Fonksiyon
25/11/2008  |  9.sınıfMATEMATİK | (1)yorum | 61192 kez okundu.

  1)FONKSİYON: A ve B kümeleri boş olmayan 2 küme olsun.

   A'nın HERBİR elemanını    B'de YALNIZ BİR elemanla eşleyen bir f-bağıntısına A dan B'ye fonksiyon deriz. 

  A = Fonksiyonun TANIM KÜMEsidir  ve HERBİR elemanı B ile eşlenmelidir. (A da eşlenmemiş, BOŞta eleman olmaz)

  B= Fonksiyonun DEĞER KÜMEsidir ve A'daki herbir elemanın BİR DEĞERİ B'de olmalı ama A'daki herbir eleman

YALNIZ BİR B'nin elemanıyla eşlenmeli, yani A'nın HERBİR elemanının MUHAKKAK BİR  değeri B'de olmalı ve

                                                        B'deki değeri de YALNIZBİR tane olmalı

***A'da tanımlı elemanların  a)ENAZ BİR değeri B'de olmalı ve

                                                   b) ENÇOK ta BİR değeri B'de olmalı yani  YALNIZ ve YALNIZBİR değeri olmalı  . a ve b  olarak bu 2 şart FONKSİYON olma şartıdır. 

2) Her bağıntı    FONKSİYON olmayabilir ,AMA

   her fonksiyon  BAĞINTIdır.  

Örnek1) A={1,2,3}   B={2,4,5} olan 2 kümede  A'dan B'ye bir f bağıntısı tanımlayalım. f={(x,y)/ y=2x} bağıntısının fonksiyon olup olmadığını kontrol edelim.  A'dan B'ye ise; A=Tanım kümesi={1, 2, 3} ve

                                                                           B=Değer kümesi={2, 4, 5} olur.

a) Tanım kümesinin her  elemanı x için;  y=2x işlemine göre  değerini=y  yi bulalım.

b) Bulduğumuz y'lerin HEPSİ,  Bkümesinde MEVCUT ise, f bağıntısının FONKSİYON olduğunu söyleriz.

c) Bir tane bile hesaplanan y- değeri verilen B kümesinde yoksa, f bağıntısı FONKSİYON OLAMAZ.  

Yapalım     x=1 için   y=2x den      y=2*1=2 değerini bulduk ve 2€B, (2, B kümesinde vardır) 

                     x=2 için   y=2x den      y=2*2=4 değerini bulduk ve 4€B, (4, Bkümesinde vardır)

                     x=3 için   y=2x  den     y=2*3=6 değerini bulduk AMA 6değeri, B kümesinde yoktur, yani A-TANIM KÜMESİNİN X=3 elemanı BOŞTA KALMIŞTIR, yani değeri B kümesinde yoktur,

***(A'nın x=3 elemanının  değeri olan y=6 değer kümesi=B de yoktur, A'nın 3 ü Bile eşleneMEMİŞtir, bu nedenle f bağıntısı FONKSİYON DEĞİLDİR  

***B={2, 4, 5, 6}  olsaydı ; A'nın x=3 elemanı da B'nin y=6 elemanıyla eşlenmiş olacaktı. A'nın BOŞTA ELEMANI KALMAYACAKTI =FONSİYON OLMANIN 1NCİ ŞARTI: TANIM KÜMESİNDE BOŞTA ELEMAN OLMAYACAK, enaz1 değeri olmalı 

DİKKAT:DEĞER kümesi =B'de y=5 elemanı eşlenmedi ama ÖNEMLİ DEĞİL, DEĞER KÜMESİNİN elemanı BOŞTA kalabilir

ÖRNEK2) A={4, 1}  B={-2, -1, 1, 2} A'dan B'ye bağıntı g={(x,y)/ y, x'in kareköküdür.}

A'nın  x=4 ünün değeri için  y=x'in kareköküyse, 4'ün karekökleri 2 tanedir, (-2) ve (2) dir ve B'de vardır,

A'nın  x=1 in değeri için y=x'in kareköküyse, 1'in karekökler 2 tanedir, (-1) ve (1) dir ve B'de vardır. AMA g bağıntısı FONSİYON OLAMAZ. Çünkü A'nın elemanlarının 2 şer değerleri olmamalıydı.

Tanım kümesindeki Bir şeyin 2 farklı değeri olamaz. Tanım kümesinde sadece 1 elemanın bile 2 değeri olsa FONSİYON olamaz

FONKSİYON OLMANIN 2NCİ ŞARTI: TANIM Kümesinin (A' nın) bir elemanının ENÇOK1 DEĞERİ OLMALI

veya YALNIZ 1 DEĞERİ OLMALI  

Örnek3)                

 

 1nci konu:Tanım kümesi=A kümesindeki  (a, b, c, d) elemanlarının  HEPSİNİN değeri vardır  ve YALNIZ bir değeri vardır. Tanım kümesinde eşlenmemiş BOŞ ELEMAN YOKtur.  Yukarıdaki bağıntı bir FONKSİYON dur.

2nci konu: Değer kümesinde 4 eşlenmemiştir. DEĞER KÜMESİNDE BOŞ ELEMAN OLABİLİR. Fonksiyon olmayı BOZMAZ. Sadece fonksiyon tipini değiştirir. Değer kümesinde BOŞTA eleman kalırsa ; ÖRTEN Fonksiyon DEĞİLDİR, İÇİNE fonksiyondur.

3ncü konu: Tanım kümesindeki b ve c elemanları 2 ye eşlenmiştir. Aynı değeri almışlardır. Bu da fonksiyon olmayı BOZMAZ. Sadece fonksiyon çeşidini değiştirir. Bu fonksiyon BİREBİR FONKSİYON DEĞİLDİR. Çünkü tanım kümesindeki 2 farklı eleman aynı değeri almıştır.

