İşlem
16/02/2009  |  9.sınıfMATEMATİK | (4)yorum | 28857 kez okundu.

A) A kümesinden  A kümesine tanımlanan  her fonksiyona bir İŞLEM deriz.

B)İşlemin 

B1)Kapalılık  

B2)Değişme

B3)Birleşme

B4)Dağılma

B5)BİRİM (etkisiz)   veya  

B6) TERS   veya 

B7) YUTAN elemanlarına  sahip olması gibi ÖZELLİKLERİ bulunur.

C) Örnekler

1) A={2,3,4,5,6,} kümesinde   (x işlem  y) yi şöyle tanımlayalım = x * y =2x + 3y  olsun.

x * y  =  2x+3y =   x in 2 katıyla  y nin 3 katının toplamına eşit olan bir İŞLEM tanımladık. 

B1) Bu işlem  KAPALI mıdır?

KURAL1) KAPALILIK: HER x ve y için;  x€A  ve  y€A  iken   (x *y)= (x işlem y)  ile bulunan sonuç ta A kümesinin elemanıysa  İŞLEMİN KAPALILIK özelliği vardır

Her A elemanı için   bu işlemi kontrol etmektense işlem  sonucunun olMAYACAĞINI düşündüğümüz x ve y için 2 rakamı alıp  işleme sokar ve sonucun A kümesinde olup olmadığına bakarız.  1 tane olmayan sonuç bulursak KAPALILIK özelliği YOKTUR, deriz.

x=3  ve y= 4 olsun  bu sayılara  2x +3y  işlemini uygulayalım.   2*3 +  3*4=6 +12 =18 sonucu  A kümesinde YOKtur.

*** 2x +3y  işlemini  tamsayılarda  veya  rasyonel sayılarda veya reel sayılarda tanımlasaydık, bu işlemin KAPALILIK özelliği VAROLACAKTI. Çünkü  18 sonucu  bu kümelerde MEVCUTTUR.

***Öyleyse  tanımlanan KÜMEYE DİKKAT ETMELİYİZ.

B2) BU İŞLEMDE DEĞİŞME özelliği var mıdır?

KURAL2)DEĞİŞME :HER x ve y elemanı için;  (x*y) = ( y*x) ise, yani   (x işlem y) ile (y işlem x) eşitse, DEĞİŞME özelliği vardır. 1 tane uymayan örnek bulursak; bu özellik YOKOLUR.

A nın her  elemanı   için;  2x + 3y  nin  sonucu    2y +3x in sonucuna  EŞİTSE, DEĞİŞME vardır. 1 tane eşit olmayan  bulursak; bu özellik yoktur.

x=3  ve y=4 için bulalım.   2x + 3y=2*3 +3*4 =18  bulduk

                                   2y + 3x =2*4 +3*3 =15 bulduk. 2 sonuç eşit olmadığından DEĞİŞME YOKtur. 

*** İşlemdeki  x ve y lerin KATSAYILARI EŞİT olsaydı; yani işlem = 2x *2y  olsaydı DEĞİŞME OLACAKTI. Çünkü x ve ylerin yerlerini DEĞİŞTİRİNCE  sonuç değişmeyecekti.

2x*2y= 2*3 + 2*4 =14  ve

2y*2x=2*4 +2*3 =14 olarak aynı sonucu bulduğumuzdan DEĞİŞME vardır.

B2) GENEL OLARAK  Toplama ve çarpma işlemlerinde  değişme özelliği vardır.     Çıkarma ve bölmede  yoktur.

TOPLAMADA DEĞİŞME  vardır:   2  + 3   =     ve

                                                         3+2     =5 olup  2 sonuç ta   eşittir

ÇARPMADA  DEĞİŞME vardır :      2 *3  = ve

                                                          3 *2 =6 olup 2 sonuç ta eşittir.

ÇIKARMADA DEĞİŞME yoktur :    2 - 3 = -1  ve

                                                         3 -2 =  +1 olup 2 sonuç eşit değildir.

BÖLMEDE  DEĞİŞME yoktur         2 : 3 =  2/3

                                                         3: 2  = 3 /2 olup 2 sonuç eşit değildir.

