Kartezyen Çarpım ve Bağıntı
09/11/2008  |  9.sınıfMATEMATİK | (27)yorum | 31486 kez okundu.

A) SIRALI  İKİLİLER  : a)   (x, y) sıralı ikilisinde  x-1nci bileşen olup y-2nci bileşendir.

                             b) (y, x) sıralı  ikilisi   (x, y) sıralı ikilisine EŞİT OLMAZ, Sıralı ikilide elemanlar aynı olsa da ikilinin sırasını değiştirirsek; FARKLI SIRALI İKİLİ yaratmış oluruz, yani  (x,y) ile (y,x) EŞİT DEĞİLDİR.

Örnek1) (2x+4, 6) = (10, 3y-6) sıralı ikilisindeki x ve y yi bulalım 

Sıralı ikili olduklarından 1nci bileşenler eşit olmalı, ohalde; 2x+4=10 dan x=3 buluruz.

Sıralı ikililerde 2nci bileşenler eşit olmalı, o halde; 6=3y-6 dan   12=3y den y=4 buluruz ve sıralı ikilimiz =(3,4) olur.

B)a) KARTEZYEN ÇARPIM: A= {1,2,3 }  ve  B= {a,b}  olarak boş küme olmayan A ve B gibi 2 küme olsun.

(AXB) KARTEZYEN ÇARPIMI  =(1nci bileşeni Akümesinden ve  2nci bileşeni Bkümesinden alan sıralı ikililer kümesi)

(AXB)                               ={(1,a), (1,b), (2,a), (2,b), (3,a), (3,b)} olur.

b) (BXA) KARTEZYEN ÇARPIMI nı bulup (AXB) Ye eşit olMAdığını görelim

(BXA) KARTEZYEN ÇARPIMI=(1nci bileşeni B kümesinden ve 2nci bileşeni A kümesinden alan sıralı ikililer kümesi)

(BXA)                             ={(a,1), (b,1), (a,2 ), (b,2), (a,3), (b,3)} olur ve (AXB) ye eşit olmaz.

SONUÇ olarak (AXB)= {(x,y) / x€A ve y€B}  diyebiliriz

Örnek2) Örnek1 in A ve B kümelerinin kullanarak (AXA ) ve (BXB) yi bulalım.

(AXA)=(1 nci eleman A dan ve 2nci eleman da A dan alınmalı)={(1, a), (1,b), (2,a), (2,b), (3,a), (3,b)}

(BXB)=(1nci elman B den ve 2nci eleman da Bden alınmalı )={(a,1), (a,2), (a,3), (b,1), (b,2), (b,3)} olur.

Örnek3) (AXB) ve (BXA) Kartezyen  çarpımlarının GRAFİĞİNİ  Analitik Düzlemde gösterelim.A={1,2,3} B={8,9}

(AXB)={(1,8), (1,9), (2,8), (2,9), (3,8),(3,9)} de (1,8) nin 1nci bileşeni=1 i yatay eksen olan X-ekseninde 2nci bileşeni=8 yı dikey eksen olan Y-ekseninde gösteririz.

Önce analitik düzlemin x-ekseninde baştaki küme =A kümesinin  1,2 ve 3 olan elemanlarını  X-ekseninde işaretleriz.Sonra B-Kümesinin 8 ve 9 elemanlarını,  analitik düzlemin dikey ekseni olan Y-ekseninde işaretleriz.Sonra (AXB)nin 6 tane sıralı ikililerinin herbirinde 1nci bileşeni X-ekseninden, 2nci bileşenini Y-ekseninden alarak  6 tane nokta buluruz. Bu 6 nokta (AXB)-KARTEZYEN ÇARPIMININ GRAFİĞİDİR.

Örnek4)  A={X/  X<4 ve x'ler reel sayıdır}  ve B={8,9} olsaydı; (AXB) Kartezyen çarpımın analitik düzlemde grafiği nasıl olurdu?

 A kümesi öyle reel x sayılarından lerden oluşmaktadır ki; bu x ler 4 den küçük olmalıdır, yani X-yatay  eksende ,eksi sonsuzdan  4 e kadar tüm sayılar olacaktırve solda sınırsız+sağda 4 den küçük olup sınırlıdır, A kümesi YARIDOĞRUdur.

 B kümesi 2 nokta , 8 ve 9 dan oluştuğundan,

(AXB) Kartezyen çarpım grafiği  Y-ekseninde y=8 de ve y=9 da, X-ekseni boyunca  4 den küçük olup eksi sonsuza kadar uzanan 2 yarı doğrudan oluşur.