 Örnek4)

 

 Grafik ile fonksiyonu gösterirken;

x-ekseni   A-TANIM kümesini

y-ekseni  B-DEĞER kümesini gösterir.

Fonksiyon  A dan B ye deriz.

Tanım kümesi -Akümesi - x eksenindeki   a elemanı, y-eksenindeki B-Değer kümesinin 1 elemanıyla

  ''         ''          ''            ''                b ve c    ,  ''         ''                ''      ''        2     ''

  ''                    ''            ''                  d          ,    ''       ''               ''       ''        3     ''  eşlenmiştir. 

 

Örnek5)                     

 

 A-Tanım kümesinin her FARKLI ELEMANI,   B-Değer kümesinin BİR FARKLI elemanıyla eşleşmiştir. Yukardaki fonksiyon BİREBİRDİR.

B-Değer kümesinde BOŞTA eleman YOKtur. Yukardaki fonksiyon ÖRTEN fonksiyondur.

 

Örnek6)

 

Yukardaki fonksiyonun değer kümesinde boşta elemen yoktur,  ÖRTENdir ama

Tanım kümesinin 2 FARKLI elemanı olan b ve c , Değer kümesinin 2 elemanıyla eşleşmiştir; BİREBİR DEĞİLdir

Örnek7)

Yukardaki fonksiyonda A-Tanım kümesindeki her eleman, B-Değer kümesinde yine KENDİSİYLE eşlenmiştir. Bu fonksiyon BİRİM Fonksiyondur. Bu fonksiyona giren a, b, c, d elemanları değişikliğe uğramayarak AYNEN kendilerine eşlenmiştir.

Örnek8)TERS FONKSİYON

 (1)  y=x+3   fonsiyonunda  f(x)=y şeklindedir. Bu fonksiyonun TERS FONKSİYONUNda

önce x ve y leri YER DEĞİŞTİR.

(2)  X=Y+3  oldu. Sonra  y yi   yalnız bırakarak (1) e benzetelim. (2)de solda y yi yalnız bırakalım.

      x-3=Y

(2) y=x-3  oldu.  

**** y=x-3 fonksiyonu,   y=x+3 fonksiyonunun TERS FONKSİYONUdur.

****Fonksiyon (1) ve ters fonsiyonu(2),   y=x(=1nci açıortay) doğrusuna göre SİMETRİKtir.

A)  y= 6x-5  in tersini bulalım

(1) y=6x-5 te x ve y leri yer dğiştirelim.

(2) x=6y-5 te y yi YALNIZ bırakalım.

(2) (x+5) / 6= y  ters fonksiyonunu bulduk.

KURAL1) y=ax+b fonksiyonunun yukardaki işlemleri yapmadan ters fonksiyonunu bulmak istersek;

*aradaki işaretin tersini alırız ve  x 'i a-katsayısı olmadan    x-b    olarak yazarız   .

** x'in katsayısını da  (x-b) nin PAYDASINA yazarız.  

B)   y=8x-16  nın ters fonksiyonunu KURAL-1) ile yazalım.

*Eksi olan aradaki işaretin tersini alalım.

**x'in katsayısını alMAYAlım.     x+16  oldu. 

***X'in katsayısı olan 8 'i   (x+16) nın PAYDASIna yazalım      (x+16)/ 8  olarak ters fonksiyonu bulduk. 

C) y= (2X-8) / (3X+4)  gibi KESİRLİ fonksiyonun ters fonksiyonunu bulmak için KURAL2) yi kullanalım.

KURAL-2) y= (ax+b) / (cx +d) nin ters fonksiyonunu yazarken;

*a ve d nin işaretlerinin TERSİNİ alırız.

**sonra  a nın yerine   (-d)

             d nin yerine (-a) yazarız.

y= (2x-8) / (3x+4)    a=2    ve d=4 dür.

*İşaretlerinin tersini yazalım .

** a=2 yerine  (-4)  ve d=4 yerine (-2) yazarız.

Ters fonksiyon = (-4 x-8) /(3x-2) oldu.

DİKKAT: yukardaki örneğin ters fonksiyonunu KURAL2 yi uygulamadan, y yerine x

                                                                                            x yerine y yazarak da bulabiliriz. 

y=(2x-8) / (3x+4)fonksiyonunun ters fonksiyonunu bulurken;

*önce y yerine x   ve x yerine y yazalım.     x= ( 2y-8) / (3y+4) oldu.

**sonra y'yi eşitliğin bir tarafında yalnız bırakalım.

içler dışlar çarpımı yapınca                          3yx +4x = 2y-8  oldu

y li olanları bir tarafa toplayalım.                   3yx -2y = -4x-8 oldu

sol tarafı y parantezine alalım                      y(3x-2) = (-4x-8 ) oldu.

y yi eşitliğin bir tarafında yalnız bırakalım.       y=(-4x-8) / (3x-2) ters fonksiyonunu bulduk. C deki KURAL2 ile AYNI sonucu bulduk.    

KURAL3) Ters fonksiyonu bulurken; x yerine y  ve

                                               y yerine x yazmamızın nedeni ;

Asıl fonksiyonun tanım kümesi=A,   TERS FONKSİYONUN =Değer kümesi olur.

Asıl fonksiyonun değer kümesi =B, TERS FONKSİYONUN=Tanım kümesi olur.

KURAL4 A)HEr fonksiyonun TERSİ fonksiyon OLMAZ.  Ters fonksiyon olması için 1nci kural şudur:

Sadece  BİREBİR ve ÖRTEN FONKSİYONLARIN TERSİ FONKSİYONDUR.