B2)TABLODAN DEĞİŞME OLUP OLMADIĞINA BAKARSAK;             

TABLO1       *     1       2         3

                     1     2       4         1

                     2           1         2

                     3     1       2        

İşlem  yukardaki tabloyla  verilmiş olsun.  Mavi olan sayılar  KÖŞEGENİ oluşturmaktadır.  Köşegenin 2 tarafındaki SİMETRİK SAYILAR EŞİT ise ; işlemde  DEĞİŞME vardır.  Yeşillerin 2side  4 ve kırmızıların 2side 1 ve morların 2 side 2 olup   köşegene göre simetrik rakamlar EŞİTtir . Bu işlem DEĞİŞMElidir. 

B1) Bu tablodaki işlem KAPALI mıdır? En üst satırda , BAŞLANGIÇ SATIRINDA   1,2 ve 3 elemanları vardır.

                                           En soldaki sütunda , BAŞLANGIÇ SÜTUNUNDA 1,2 ve 3 elemanları vardır. 

Yani, işlemin tanımlı olduğu küme {1, 2, 3}  tür. Yeşil, kırmızı, mavi, mor renkli  içerdeki  9 rakamın arasında 1,2 ve 3 ten farklı bir rakam varsa; İŞLEM KAPALI DEĞİLDİR.

Bu tablodaki sayıların anlamına bakalım: Başlangıç satırdan x'leri,

                                                     başlangıç sütundan y'leri alarak işleme sokarsak;

                                                    içerdeki yeşil, mavi, kırmızı,mor renkli 9 SONUCU elde ederiz demektir. Bu sonuçlarda 4 rakamı vardır, AMA 4 rakamı  BAŞLANGIÇ SATIR ve SÜTUNUNDA YOKTUR,

                                     YANİ İŞLEMİN TANIMLANDIĞI KÜMEDE YOKTUR.

                                     Bu nedenle Tablodaki işlem KAPALI değildir.

B1) GENEL OLARAK;  toplama ve çarpma işleminin  tanımlı olduğu kümede KAPALILIK özelliği vardır.

*Doğal sayılar ve sayma sayıları kümesinde; toplama ve çarpmanın sonucu yine doğal sayı veya sayma sayısı çıkar. bU NEDENLE TOPLAMA VE ÇARPMA İŞLEMİ KAPALIDIR

Fakat  2-3 gibi bir işlemin sonucu  (-1) gibi eksi sayı çıkar. Eksi sayı, doğal ve tamsayılarda olmadığından; ÇIKARMA  işlem KAPALI OLMAZ.

Yine   2/3 gibi bir BÖLME işleminde çıkan sayı  KESİRDİR ve doğal ya da tamsayılara ait değildir.Bölme işlemi KAPALI OLAMAZ.

**AMA  Tamsayılarda  işlemleri tanımlasaydık; toplama ve çarpma yine KAPALI olacaktı. Ek olarak  ÇIKARMA işlemi de KAPALI OLACAKTIR ,çünkü  2-3 sonucu (-1) gibi bir EKSİ sayı tamsayı kümesinde bulunacaktır. Bölme sonucu (2/3) gibi bir kesirli sayı tamsayılarda olmayacağından; SADECE BÖLME İŞLEMİ TAMSAYILARDA KAPALI OLMAYACAKTI.

***YA DA  REEL(GERÇEK)SAYILARDA işlemleri tanımlasaydık ne olacaktı?  Bölme sonucu (2/3) gibi KESİR sonucu reel sayılarda MEVCUT olacak ve Bölme işlemi REEL SAYILARDA KAPALI OLCAKTI. Zaten toplama, çıkarma ve çarpma rel sayılarda KAPALIYDI.

B3) Bu işlemde BİRLEŞME ÖZELLİĞİ var mıdır?

KURAL3) a ve b elemanları A kümesine ait olsun.  (*)işlemi de A kümesinde tanımlı bir işlem olsun.

Şayet     a*(b*c) =(a*b)*c   EŞİT oluyorsa, bu * işleminde BİRLEŞME özelliği vardır, deriz

B3-1) Önce sayılarla deneyelim.

ÖRNEK 1 i kullanamayız, BİRLEŞME özelliği için  3 eleman işleme girmeli. Örnek1 de 2x+3y işleminde  x ve y olarak 2 eleman olduğunda birleşme ye bakamayız.

Ama işlem 2x+3y+4z olsaydı;   A={2,3,4,5,6} kümesinden x=2   ve y=3  ve Z=4  alarak birleşmey

bakabilirdik . 2*2+ (3*3+4*4) = (2*2 +3*3 ) +4*4

                    4   +     25       =      13        +  16

                                  29     =   29   sonuçlar eşit olduğundan BİRLEŞME vardır. Sonuçlari eşit olmayan bir örnek bulursak; BİRLEŞME ÖZELLİĞİ YOKOLUR. .