DİKKAT: Örnek 3'deki A-kümesinde 3 nokta ve B-kümesinde 2 nokta olduğundan ,(AXB) KARTEZYEN ÇARPIMININ GRAFİĞİ 6 NOKTADAN OLUŞMAKTAYDI

Örnek 4'deki A-kümesi 4 den küçük reel sayılar olup YARIDOĞRU dur, B-kümesi 2 noktadan oluştuğundan;(AXB)Kartezyen çarpımın grafiği  2 yarıdoğrudan oluşmaktadır.

Örnek4'deki gibi yine 4 ten küçük sayılar olsun ama reel sayılar olmasın, DOĞAL SAYILAR olsun, bu durumda Akümesi={0,1,2,3} olarak 4 noktadan oluşur. Bu durumda (AXB)Kartezyen çarpımının grafiği =4*2=8 noktadan oluşur. 

Örnek5)  A={x/ x<4, x reel sayılar } ve       B={x/ x<6, x reel sayılar } iki kümede de x'ler reel veya gerçek sayılardan oluştuğundan , (AXB)Kartezyen çarpım grafiği solda ve aşağıda sınırsız, sağda 4 'de ve yukarıda 6'da sınırlı bir BÖLGE yi  göstermektedir.

(X-ekseninde sağdan 4 ten küçük reel sayılar olduğundan sağdan sınırlı+solda eksi sonsuza kadar uzanan bölge ve (B deki 6 dan küçük reel sayıları kapsadığından) Y 'de de aşağıya eksi sonsuza kadar uzanıp, yukarı pozitif yönde 6 ya kadar olup 6 ile sınırlanmıştır.

Örnek6) A'da x'ler 0 dan büyük veya eşit VE 4 den küçük veya eşit olup

B'de de x'ler 0'dan büyük veya eşit VE 6' dan küçük veya eşit 2 kümede de REEL SAYIlar olsaydı; (AXB)kartezyen grafiği, dikdörtgen alan olup, dikdörtgenin kenarları da grafiğe  ait olurdu. 

 (2 kümenin de sayıları reel sayılar ama bir sayıdan büyük ve başka bir sayıdan küçük yani bir ARALIK içindelerse, kümelerin sayıları 2 doğru parçasından oluşmaktadır.)

Örnek7) A={x/ x<4 x doğal sayılar } ve      B={x/ x<6 x doğal sayılar} burada x'ler gerçek=reel sayı olmadığından kümeler yarıdoğru olmaz ve (AXB)Kartezyen grafiği alan oluşturmaz.

A ve B kümeleri doğal sayılardan oluştuğundan ;A={0,1,2,3 } ve B={0,1,2,3,4,5} dir. (AXB)= 4*6=24 NOKTADAN OLUŞUR.

DİKKAT; Kartezyen çarpımın grafiğini belirlerken; ÖNCE kümelerin hangi tip sayılardan oluştuğuna bakalım,

A) (1,2,3...9)gibi SAYMA sayıları,  (0,1,2....10,...+sonsuz)gibi DOĞALSAYIları, (-sonsuz,...-5, -4,..-1,0,1,2...+sonsuz) gibi TAMSAYIlar sa kümeler NOKTALARDAN oluşmaktadır. 2 kümede noktalardan oluşuyorsa; (AXB)Kartezyen grafiği =2 kümenin nokta sayılarının çarpımı kadar noktalardan oluşmaktadır.

B) Kümelerden biri noktalardan(B, sayma,doğal,tamsayılardan oluşan küme),  biri de yarıdoğrudan oluşuyorsa(A, reel,gerçek sayılardan oluşan küme) ; A-yarıdoğrudan, B'de  2 noktadan 8 ve 9 dan ibaretse; (AXB)Kartezyen grafiği, Y-ekseninde y=8 de ve y=9 da olan A'ya ait(=A ile sınırlı)  2 yarıdoğrudan oluşur.

C) Kümelerin 2 si de bir sayı aralığından (alttan ve üstten sınırlı sayılar) ve reel sayılardan oluşuyorsa;  (AXB)Kartezyen çarpımın grafiği; bir ALANdan oluşmaktadır. 

Örnek8) A={2,3} için AXA  Kartezyen çarpımın grafiğini bulalım.

1nci küme =A ve 2nci küme=A dır. Yani (2,3)X(2,3) bulalım, AXAkartezyen çarpımının 1nci elemanı A'dan ve 2nci elemanı da A'dan olmalıdır.  (AXA)Kartezyen çarpımı ={(2,2), (2,3),(3,2), (3,3)} olur ve grafiği de analitik düzlemde 4 noktadan oluşur.