4B) y=(ax +b) / (cx +d) gibi KESİRLİ fonksiyonların tersinin fonksiyon olması için;2nci kural:

* Paydayı=SIFIR yapan değer TANIM kümesinde olMAMAlıdır.

y=(2x-8) /(3x+4) nun ters  fonksiyonu olması için; 3x+4=0 dan x=-4 /3 değeri TANIM kümesinden çıkartılmalıdır.

Fonksiyonun Tanım kümesi= R(Reel sayılar) - {-4/3} olmalıdır. 

4C) y= (ax+b) /(cx+d) gibi KESİRLİ fonksiyonların tersinin fonksiyon olması için; 3ncü kural:

Paydaki 2x  ve paydadaki 3x deki x'lerin katsayıları oranı = (2/3) fonksiyonu DEĞER kümesinden çıkartılmalıdır.

Fonksiyonun Değer kümesi = R(Reel sayılar) - {2/3} olmalıdır.

SONUÇ: (2X-8) /(3X+4) fonksiyonun TERS fonksiyonunun olması için; bu fonksiyon BİREBİR VE ÖRTEN olmalıdır. YANİ    TANIM KÜMESİ =R-{-4/3}

                           DEĞER KÜMESİ=R-{2/3} olmalıdır.    

 

Örnek9)  BİLEŞKE FONKSİYON 

A) f(x) =2x -8

     g(x)=3x+4 olsun.

KURAL)  gof(x) ve fog(x) fonksiyonlarına BİLEŞKE FONKSiyon DENİR.

A)gof(x)de önce x, f(x) fonksiyonuna girer ve 2x-8 olarak değer alır.

Sonra g(x) fonksiyonuna giren (2x-8)in alacağı son değer = 3(2x-8)+4=6x-24+4= 6x-20 olur.

gof(x)= 6x-20

B) fog (x) de öncex, g(x) fonksiyonuna girer ve 3x+4 değerini alır.

Sonra f(x) fonksiyonuna giren (3x+4) ün alacağı son değer=2(3x+4)-8=6x+12-8=6x+4 olur.

fog(x)=6x+4  olur.

C) gof (x) ile  fog(x) EŞİT DEĞİLDİR.

gof(1)=6x-20= (6*1)-20= -14

fog(1)=6x+4 =(6*1)+4 =10 olarak farklı buluruz. Çünkü bileşke fonksiyonlarda, en sağdaki fonksiyon ÖNCE uygulanır.

gof(x) de önce f(x) uygularız. f(x) den çıkan DEĞER, sonra g(x) e girer.

fog(x) de önce g(x) uygularız.  g(x)den çıkan değer, sonra f(x) e girer. 

D-1)  fof (4 ) ü bulalım

 DİKKAT: Fonksiyon f(x) DEĞİL  f(x+4) ü göstermektedir. f(x)i gösteren grafik olsaydı; sadece grafikten okuyacaktık.

D-2) Örneğin; aşağıdaki eğri f(x) eğrisi olsaydı; fof(-2)=???? sorulsaydı;

* sağdan başlayıp önce f(-2) nin değeri için; grafikte x=-2 nin y değerini=0 buluruz.

**sonra f(0) ın değeri için; grafikte x=0 ın y değerini=1 buluruz. SONUÇ: fof(-2)=1 olur.

 

)

D-1)

f(-2)=0   f(-3)=-3   f(0)=1  değerlerini yukardaki grafikten okuyarak, y=f(x+4) fonksiyonuna ait 3 noktayı buluruz.

A)  x=-2 için,    f(-2 +4)=f(2)=0

C) x=-3 için      f(-3+4)=f(1)=-3

B) x=0 için       f(0+4)=f(4)=1

*Önce  f o f(4) yi bulmak için   sağdan başlayalım. B)den f(4)=1 olur.  f(1) oldu

**Sonra C) den f(1)=-3 buluruz.

Örnek10)

Yukardaki fonsiyonda; A-Tanım kümesinin tüm elemanları a,b,c nin hepsi,  B-Değer kümesinin 2 elemanıyla eşlenmişitir. Bu fonksiyon SABİT fonksiyondur. Tanım kümesinin TÜM elemanları ,değer kümesinden SADECE 1 değeriyle eşlenmektedir. Tanım kümesindekilerin değeri SABİT bir değer olmaktadır.

***Tüm tanım kümesi elemanları,  SIFIR Değeriyle eşleşirse; SIFIR fonksiyonu olur. 

Örnek11)

KURAL) GRAFİĞİN FONKSİYON OLUP OLMADIĞINI anlamak için;

*fonksiyonun TANIM KÜMESİ olan x'lerden DİKler çıkarız.(yani y'ye PARALEL çizeriz).

**Bu DİKler, grafiği BİR NOKTADA KESMELİ(HER x'in y'si olmalı, veya TANIMda BOŞ olmaz, fonksiyon olması için)

 ve EN FAZLA BİR NOKTADA kesmeli. (Her x'in 1 y'si , veya 1 DEĞERİ olmalı; şayet 2 değer varsa fonksiyon olmaz) 

Örnek12)

KURAL) Y'den DİKLER çıkıldığında (yani x'lere PARALELler çizildiğinde) grafiği BİR NOKTADA kesiyorsa; fonksiyon BİREBİRDİR.

11 nci sorudaki eğriye  , y'den DİKler çıksaydık( yani x'lere PARALELler çizseydik);

*AYNI y veya HER y İÇİN, BU DİKLER eğriyi 1 noktada kesecekti, o halde 11 nci soru eğrisine ait fonksiyon  

BİREBİRdir.