B3-2) GENEL OLARAK Toplama ve Çarpmanın BİRLEŞME ÖZELLİĞİ VARDIR. Çıkarma  ve Bölmenin BİRLEŞME ÖZELLİĞİ YOKTUR.

ÇIKARMA için BİRLEŞMEye bakalım: 2- (3-4) = (2-3) -4

                                               2 -(-1)  = (-1)  -4

                                               2+1       =   -5 

                                                  3      ve    (-5) eşit değildir ve ÇIKARMADA BİRLEŞME ÖZELLİĞİ YOKTUR

BÖLMEDE BİRLEŞME ÖZELLİĞİNE bakalım: 2/(3/4) = (2/3) /4

                                                   2*(4/3) = 2 /12

                                                8/3  ile 1/6 olan 2sonuç birbirine eşit olmaz ve BÖLMEDEBİRLEŞME YOKTUR.

ÇARPMADA BİRLEŞME ÖZELLİĞİNE bakalım. 2* (3*4 ) = (2*3 )*4

                                                         2*12   =   6 *4

                                                          24    ile    24   olan 2 sonuç eşittir ve ÇARPMADA BİRLEŞME VARDIR.

B3-3) TABLO1 deki işlemde BİRLEŞME ÖZELLİĞİ VARmıdır, bakalım. 

    1* (2*3 ) = midir ? (1*2 )*3 Önce tablodan soldaki (2*3) ve (1*2)yi bulalım.

  2*3  de   2 yi başlangıç sütununda  ve 3 ü başlangıç satırında da bulup ikisinin KESİŞTİĞİ RAKAM bu işlemin sonucudur. Yani 2 olarak buluruz.  1*2 nin sonucu da 4 olur.

  1* 2  =? 4 *3

      4  =? 4*3 ün sonucunu tablodan bulamayız.  Bu işlemde birleşme yoktur. çünkü başlangıç satün ve satırında 4 yoktur. ZATEN BU TABLODAKİ İŞLEMİN KAPALI OLMADIĞINI DA DAHA ÖNCE GÖRMÜŞTÜK. A kümesinde olmayan dolayısıyla başlangıç sütunuyla satırında olmayan 4 elemanının olduğu işlemlerin sonucunu bulamadığımızı da görmüş olduk.  

örnek2) TABLO2                        *       1           2        3

                                                          1          3          2         1

                                                          2          2          3         2

                                                          3          1          2         3    

    

B1) Bu işlem KAPALI mıdır?

Mavi olan başlangıç satırı ve yeşil olan başlangıç sütunundaki  sayılar  1,2 ve 3  işlemin tanımlandığı kümelerin elemanıdır. Siyah olan 9 sayıya baktığımızda, bu sayıların içinde  1,2 ve 3  ten farklı değer yoktur. O halde BU İŞLEM KAPALIDIR.

KAPALILIĞIN KURALI: İşlemin tanımlı olduğu kümenin 2 elemanı işleme sokulunca , YANİ BAŞLANGIÇ SATIRI VE SÜTUNUNDAN 1 ER ELEMAN İŞLEME GİRİNCEbu işlemin SONUCU OLAN RAKAMLAR da yani SİYAH OLANLARDA 1, 2 Ve 3 ten farklı eleman olmamalıdır. 

B2) Bu işlemde DEĞİŞME var mıdır?  

KALIN SiYAH olan 3 ler bu 9 sayının KÖŞEGENİDİR.  Bu köşegenin solunda ve sağında aynı yerlerde aynı sayılar bulunmaktadır. Yani  köşegen haricindeki 6 sayı, KÖŞEGENE GÖRE SİMETRİK yerlerde bulunmaktadırlar. O halde bu işlemde DEĞİŞME vardır.   

Bir deneme yapalım:         1*2  =? 2*1

                                                   2 = 2 olduğundan bu işlem DEĞİŞMELİdir.

B3)  Bu işlemde BİRLEŞME var mıdır?

1 *(2*3) =? (1*2 )*3   sonuçlar eşitse, Birleşme vardır.

1*  3     =?    2   *3

       1   ve     2    eşit olmadığından birleşme YOKTUR.

