK12)  14  =4  (MOD A ) eşitliğinde  A=??? MOD sayısı neler olabilir? KURAL1) MOD SAYISI DAİMA 1 DEN BÜYÜK SAYMA SAYISIDIR.  

kural2) 14    = 4  + k *A  DAİMA YAZARIZ (bölmeden benzetelim: 14 ü  moddaki A ya bölersek  ; k-bölümü çıkar ve kalan=4 olur demektir.)  

2nci yazılış şekli:  14  -4  = 10  =  k* A  dan

                                    10 / k  = A da   A,  10  un + bölenleri olabilir AMA 1 OLAMAZ.

 10 un + bölenleri:  2,  5,  10 dur.  A  ={2, 5, 10 }  OLABİLİR.        

ÖRNEK13) Bugün perşembe ise 98 gün sonra hangi gün olur? Haftanın 7 günü sonrası yine perşembedir, YANİ MOD=7 dir.

Bugün  perşembe  ise  98=??? mod 7

98  =  k* mod  + kalan    dan   98 = 14 * 7 + 0  olur. KALAN=0 olduğundan, yine AYNI GÜNDÜR, perşembedir.

ÖRNEK14)  Saat 6 yı gösterdiğinde, 56 saat sonra kaçı gösterir: Saatde 12 saati görüyorsak; MOD=12 demektir.

(5 saati gösteren saat olsaydı mod=5 e göre yapacaktık)

56= k * mod +kalan  dan    56  =4 * 12 + 8 den   saat 6 +8 =14 olmalı

AMA   saatde 12 bölme gösterildiğinden, 14 ü gösteremez, 12 LİK KISMIYLA TAM BİR TUR ATAR VE SAAT  2 yi gösterir. 

DİKKAT:saat 6 yerine saat 18 deseydi;  18 in üzerine 8  eKLEMEYECEKSİN: saatte  12 ye kadar gösterimekte. ASLINDA SAAT:18 de SAAT:6 ile aynı bölmededir. Saat :18  = saat:6 deyip mod=12 den küçük olan saat yani 6 ya 8 ,i ekleyeceksin. Yukardaki gibi saat:14 çıkınca saat:14 ile saat: 2 nin aynı yerde gösterildiğini hatırlayacaksın. 

ÖRNEK15)  Bir çocuk 3 gündebir (2 gün arayla ) şeker   yiyorsa ve 2nci şekerini çarşamba günü yemişse; 6nci şekerini hangi gün yer?

6nci şeker -2nci şeker = 4  kere şeker yemesi için 4kere* 3 gündebir( 2 gün arayla derse, 2+1 den 3 günolur) den 

  12 güne ihtiyaç vardır. Haftanın günlerinin modu =7 olduğundan, 12 günü 7 ye bölersek, kalan= 5 gün olur.

2nci şekeri çarşamba yediyse,  perşembe- 1nci gün

                                         cuma- 2nci gün

                                         cumartesi-3ncü gün

                                         pazar-   4 ncü gün

                                         pazartesi-5nci günde 6ncı şekerini yiyecektir.

ÖRNEK16)  -47  =  X   MOD4  de  x in alabileceği en küçük 3 pozitif değerin toplamını bulalım.

  -47 yi 4 e bölersek   kalan=-3 olur.       -47 = -3 mod4

                                                                         ....,-3,   1(=-3+4)   ,   5 (=1+4),   9(=5+4),.... den en küçük 3 pozitif değeri 1 ve 5 ve 9 u alırız. TOPLAM= 1+5+9=15 OLUR.

öRNEK17) b= 0! + 1! + 2! + 4! + 6! + 8!  ise  b nin 10 la bölününce birler basamağındaki sayıyı bulalım. 

0!  ve 1!  in 1 e  eşit olduğunu hatırlayalım  5! ve  daha büyük faktöryellerin birler basamağı DAİMA 1 e eşittir. 

6! ve 8! in birler basamağına katkısı =0 olduğundan dikkate alMAYALIM.

b= 1   +1  + 2 (  1  + 3*4) = 2 + 2*13 = 28  mod10

                                                     =8    mod10 

 

     

Yorumlar

1)Gizemli | 22/05/2017 | 20:05:57
Allah razı olsun sağolunn

Yorum Yaz

İsminiz

Eposta adresiniz

Güvenlik Kodu

Yorumunuz

 
 
 
 
 
Isı ve Sıcaklık21ocak2014YENİ
21ocak2014eklendi. Bitti... »
KaldırmaKuvvetiYeniMart2013
KaldırmaKuvvetiYeniMart2013... »
ÖĞRENCİLER LÜTFEN SORU ve CEVAPLARINI AYNEN KOPYALAMAYINIZZZZZZZZ
KOPYALAMAYINIZZZZZZZZ. ÖGRENCİLER LÜTFEN SORU VE CEVAPLARI AYNEN KOPYALAMAYINIZ... »
Sınav Kolay Başarı Kolay
*Dersin esasını öğrenelim, anlayalım, temel kavram ve yasaları öğrenelim, detaylara boğulmayalım. Ezberlemeyelim. *Yanlış yaptıklarımızın muhakkak doğrusunu öğrenelim, doğrular bizimdir, yanlışkarımızdan öğreniriz. *Konuları çok fazla tekrara gerek yok, amaç günde çok fazla soru yapmak değil ; güzel ve değişik dersanelerin sorularından yapmalıyız. Önemli konuların hepsini 3-4 aydabir sorularla sürekli tekrarlıyor olmalıyız. *Soruları çözerken; zor, normal ve kolay soruları ayırtedebilmeliyiz. Zor veya uzun vakit kaybettirebilecek sorulara boğularak vakit kaybetmemeliyiz. Hedefimize ulaşmak için; her dersten en az kaç soru cevaplamamız gerekiyorsa; önce kolay sorulardan hata yapmadan çözmeliyiz.... »