12nci sorunun grafiğinde y'den çıkılan DİKler, grafigi 2 noktada kestiğinden; AYNI y'ye ait 2 tane X Bulunmaktadır. O halde fonksiyon BİREBİR DEĞİLDİR.

Örnek13)

 DİKKAT:Yukardaki grafik Tanım kümesi=T  ve Değer kümesi=D için FONKSİYONdur.

AMA Tanım kümesi=Reel sayılar  ve  Değer kümesi=Reel sayılar için FONSİYON DEĞİLdir.

Çünkü; 2 den küçük x'ler ve 6'dan büyük veya eşit x'ler için y-DEĞERİ YOKtur, yani TANIM KÜMESİNDE değeri olmayan BOŞ ELEMANLAR VARDIR, FONKSİYON OLAMAZ

 DİKKAT: x=6 için y-DEĞER yoktur.

Tanım kümesi=REEl sayılar dersek, x=6 BOŞLUK olan, değeri olmayan sayıdır. Bu grafik fonksiyon olmaz.

Fonksiyon olmasını istiyorsak; Tanım kümesi= Reel sayılar-{6}    diyerek ; grafiğe DAHİL OLMAYAN dolayısıyla y- değeri bulunmayan 6 yı Tanım kümesinden atarız.

Örnek15)

 1)Her x'den DİKler çıkalım, her x'in 1 y -DEĞERİ var, değeri olmayan  x yok , bu grafik FONKSİYONdur.

2)Her y'den DİK'ler çıkalım, AMA her y'ye karşılık Tanım Kümesinde  2tane x vardır, BİREBİR değildir.(x kareliler birebir olmaz)

3) Tanım kümesi=R  ve Değer kümesi=R olursa; fonsiyon İÇİNEdir. (-4)ten küçük DEĞER kümesindeki y'ler BOŞtadır,(-4)ten küçük y'lerin karşılığı x'ler yoktur. 

4)Ama Değer kümesini  [-4, sonsuz) dersek, y-değer kümesinde BOŞTA kalan y'leri atarsak; yukardaki fonksiyon ÖRTEN olur.   

 

Örnek16)

 DIKKAT: 3 nolu grafik gibi x'in bir tarafından başlayıp(sonsuzdan gelip), diğer tarafına uzanan grafikler(sonsuza giden), şayet 14nci sorudaki 6 gibi boşluklarda yoksa; BİREBİR ve ÖRTENdir

4 ve 2 gibi x'in aynı tarafında başlayıp aynı tarafına uzanan  sonsuz grafikler (x in KARESİ gibi olan eğriler),ÖRTEN DEĞİL ve BİREBİR değildir.

4 ün örten olması için; sıfırdan küçük y'leri Değer kümesinden atmalıyız.

2 nin örten olması için; 2 den büyük y'leri Değer kümesinden atmalıyız.

5'de 3 e benziyor , BİREBİR ama ÖRTEN DEĞİL. Sıfırdan küçük y'ler BOŞTA, Örten olması için y<0 ı değer kümesinden atmalıyız. 

1 grafiği 3 E BENZİYOR. x'in bir tarafından ,sonsuzdan geliyor ve x'in diğer tarafına sonsuza gidiyor, her y için x değeri var olduğundan ÖRTEN fonksiyon ama içinde 3 den farklı olarak 2 tepe mevcut ve bu da her y'nin 1 den fazla x ile eşlenmesine neden oluyor, BİREBİR DEĞİL 

6 da tanım kümesinden x=1 noktasında BOŞLUK olduğundan bu noktanın y-değeri yoktur. FONKSİYON DEĞİL. Bunu fonksiyon yapabilmek için; tanım kümesinden x=1 i atmalıyız. Tanım kümesi=R-{1}

 

 

Örnek17)

 1) f(x): N-Doğal sayılardan  N-Doğal sayılara ÖRTEN DEĞİL.

Tanım kümesi=N-Doğal SAYILAR yani sıfır ve pozitif sayıların y-değeri varçdır. FONKSİYONdur.

Değer kümesi=N-Doğal sayılarda sıfırdan büyük eşit ve 5 den küçük eşit sayıların x'i yok, BOŞtalar

Örten yapmak için; Değer kümesi=N-{0,1,2,3,4,5} OLMALI

*N-Doğal sayılar olduğundan 0,1,2,3,4,5 gibi sadece sayılar var.(R-Reel sayılar olsaydı 0 ve 5 arası aralık olurdu.) 

2)f(x): R den N ye olsaydı; FONKSİYON OLMAZDI

Tanım kümesi=R-Reel sayılardan sıfırdan küçük sayıların değeri olmazdı.

Fonksiyon olması için; Tanım kümesi=R-{sıfırdan küçük reel sayılar} olmalı

f(x): Z den N ye olsaydı; yine fonksiyon olmazdı

Tanım kümesi=Z(Negatif ve pozitif sayılar ve sıfır) Tanım kümesindeki Sıfıdan küçük x'ler BOŞta

Fonsiyon olması için; Tanım kümesi=R-{sıfırdan küçük tamsayılar}=R-{-1, -2, -3,...........-sonsuz    }

 

Örnek18) fofof(1)=????

 f(x) SABİT fonksiyon olduğundan, tüm x'ler için sabit bir değer olan 6 yı alacaktır.

*fofof(6)=fof(6)=f(6)=6

Örnek19)

f ters fonksiyon(3) +  f(-4) + f(2)+  f ters fonksiyon (-2) =?????   bulalım. 