B4)  KURAL4: DAĞILMA ÖZELLİĞİnde  2 farklı işlem (* , +) ve 3 farklı elemana (a, b,c ) ihtiyacımız vardır

 B4-1) SOLDAN DAĞILMA:    a + (b *c )  = (a + b) * (a +c )

Dağılan eleman solda bulunan (a)  elemanıdır. (a)elemanı yanındaki (+) işlemini alarak, sanki çarpma işlemi yapar gibi önce b sonra c ile (+) işlemine girer ve 2 parantez oluşturur. Bu parantezlerin arasındaki işlemde soldaki tek parantezin işlemi olan (*) işlemidir. 

B4-2)SAĞDAN DAĞILMA:     (b *c) +   = (a+c)  * ( a +b)

Dağılan eleman SAĞDA olan (a) elemanıdır. (a) elemanı yanındaki (+) işlemini alarak ve Sağdan başlayarak önce (a+c) ve sonra (a+b) işlemlerine girer. Bu parantezlerdeki 2 işlemin arasına da solda kalan diğer işlem (*) uygulanır.

(B4-1)-SOLDAN  ve (B4-2) SAĞDAN DAĞILMA ÖZELLİKLERİ VARSA , (+) İŞLEMİNİN  (*) İŞLEMİ ÜZERİNDE DAĞILMA ÖZELLİĞİ VARDIR deriz.

Örnek3)  3 + ( 6 / 3 ) =???  ( 3 + 6 ) / ( 3 + 3 )

              3  +     2     =???? (9  / 6) 

                        5   ile    (3 / 2)  eşit olmayacaktır. Yani SOLDAN DAĞILMA ÖZELLİĞİ YOKtur. Burada  soldaki tek rakam olan 3,  SOLDAN DAĞILAN ELEMANdır

3  SAĞDAN DAĞILAN OLSAYDI;  ( 6 / 3 ) + 3 =???  (3 + 3 ) / ( 3+ 6 ) olarak FARKLI YAZILIRDI.

                                                   2  + 3 =???  ( 6 / 9)

                                                   5  ile      ( 2/ 3 ) eşit olmayacaktır. SAĞDAN DAĞILMA ÖZELLİĞİ YOKTUR.

 Sağdan veya soldan dağılmanın 1 tanesi bile yoksa, DAĞILMA ÖZELLİĞİ OLMAZ. Burada herikisi de yoktur. (+) işleminin (/) işlemi üzerine DAĞILMA ÖZELLİĞİ YOKTUR.     

B5) BİRİM (ETKİSİZ) ELEMAN   

KURAL5:  1)  A kümesinin her x elemanı için  (= Vx€A);

 bu x elemanı bir b-birim elemanla (*-işlemine) girip, değişmeden kendisi gibi yani x olarak işlemden çıkıyorsa; 

x * b =b *x =x oluyorsa,  b =birim eleman veya etkisiz elemandır.

DİKKAT: (x işlem y)=x * y = de İŞLEMDE SAĞDAKİ y yerine b  koyarsak;  (x*b ) yi yani  sağdan birim elemanı buluruz.  

( x işlem y )=x * y = de İŞLEMDE SOLDAKİ  x yerine  b koyarsak; ( b* y ) yi yani  soldan birim elemanı buluruz.

 BİRİM ELEMAN OLMASI İÇİN: sağdan ve soldan birim elemanı OLMALI ve bunlar EŞİT OLMALIDIR. 

KURAL5-2) BİRİM ELEMAN 1 TANEDİR. (BİRDEN FAZLA VARSA; BİRİM ELEMAN YOKTUR.)

KURAL5-3)  İşlemde DEĞİŞME özelliği varsa; 1 taraftan BİRİM ELEMAN BULMAK yeterlidir.

Örnek1) 2x +3y de DEĞİŞME ÖZELLİĞİ YOKTUR.

( + işleminde sıra önemli değildir, (yani  x+y ile y+x eşittir) değişme özelliği vardır. 

Çarpmada da DEĞİŞME özelliği vardır., yani  x*y ile  y*x  in sonuçları eşittir.

Ama 2x+3y gibi katsayıları  farklı olan  toplamada değişme yoktur, çünkü 2x+3y ile 3x+2y nin sonuçları EŞİT DEĞİLDİR.

ŞAYET soru  2x+2y gibi KATSAYILARI EŞİT OLSAYDI; DEĞİŞME OLACAKTI. 

Katsayıları eşit olmayan  (2x+3y ) gibi işlemin  önce Soldan ve sağdan birim elemanı bulmalıyız. Birim elemanlar varsa ve eşitse; Birim eleman vardır, diyebiliriz.  