 

TERS FONKSİYON KURALI) f(x)= ise   f ters fonksiyon(y) = x olur 

f ters fonksiyon (3) de ; grafikten y=3 olan x 'i bulmalıyız. Bu da x=2 olur.

f ters fonksiyon(-2) de; grafikten y=-2 olan x'i bulmalıyız. Bu da x=-4 olur.

f (-4)                     de ; grafikten x=-4 olan y'yi bulmalıyız. Bu da y=0 olur. 

f (2)                       de; grafikten x=2 olan y'yi bulmalıyız. Bu da y=0 olur.

Sonuç:  2 +(-4) + 0 + 0= -2 

Örnek20) (go (ftersfonksiyon) (6)  + ((ftersfonksiyon) og)(8)=????? 

 

* Önce (fters fonksiyon)(6) yı bulalım. y=6 olan   x 'i bulalım. Bu da x=0 dır. Sonra g(0) ı bulalım. g(x)=x+2 verilmiş olduğundan; g(0)=0+2=2 buluruz

** ŞİMDİ g(8) i bulalım. g(x)=x+2 den g(8)=8+2=10 buluruz. Sonra (fters fonksiyon)(10) u bulalım.

DİKKAT: x=8 de g(x) ve f(x) fonksiyonları ÇAKIŞMAKTA ,yani x=8 de y'leri de EŞİT olacaktır.

 g(8)=10 = f(8) den  (fters fonsiyon)(10)= 8 buluruz. (TERS FONKSİYON KURALINDAN)

Sonuç: 2 + 8=10

Örnek21) fofof(x)=6 ise x=????

 

 Önce y=6 olan x i bulalım. Bu da x=4 olur.  Soru da fof(x)=4 olur.

Sonra y=4 olan x i bulalım. Bu da x=3 olur. Soru da f(x)=3 olur.

Son olarak y=3 olan x i bulalım. Bu da x=0 olur.

NOT: DAİMA  f(x)= y   olduğunda   (f tersfonksiyon)(y)=x   olur u HATIRLA

 Örnek22) f(3) +f(4) + (ftersfonksiyon)(0) + (fters fonksiyon)(10)=????

 

 Önce  f(3) ve f(4) ü bulalım. x=3 olan y yi grafikten y=8 buluruz.

                                       x=4 olan y yi grafikten y=10 buluruz.

Sonra (f tersfonksiyon)(0) için y=0 olan X i grafikten  x=-4 buluruz.

         (f tersfonksiyon)(10) için y=10 olan x i grafikten x=4 buluruz.

SONUÇ: 8 + 10 +(-4)+ 4 =18 BULURUZ.   

Örnek23) fofofof (5)=??????

 Önce 1nci f için ,x=5 için y yi grafikten okuruz. f(5)=(-2 )buluruz. Soru  fofof(-2)=? olur

Sonra 2nci f için,x=-2 için y yi grafikten okuruz.f(-2)=3 buluruz. Soru     fof(3)=?  olur.

Sonra 3ncü f için,x=3 için y yi grafikten okuruz. f(3)=0 buluruz. Soru       f (0)=? olur.

Sonra 4ncü f için, x=0 için y yi grafikten okuruzç f(0)=3  SONUCUNU buluruz.

Örnek24) fof (x+1)=3 ise  x i bulalım.

 

 

Önce 1nci f için, f(x+1)=3  de  y=3 için olan   x+1  değerini bulalım. Grafikten y=3 için; x=O  olmalıdır. 

Sonra 2nci f(x+1) i uygulayalım. y=0 için olan x+1 değerini grafikten okuyalım. y si SIFIR olan 3 tane x değeri vardır. Bunlar x=-4, x=-2  ve  x=4 tür.

f(-4)=0  dan    x+1 =-4  den  x=-5 olur.

f(-2)=0 dan    x+1= -2 den    x=-3 olur.

f(4)=0 dan    x+1 =0 dan      x=3 olur.

 

Örnek25) ((fog) nun tersfonksiyonu)(6)=???

KURAL)BİLEŞKE FONKSİYONUN TERSİ =(f o g)nin tersfonksiyonu)

                                                       = (g nin tersfonksiyonu)o(f in tersfonsiyonu)

(fog)nin tersi = (g nin tersi)o( f nin tersi) (6)=???

Önce  (f in tersi)(6) için;    y=6 daki x  i    f-grafiğinden okuruz.    x=0  olur.

Sonra (g nin tersi)(0) için; y=0 daki x  i   g-grafiğinden okuruz.    x=6 SONUCUNU buluruz.

26-) A={k,l,m}   B={4,5,6} Kümelerinde A dab B ye tanımlanan aşağıdaki bağıntılardan hangisi fonksiyondur?

a) {(k, 4), (k, 5)}  Fonksiyon değildir, Tanım kümesi=A da eşlenmemiş, BOŞTA l ve m elemanları vardır. 2nci nedeni de k elemanının 4 ve 5 olarak 2 değeri görülmektedir.Bu da olamaz. Tanım kümesinin bir elemanı olan k nın 1 den fazla eşi olamaz.

b) {(k, 4), (l, 5)} Fonksiyon değildir. Tanım kümesi=A da eşlenmemiş m elemanı bulunmaktadır.

c) {(k, 4),(l, 5),(m, 6)} Fonksiyondur. 1nci neden: Tanım kümesi=A da eşlenmemiş ,BOŞTA eleman yoktur.

2nci neden: Tanım kümesinin elemanları en fazla 1 değer almıştır.

Ek olarak Değer kümesinde=B de BOŞta eleman yoktur. Bu fonksiyon ÖRTENdir ve

Tanım kümesinin HER FARKLI elemanı Değer kümesinin HER FARKLI elemanıyla eşleşmiştir. BİREBİRDİR.  