Soldan birim elemanı bulalım: Burada işlem x ve y li verilmiş. Biz farklı bir harf  a€A  GİBİ A kümesinin a-elemanı ile b-birim elemanı işleme sokarız. 

1)  2a + 3b =a mı ???  ya bakarız. İŞLEMDE SAĞDAKİ y yerine  b-birim elemanı  koymuş olduğumuzdan, sağdan birim elemanı bulmuş oluruz. Burada a elemanıyla b-birim elemanı işleme soktuk, sonuç değişmeyip  yine a elemanını bulursak ; b =sağdan birim eleman olur, deriz.

2) 3b = a- 2a  yapalım. Yani  b yi solda YALNIZ bırakalım, diğerlerini eşitliğin sağına toplayalım.

3) b= -a /3 oldu.  DİKKAT1)  a, b, x,y Gibi sayılar TEK BİR RAKAM GÖSTERMEZ, değişkendirler, b=-a/3 demek, sonsuz birim eleman var demektir.Yani SAĞDAN BİRİM ELEMAN YOKTUR, soldan birim elemanı aramaya da gerek yoktur. İLEMİN BİRİM ELEMANI YOKTUR. 

KURAL5-4)  İşlem 2a +3b olarak verilmişse; a ve b den farklı bir x€A  ve b  veya  e gibi etkisiz, birim eleman seçebiliriz.

 2x + 3 e =x??? midir diye bakarız.  VERİLEN İŞLEMDE SAĞDAKİ b yerine  e yi sağa koyduğumuzdan, sağdan birim elemanı ararız. e yi solda yalnız bırakırız.    3e= x-2x   olur.  Bundan da   e= -x /3  buluruz. x-değişken sayı olduğundan BİRİM ELEMAN YOKTUR. 

Örnek2) İŞLEM  4x +3y olsun. Birim elemanını bulalım. İşlemde DEĞİŞME yoktur.( 4x+3y ile 3x+4y EŞİT DEĞİL) 

Sağdan birim elemanı bulalım.  a€A   ve b=birim eleman olsun.Sağdan birim elemanla işleme sokalım . sağdaki y yerine b=birim elemanı koyalım.

1) 4a +3b= a midir? 

2) 3b = a-4a

3) b=-3a /3 = -a da yine  a değişkendir ve birim eleman yoktur.

Örnek3) Örnek 2 deki işlem şöyle olsaydı;  x *y = (x işlem y) = 4x +3xy nin birim elemanını bulalım. İşlemde değişme yoktur.(4x+3xy ile  ( 4y +3xy)  EŞİT DEĞİLDİR, x yerine ve y yerine x yazarak buluyoruz.)

3-a)SAĞDAN BİRİM ELEMAN b yi bulalım. Yani x*y =(x işlem y) = 4 x+3xy deki  İŞLEMDE SAĞDAKİ y yerine b yazalım

1) 4a + 3ab =a??

2) 3ab = a-4a

3) b=    -3a / 3a = -1  böylece sağdan birim elemanı b=-1 yani SABİT, RAKAM ve 1 TANE BULDUK

3-b) SOLDAN BİRİM ELEMAN b yi bulalım. x*y =(x işlem y) = 4x +3xy deki İŞLEMDE SOLDAKİ x yerine b yazalım.

1) 4 b+ 3 b a =a???

2) b (4 + 3a ) =a  b-parantezine aldık.

3) b= a / ( 4+3a)  den  b-birim elemanı 1 tane sabit, rakam bulamadık, soldan birim eleman yok. Sağdan birim eleman=-1 bulmuş olsak da; İŞLEMİN BİRİM ELEMANI YOKTUR. 

Örnek4) (x işlem y) = x + y +2  nin birim elemanını bulalım

(x+y) ile x ve y yi yerdeğiştirince oluşan (y+x) eşit olduğundan, (x*y) de DEĞİŞME vardır. 1 yönden birim elemanı aramak yeterlidir.

1) y yerine  b-birim elemanı yazalım.    (x işlem b)= x+ b +2 =x???midir?

2)                                                                     b=x-x-2

                                                                        b=-2 olup, sonuç -2 gibi RAKAM , yani 1 sayı çıktığından bu işlemin BİRİM ELEMANI vardır, 1 tanedir ve -2 dir.

Örnek5) (a işlem b) = ( a +b -ab)   işleminin birim elemanını bulalım.

İşlemde a ve b kullanıldığından, başka bir c elemanı ile e=birim elemanı bu işleme sokalım. sonucu=c oluyorsa, birim elemanı buluruz.