27) Aşağıdakilerden hangisi fonksiyondur?

a) R-Reel sayılardan Z-Tamsayılara   f(x)= (x+3) 

b) R den    Z ye                  f(x)= (x+3) / (x+1)

c) R den    Z ye                 f(x)= (x+3) / (x-2)

d) R den   Z ye                  f(x)= (x+3) / (x in karesi - 4)

HİÇBİRİ FONKSİYON DEĞİLDİR. Fonksiyon olup olmadığını anlamak için 1ncisi hemen Tanım kümesinde değer almamış, BOŞTA eleman var mı? diye bakmalıyım.  Tanım kümesi =R-Reel sayılar kümesi , Değer kümesi=Z-Tamsayı kümesinden daha geniş yani daha çok elemanlı kümedir. Yani Tanım kümesinde BOŞTA eleman kalacaktır. Bir BOŞTA eleman bulalım. X= =0,3 elemanı TAMSAYI DEĞİLDİR, ondalık sayıdır, bu sayıya fonksiyonu uygulayalım, bulacağımız değer Z-TAMSAYI kümesinde YOKSA, TANIM KÜMESİNDE boşta ELEMAN VAR DEMEKTİR VE fonksiyon OLAMAZ.

X=0,3 İÇİN  f(0,3)= 0,3 + 3=3,3 değeri tamsayılarda yoktur, a şıkkı fonksiyon olamaz

***a şıkkının fonksiyon olması için Değer kümesi de =R, Reel sayılar veya 0,3= 3/10 ü bir kesir olarak düşünürsek;

Q-Kesirli sayılar olması lazımdı.

b) x=0,3 için f(x)=?? değerini bulalım 

f(0,3)=(0,3 +3 ) / ( 0,3 +1) = 3,3 / 1,3 olarak değer TAMSAYI DEĞİL, kesir çıkar, (3,3/1,3) değeri Z nin elemanı değildir. FONKSİYON OLAMAZ.

1NCi konu: Fonksiyon olması için; Değer kümesi Q-Rasyonel sayılar veya R-reel sayılar olmalıydı. AMA 2nci KONUDAN DOLAYI  YİNE DE FONKSİYON OLAMAYACAKTI

2nci konu; yukardaki gibi KESİRLİ FONKSİYONlarda; PAYDA SIFIRA EŞİT OLMAMALI.

Payda=x+1 ifadesinde paydayı sıfır yapan x+1=0 dan x= -1 değerinin değeri yoktur, 2nci konuyu yokedip FONSİYON YAPMAK için; Tanım kümesinden (-1) elemanını atmalıyız.

Tanım kümesi=R-{1}     ve

Değer kümesi de =R veya   =Q  olurasa b şıkkı fonksiyon olur.

c) Bu halde fonksiyon değildir (b şıkkının benzeri)

Tanım kümesi=R-{2}       ( Paydayı sıfır yapan x:  x-2=0 dan x=2 dir ve biz 2 yi tanım kümesinden atmalıyız.) VE

Değer kümesi =R  veya =Q olursa  ,c şıkkı fonksiyon olur.

d) fonksiyon değildir

Tanım kümesi =R-{-2, 2} (paydayı sıfır yapan x değerleri, xkaresi-4=0 dan  x kare=4 den x=-2 veya x=2 yi tanım kümesinden atmalıyız.) VE

Değer kümesini R veya Q yaparsak, d şıkkını fonksiyon yaparız.

28) PARÇALI FONKSİYON:      f(x)= x+1  eğer x<4 ise

                                        f(x)=x-1  eğer x 4 den büyükeşit ise  olarak verilen PARÇALI FONKSİYONDA

f(3) +f(6) yı bulalım.

x=3, 4 den küçük olduğundan değerini x+1 den buluruz. f(3)= 3+1=4

x=6, 4 den büyük olduğundan değerini x-1 den buluruz. f(6)=6-1=5

sonuç: f(3) +f(6)=4+5=9

29) R den R ye f( 2x+2) = 3x +10 olarak tanımlanan fonksiyonda f(8)=????bulalım.

DİKKAT:Fonksiyon f(x) olarak verilmemiş, f(2x+2) olarak verilmiştir

                                                       f(8)  bulmak için PARANTEZ İÇLERİNİ EŞİTLEyip bulduğun x değerini eşitliğin sağ tarafındaki fonksiyonda yerine koymalıyız.  2x+2=8 den x=3 buluruz.

f(8)= 3x+10 de  x = 3 ü yerine koyalım.  =3*3+10=19 buluruz.

30) A={-2, 1, 2,3} ise f(x) A dan Z ye f(x)= xkare  olsun. Görüntü kümesi toplamını bulalım.

f(-2)=f(2)=4

f(1)=1

f(3)=9   olarak görüntü kümesini yazalım. G={1, 4, 9} olur. toplamı da 1+4+9=14 olur.

DİKKAT: f(-2)=4 ve f(2)=4 de görüntüler eşit, 2 kere TOPLAMAMALIYIZ. Kümede aynı elemandan 1 KERE YAZILIR.   

30) f(x) fonksiyonu R den R ye  f(x-1)= xkare -2x +1 i f(x) cinsinden yazalım.

f(x-1) de parantez içine x-1 =u diyelim  ve eşitin sağına dikkat edersek; (x-1) in karesine eşit olduğunu görürüz.

f(u) = u kare olur. Şimdi u yerine x yazabiliriz. SONUÇ:f(x)=x kare   olur.   