(a +b -ab) ile a ve b yi birbirlerinin yerine yazdığımızda bulunan  (b+a-ba) EŞİT olduğundan, bu işlemde DEĞİŞME vardır. 1 yönden birim elemanı bulmamız yetrlidir.

1) (a işlem b)= a +b -ab  de b yerine birim=etkisiz eleman=e yazalım, a yerine de c yazalım.( c+ e - c e)=c ???

2) e (1-c) = c-c =0

3) e= 0 / (1-c) = 0  OLUP BİRİM ELEMANI=SIFIR olarak buluruz.

*** SIFIRI başka bir sayıya(1-c) gibi bölersek, SONUÇ=SIFIR olur. AMA PAYDADAKİ =(1-c), SIFIR OLMAMALIDIR. Yani c=1 OLAMAZ.

ÇÜNKÜ  (0/0),  (SIFIR / SIFIR) TANIMSIZDIR.

Örnek5)Tablo 2 deki birim elemanı bulalım.   Mavi başlangıç satırını,  tablonun en alt satırında(kırmızı)

                                                                                Yeşil başlangıç sütununu, tablonun en sağ sütununda(mor) AYNEN görüyoruz.  Satır ve sütunun KESİŞTİĞİ RAKAM olan 3 =birim elemandır(pembe). 

TABLO2                                      *       1           2         3

                                                  1             2        1

                                                  2       2        3        2

                                                  3       1         2         3    

B6) TERS ELEMAN

KURAL6) Vx (=her x için) bir  t-ters  elemanla işleme girdiğinde  SONUÇ=b=BİRİM ELEMAN(o işleme ait) çıkıyorsa; bu  t elemanına TERS ELEMAN deriz

  x * t = t * x = b olacak şekilde ENÇOK 1 tane t varsa,  t=TERSELEMANdır.

KURAL: 6-1-a) Toplamada  SIFIR sayısını hangi x sayısına eklersek sonuç daima  x e eşittir, yani sıfırla toplamak etkisizdir, SIFIR, TOPLAMADA BİRİM ELEMANDIR.   x + 0 = x

 x SAYISINI, kendisinin NEGATİFİ (-x) ile toplarsak; sonuç =0 yani BİRİM ELEMAN OLUR. O halde, toplamada ters eleman= sayının eksilisidir.    x+ (-x) = 0

KURAL:6-1-b)Çarpmada BİR sayısını hangi x sayısıyla çarparsak sonuç daima x e eşittir, yani birle çarpmak etkisizdir, BİR, çarpmada birim elemandır.   x * 1= x

x sayısını, kendisinin  (1 / x) ile çarparsak; sonuç =1 yani çarpmanın BİRİM ELEMANI olur. O halde, çarpmada ters eleman=  (1 / x ) olur.     x * (1 / x) = 1

KURAL:6-1-c) P^ 1 =P     O halde (VE  işleminin) BİRİM ELEMANI =1 olur.

                      pV 0 = p    O halde (VEYA  işleminin) BİRİM ELEMANI=0 olur.

KURAL:6-1-d) U-BİRLEŞİM işleminin BİRİM ELEMANI = BOŞKÜME dir

                       n- KESİŞİM işleminin BİRİM ELEMANI= EVRENSEL KÜME (E) dir. 

KURAL 6-2) (x işlem y) = (x *y) = x+y+2 işleminin BİRİM ELEMANI=-2 olarak bulmuştuk.

Şimdi 2 nin ters elemanını  =t  yi arayalım  

Yani 2 ve ters elemanı=t işleme girince( x=2 ve y=t koyup);  SONUÇ=bu işlemin birim elemanı = -2 olmalı

                                                               (2 * t )            =    birim eleman = -2 olmalı

                                                   2+ t +2 = -2 olmalı     

t yi solda yalnız bırakalım                       t       = -2 -2 -2 = -6 olur  

DENEYELİM: 2  ve ters elemanı= -6 yı işleme sokunca; birim eleman = -2 yi bulacak mıyız?

          (2*-6 ) =  2 + (-6) +2 = -2 BULDUK, yaptıklarımız doğrudur.

     

Örnek6) (a işlem b) = ( a * b) = a -ab+b  ve e=birim eleman olsun.

A) Önce işlemde DEĞİŞME var mı? bakalım. (a*b) = (b*a) midir?

                                     a-ab+b          ile    b -ba  +a   eşit midir?  EVET, EŞİTTİR,İşlem DEĞİŞMELİdir.

B)Tek yönden birim elemanı bulmamız yeterlidir.  a*e=a olmalı

                        (a*e ) =a -ae +e =  a   olmalı

                                    e( a-1)      = a-a= 0

                                               e= 0 / (a-1) =0  olarak birim eleman bulduk.

DİKKAT  e nin tanımlı olması için; payda=a-1 in SIFIRA EŞİT OLMAMASI LAZIM.(sıfıra eşit  olurasa e= 0 / 0 yani TANIMSIZ olur.

Paydanın =0 olMAMASI için,   a  nın BİRE  EŞİT OLMAMASI lazım, yani paydayı SIFIR yapan a=1 sayısı TANIM KÜMESİNE DAHİL DEĞİLDİR ve bundan sonraki ters elemanı ,tanımsız olan a=1 sayısı olarak bulMAMAlıyız. (Tesadüf olarak bulursak, TERS ELEMAN YOKTUR, deriz) Ters eleman olarak ENÇOK 1 TANE bulmalıyız, RAKAM ,SAYI BULMALIYIZ VE BU SAYIDA PAYDAYI SIFIR YAPIP TANIMSIZ OLAN SAYI( burada 1 sayısı) OLMAMALI.

C)3 ün  ters elemanı=t  olsun  ve  t yi bulalım.    a*t=e olmalı. O halde  3  ve 3 ün tersi=t elemanlarını işleme soktuğumda SONUÇ= Bu işlemin etkisiz (birim ) elemanı olmalı, yani  sonuç=0 olmalı.

                                  (3*t) = 3-3t +t = e = 0 

                                      3- 2t    = 0

                                             t= -3 / -2 = 3/2 ters elemanını buluruz.  

DENEYELİM: 3 VE 3ÜN TERS ELEMANI= 3/2 Yİ İŞLEME SOKALIM. sonuç=İŞLEMİN birim elemanı=0 bulacak mıyız?

İŞLEMDE   (a*b)=a-ab+b de   (3* 3/2) yi bulmak  için  a=3 ve   b= 3/2 yazalım.  

3- 3*(3/2) + (3/2) = (6/2) - (9/2) + (3/2) =0 bulduk

KURAL6-3) Tablodaki işlemin ters elemanını bulalım.

 

                       *      1       2         3

                        1     2       3         1

                        2     3       1         2

                    3     1       2      

   Başlangıç sütünun aynısı  olan sütun (kırmızı olan) ve başlangıç satırının aynısı olan (mor olan)satırın KESİŞİMİNDE OLAN 3 sayısı (mavi) nin BİRİM (ETKİSİZ )ELEMAN olduğunu bulduk 

Tablodan  2 elemanını TERSİNİ bulalım.

Başlangıç  sütunundan (yeşil) 2 yi bulalım.

2(yeşil) nin satırında (orta satır),   birim eleman=3 ü(kırmızı) bulalım. 

3 sayısından (kırmızı) yukarı çıkınca,   başlangıç satırında(pembe)  1  e ulaşırız. Yani (2 işlem 1 )=3=birim

O halde 2 elemanının ters elemanı 1 dir deriz.

Yani 2 ve 1 işleme girince; sonuç birim eleman olan 3 olmaktadır.

O halde 2 nin tersi 1 dir  ve 1 in de tersi 2 dir.   

Tablodan 3 ün tersini bulalım

Başlangıç sütununda 3 ü (mor) bulalım.   

3 ün(mor)  bulunduğu en alt satırda, BİRİM ELEMAN=3 (mavi) ü bulalım

3 sayısından yukarı(mavi) çıkınca,  başlangıç satırında(pembe)bulunan 3 e rastlarız.

Demekki, (3 işlem 3) = 3(birim) olduğundan 3 ün ters elemanı=3 olmaktadır.

B7) YUTAN ELEMAN;

KURAL) (y işlem x)= (x işlem y) = y ise, y=YUTAN ELEMANdır.

B7-1) Çarpmada  SIFIR =YUTAN ELEMANdır. (x * 0 ) = 0 olup daima sıfırla çarpımın sonucu sıfıra =yutan elemana eşittir.

 B7-2)Yutan eleman (birim ve ters eleman gibi) 1 TANEDİR.

        YUTAN ELEMANIN TERSİ YOKTUR (AMA tersi OLMAYAN, YUTAN ELEMAN DEĞİLDİR

ÖRNEK6) Örnek 5 te  PAYDA=0 yapan  c=1 sayısının TERSİ YOKRUR.                  