Başka örnekler bakalım: f(x+1)= xkare +2x +1  olsaydı;  f(u)= ukare   den   f(x)=xkare olurdu

Başka bir örnek: f(x-1)=xküp -3xkare +3x -1 olsaydı;      f(u)=uküp ten      f(x)=xküp olurdu

Başka bir örnek: f(x+1)=xküp +3xkare+3x+1  olsaydı;     f(u)=uküp  ten      f(x)=xküp olurdu.

Başka bir örnek:f(x+1)=x in 4ncü üssü +4 xküp +6 xkare +4x +1 olsaydı;

f(u)=u nun 4ncü üssünden f(x)=x 4ncü üs olurdu  

Not: f(x+1)=xkare +2x +1 =(x+1)karesinde  f fonksiyonuna giren=(x+1)in fonksiyondan KARESİ ALINARAK ÇIKTIĞINA DİKKAT EDERSEN; f(x)=x kare  yazılmasını daha iyi anlarsın

31) f(x)= (2x *f(x) +1) / (x+1) den f(3) ü bulalım.

DİKKAT: EŞİTİN SOLUNDA f(x) var, eşitin sağında da f(x) var. f(3)ü yerine koymadan önce tüm f(x)leri AYNI TARAFTA toplamalıyız.

İçler-dışlar çarpımı yapalım.   f(x)*(x +1) =2x * (f(x)+1)

                                  f(x)*x+f(x)*1  =2x * f(x) + 2x*1  den f(x)leri solda toplayalım.

                         f(x)*x +f(x)-f(x)*2x  =2x soldakileri f(x) parantezine alalım.

                         f(x)*(x+1-2x)          =2x de solda f(x)i yalnız bırakalım.

                                             f(x)= 2x  / ( 1-x) olarak şimdi f(x)-fonksiyonunu bulduk ve f(3) için x=3ü burada yerine koyabiliriz.                      f(3)=2*3 / (1-3)

                                            f(3)= 6 / - 2

                                            f(3)= -3 sonucuna ulasırız.    

32) 31nci soruya benzer bir soru yapalım.

   y + 2xy -4x +8=0 bağıntısını  y=f(x) haline getirelim ve f(3) hesaplayalım.

DİKKAT: Y nin f(x) i ANLATTIĞINI UNUTMAYALIM.  f(x)= x değeri f-fonksiyonuna girip f(x)- (veya) y-DEĞERİNİ almaktadır.

31nci soruda olduğu gibi y (veya f(x)) eşitin BİR TARFINDA, diğerleri DİĞER tarafında olmalıdır.

     y+2xy  = 4x-8  de  y lileri solda, y olmayanları sağda topladım.

    y(1+2x)=4x-8  de  soldakileri  y parantezine aldım

             y=(4x-8) / (1+2x)  de y yi solda yalnız bıraktım ve  bu f(x) e de eşit oldu.

          y=f(x) den  f(3)= (4*3-8) / ( 1+2*3) = 4 / 7  olur.      

33-A) f(x) ÇİFT FONKSİYONSA ;   3f(X) -2  = xkare  + f(-x) den  f(4 ) ü bulalım

KURAL: ÇİFT FONKİYONDA x yerine (-x) konulunca fonksiyon değişmez. O HALDE FONKSİYONDA X İN ÇİFT KUVVETLERİ OLMALI Kİ; x yerine -x koyunca fonksiyon AYNI KALSIN.

***ÇİFT FONKSİYONDA f(x)=f(-x) dir. DAİMA

***TEK FONKSİYONDA  f(x)=-f(-x) dir DAİMA

sorudaki f(x)de x yerine -x koyalım ve çift olduğundan f(x)=f(-x) tir    

 3f(-x) -2 = (-x)karesi + f(-(-x))

 3f(-x) -2 = xkaresi +f(x) de f-çift fonksiyon olduğundan f(-x)=f(x) olup f(-x) yerine f(x) yazabiliriz.

 3f(x) -f(x)= xkare+2 den  f(x)= (xkare +2) / 2 olarak f(x)i buluruz. f(4)= (4ünkaresi+2) /2 =9 olur.

B) Fonksiyon TEK FONKSİYON olsaydı  f(4)=???? kaç olurdu?  

f(x) de x yerine -x koyalım.    3 f(-x)-2 = (-x)karesi + f(-(-x)) oldu

tek fonksiyonda f(-x)= - f(x) olacağından  - 3 f(x) -2 = xkare + f(x)  olur. f(x) leri solda toplayalım

                                                        -4 f(x)      = xkare  +2  olur.

                                                             f(x)    =( xkare +2) / -4 olarak f(x) i buluruz.

                                                             f(4)   =(4 kare +2) / -4  den  f(4) = -4,5 buluruz.     

34) f(x)= (a - b ) x + 3a +b-8 fonksiyonunun

A) BİRİM FONKSİYON olması için a ve b ne olmalıdır?

B) SABİT FONKSİYON olması için a ve b arasındaki ilişki ne olmalıdır?

A) BİRİM fonksiyona giren x,  fonksiyondan yine x olarak çıkmalıdır. Yani  f(x) = x olmalıdır. 

f(x)=x olması için 1nci şart:  x in KATSAYISI =1 olmalıdır.  a - b=1  den  a=b+1

                  ve 2nci şart :   SABİT TERİM olmamalı yani SABİT SIFIR olmalıdır.   3a +b -8=0  olmalıdır

Şimdi 2 denklemden a ve b yi bulmalıyız.

1nci şartdaki a=b+1  i 2nci şartdaki denkleme koyalım:  3(b+1) +b =8    4b=5  b=5/4 olur. a=5/4 + 4/4 =9/4 olur  

B) Sabit fonksiyon olması için; değişken terim olan x in katsayısı=SIFIR olmalı  

 x in katsayısı olan (a - b)=0 olmalı. Buradan  a=b olur. 