              (x*y)= x+y+2      işleminde  yutan eleman =y demeyelim, işlemdeki y ile karışır, bu durumda yutan elemanı = n diyelim. Bu yutan eleman=n ile x i işleme sokunca, sonuç=yutan eleman=n olmalıdır.

          (x*n) = x + n +2 = n

                     n-n        =-x-2   

                      0          =-x-2 de garip bir sonuç çıktı; solda n_yutan eleman yokoldu,bu durumda YUTAN ELEMAN YOKTUR.

ÖRNEK7) (a işlem b)= 2a + 2b +ab +2 nin önce ETKİSİZ ELEMANINI sonra  yutan elemanını bulalım

A) ETKİSİZ ELEMAN =e olsun  (a işlem e) =a olmalı

b yerine e koyalım.   2a   + 2e + ae +2 = a

Solda e leri yalnız bırakalım.   e(2 +a ) = -a -2

                                       e           = -(a+2) /(2+a)         = -1       

KURAL: Payda=(2+a)=0 olMAMALI. Paydayı=0 yapan a değeri yani a= - 2 TANIMSIZdır. yani a= -2 nin TERS ELEMANI BULUNAMAZ.  

B)  Yutan eleman =y diyebiliriz.  ( a işlem y) yazalım= 2a + 2y + ay +2 = y olmalı

Yutan eleman=y leri solda yalnız bırakalım.            2y-y  +ay          = -2-2a

                                                                    y(1 +a)            = -2 (1 +a)

                                                                    y= -2 buluruz.     YUTAN ELEMANIN TERSİ OLMADIĞINI KURAL OLARAK BİLİYORUZ VE ÖRNEK7 nin A kısmından da bulduk . Yani yutan eleman = -2 ise;  -2 nin TERSİ  yoktur.

AMA A şıkkında  BİRİM ELEMANI e= -1 BULDUK VE PAYDAYI SIFIR YAPAN a=-2 değerinin TERSİNİN OLMAYACAĞINI kural olarak  biliyoruz. VE yine kural olarak tersi olmayan her elemanın,( burada -2 nin) ,herzaman  yutan eleman olmayabileceğinin biliyoruz.

Burada rastgele A) şıkkından tersi olmayan -2 nin  B)şıkkından  aynı zamanda yutan eleman olduğunu bulduk.  

                        

Yorumlar

1)erdican | 29/10/2012 | 18:10:17
çok kısaymışşş
2)nuran | 29/11/2012 | 13:11:22
işlemin sonucu dogru ama aradıgım sey bu degildi yinede sagqlun
3)nuran | 29/11/2012 | 13:11:52
iyi günler la
4)hüseyin | 06/12/2014 | 21:12:49
eksik gidermek için yararlı bence.

Yorum Yaz

İsminiz

Eposta adresiniz

Güvenlik Kodu

Yorumunuz

 
 
 
 
 
Isı ve Sıcaklık21ocak2014YENİ
21ocak2014eklendi. Bitti... »
KaldırmaKuvvetiYeniMart2013
KaldırmaKuvvetiYeniMart2013... »
ÖĞRENCİLER LÜTFEN SORU ve CEVAPLARINI AYNEN KOPYALAMAYINIZZZZZZZZ
KOPYALAMAYINIZZZZZZZZ. ÖGRENCİLER LÜTFEN SORU VE CEVAPLARI AYNEN KOPYALAMAYINIZ... »
Sınav Kolay Başarı Kolay
*Dersin esasını öğrenelim, anlayalım, temel kavram ve yasaları öğrenelim, detaylara boğulmayalım. Ezberlemeyelim. *Yanlış yaptıklarımızın muhakkak doğrusunu öğrenelim, doğrular bizimdir, yanlışkarımızdan öğreniriz. *Konuları çok fazla tekrara gerek yok, amaç günde çok fazla soru yapmak değil ; güzel ve değişik dersanelerin sorularından yapmalıyız. Önemli konuların hepsini 3-4 aydabir sorularla sürekli tekrarlıyor olmalıyız. *Soruları çözerken; zor, normal ve kolay soruları ayırtedebilmeliyiz. Zor veya uzun vakit kaybettirebilecek sorulara boğularak vakit kaybetmemeliyiz. Hedefimize ulaşmak için; her dersten en az kaç soru cevaplamamız gerekiyorsa; önce kolay sorulardan hata yapmadan çözmeliyiz.... »