35) f(x)=  (ax +4) / (x-2)   olan f(x), SABİT  fonksiyonsa;  f(2) + f(4)=???

f(x) in sabit fonksiyonsa; x-değişkenli terimler yok demektir.

Kesirdeki sabit rakamların oranı= 4 / (- 2) = - 2  fonksiyonun sabit değeri olur.

Fonksiyon sabit olduğundan, tüm x ler için aynı değeri yani (-2) yi alır.f(2) = -2 ve f(4)= -2 olup toplamları= - 4 tür

36) f(x)= (x üssü k ) + 8   olan  f(x) fonksiyonu SABİT fonksiyonsa;    2k+ f(8)=????

 *f(x) in sabit fonksiyon olması için; x li terim olmaMALI. (X üssü k) da  k=0 olursa, (x üssü 0)=1 olur. Bu durumda    f(x) sabit fonksiyonunun SABİT DEĞERİ= 1+8=9 olur. Sonuç: 2k +f(8)= 2*0 + 9 =9 olur.

37) Tanım kümesi aralığı   = [a, 4]  ve

     Görüntü kümesi aralığı=  [8, 2b] olan   f(x)= 3x +b fonksiyonundan a ve b değerlerini bulalım.

(1)   f(a) = 3*a + b=8    ve

(2)   f(4) =4*a +b =2b  den  2a=b  buluruz  ve üstteki (1) nolu denklemde b yerine 2a koyup, a nın değerini buluruz.

(1)  3a +b =8   3a +2a =8  5a=8 den  a= 8/5   ve b=2a dan  b=16/5 buluruz.

38) f(m*n) =f(a) + f(b) olan fonksiyonda f(m küp)=???? bulalım

*1nci olarak  (m küp) = (mkare) * m olarak gösterelim ve f fonksiyonunu uygulayalım.

 (1)  f((m kare)*m) = f(m kare) + f(m)  olur.

**2 nci olarak (m kare) =m*m olarak gösterelim ve 2nci kere fonksiyonu uygulayalım.

 (2)    f(m kare)      = f(m) + f(m) olan bu değeri (1) de yerine koyalım.

(1)   f(m küp) =f((m kare)*m) = f(m) + f(m) +f(m) =3 f(m) olur. 

39) f(x) =3x+1  ve g(x)= 6x   eğer x<1 den

                          g(x)=2x-1 eğer x, 1den büyükeşitse   fonksiyonlarını kullanarak   fg(2) / (f+g)(-1) =?bulalım

*fg(2) için önce 2 FONKSİYONUN ÇARPIMINI bulalım.

2 sayısı  ,g(x) deki 1 den büyük eşit olduğundan, g(x)=2x-1 i kullanırız.

gf=(3x+1)*(2x-1)=6(x kare) - 3x +2x - 1 = 6 (xkare) -x -1 den      gf(2)= 6*4 -2 -1=24 - 3 =21 olur. 

**(f+g) (-1) de  -1 sayısı,  g(x) deki  1 sayısından küçük olduğundan, g(x)=6x kullanırız.

2 FONKSİYONUN TOPLAMI=(f+g) (x)= (3x+1) + 6x =9x +1 den  (f+g)(-1)= 9*(-1) +1 = -8 olur.

SONUÇ: 21/ -8 olur.

ÖRNEK: fog (-1) ve gof(-1) i bulalım

 -1 sayısı, 1 den küçük olduğundan  g(x)=6x kullanırız.

*f o g(x) de   f(x) deki x yerine g(x)i yazarız.= 3(6x) +1 =18x+1

**g o f(x) de g(x) deki x yerine f(x)i yazarız. = 6 (3x+1) =18x+1 *** burada rastgele eşit çıktı. fog(x) ile gof(x) EŞİT OLMAK ZORUNDA DEĞİL, FARKLI ÇIKARLAR.

 

 

Yorumlar

1)gökhan | 08/04/2015 | 20:04:47
çok sağolun mükemmel olmuş

Yorum Yaz

İsminiz

Eposta adresiniz

Güvenlik Kodu

Yorumunuz

 
 
 
 
 
Isı ve Sıcaklık21ocak2014YENİ
21ocak2014eklendi. Bitti... »
KaldırmaKuvvetiYeniMart2013
KaldırmaKuvvetiYeniMart2013... »
ÖĞRENCİLER LÜTFEN SORU ve CEVAPLARINI AYNEN KOPYALAMAYINIZZZZZZZZ
KOPYALAMAYINIZZZZZZZZ. ÖGRENCİLER LÜTFEN SORU VE CEVAPLARI AYNEN KOPYALAMAYINIZ... »
Sınav Kolay Başarı Kolay
*Dersin esasını öğrenelim, anlayalım, temel kavram ve yasaları öğrenelim, detaylara boğulmayalım. Ezberlemeyelim. *Yanlış yaptıklarımızın muhakkak doğrusunu öğrenelim, doğrular bizimdir, yanlışkarımızdan öğreniriz. *Konuları çok fazla tekrara gerek yok, amaç günde çok fazla soru yapmak değil ; güzel ve değişik dersanelerin sorularından yapmalıyız. Önemli konuların hepsini 3-4 aydabir sorularla sürekli tekrarlıyor olmalıyız. *Soruları çözerken; zor, normal ve kolay soruları ayırtedebilmeliyiz. Zor veya uzun vakit kaybettirebilecek sorulara boğularak vakit kaybetmemeliyiz. Hedefimize ulaşmak için; her dersten en az kaç soru cevaplamamız gerekiyorsa; önce kolay sorulardan hata yapmadan çözmeliyiz.... »