**Önce baştaki kümenin, Anın 1nci elemanı 2 yi sabit tutup B'nin tüm elemanları olan 2 ve 3 ile çarpıp ilk 2 tane ikiliyi yazıyorum. Sonra baştaki Akümesinin 2nci elemanı 3 ü sabit tutup B'nin tüm elemanları olan 2 ve 3 ile çarpıp son 2 tane ikiliyi yazıyorum Zaten A'nın 2 elemanı ve B'nin 2 elemanını çarpıp 2*2=4 tane sıralı ikili bulmamız gerektiğini de biliyoruz.

Örnek9) A ve B kümelerinde sayılar reel(=gerçek)sayı ve x'ler alttan bir sayıdan büyük ve üstten bir sayıdan küçük olup ALLTAN VE ÜSTTEN sınırlı bir ARALIKTA bulunmakta olup; (AXB)Kartezyen çarpımında , 1nci küme =A

nın 2 ile 4 aralığı X-ekseninde ve 2nci küme B'nin 3 ile 8 aralığı Y-ekseninde olacak şekilde bir dikdörtgenin ALANI olur, AMA DİKDÖRTGENİN KENARLARI (AXB)Kartezyen çarpımının garafiğine ait değilidir.

Kenarların grafiğe ait olması için; A ve B kümelerindeki aralıkların tümümde EŞİTLİK bulunmalıydı. Yani (A Kümesindeki x'ler 2den büyük veya EŞİT ve 6 dan küçük veya EŞİT) İLE (B kümesindeki x'ler 3 den büyük veya EŞİT ve 8 den küçük veya EŞİT)olmalıydı.

C) KARTEZYEN ÇARPIMIN ÖZELLİKLERİ

a) A={1,2}  B={ a, b}  C={k, m  } kümelerinde kartezyen çarpımın BİRLEŞME ÖZELLİĞİni görelim

AXB = {(1,a), (1,b), (2,a), (2,b)}   BXC={ (a,k), (a,m), (b,k), (b,m)} nu kullanarak

AX(BXC)= (AXB)XC nin doğruluğunu  gösterelim.

 =A X(BXC)= {(1,a,k), (1,a,m), (1,b,k), (1,b,m), (2,a,k), (2,a,m), (2,b,k), (2,b,m)}

= (AXB)XC={(1,a,k), (1,a,m), (1,b,k), (1,b,m),(2,a,k), (2,a,m), (2,b,k), (2,b,m) }  2 eşitliğin sağ tarafındakilerin eşit olduğunu gördük.

b) Kartezyen Çarpım bir SIRALI İKİLİ olduğundan DEĞİŞME  özelliği YOKtur. Yani  (AXB) ile (BXA) EŞİT OLMAZ

c) Kartezyen çarpımın DAĞILMA özelliği VARDIR

Örnek10) A={1,2}   B={a,b}  C={  K,R}  için (AXC) U (AXB) kümesini ve bu kümenin eleman sayısını bulalım

Kartezyen çarpımın   U-Birleşim üzerine DAĞILMA özelliğini uygulayalım. (AXC)U(AXB) de ortak olan A'yı  yanında X-kartezyen çarpımla başa alalım ve parantez içine (CUB) yazalım.  AX (CUB) olur ve burada  X-Kartezyen çarpımının(CUB) üzerine dağılmasını yazalım.  A X(CUB)= (AXC)U(AXB) olur. (Sanki çarpmanın toplama üzerine DAĞILMA özelliğini uygular gibi yaptık. 5*(2+3)= (5*2) +(5*3)=25 )

Sorulan (AXC)U(AXB) yi bulmak a) şıkkında olduğu gibi uzun süreceğinden bunun yerine Ax(CUB) yi bulmak daha kolay olacaktır. Önce (CUB) kümesini bulalım .(CUB)={K,R,a,b} olur. Şimdi AX(CUB) yi yapalım.

A X(CUB)={(1,K), (1,R), (1,a), (1,b), (2,K), (2,R), (2,a), (2,b)} olur. Şimdi bu kartezyen çarpım sonucu oluşan    AX(CUB) kümesinin eleman sayısını bulalım s(AX(CUB))= s(A)* s((CUB))=2*4=8 olur.

KURAL: s(AXB) = s(A) * s(B), A ile B kümesinin kartezyen çarpımı olan AXB kümesinin eleman sayısı = Akümesinin eleman sayısı ile B kümesinin eleman sayısının ÇARPIMIdır.

KURAL: Kartezyen çarpımın DAĞILMA özelliği (n)-ARAKESİT  ve  (-)-FARK üzerine de vardır.

Kartezyen çarpımın ARAKESİT üzerine dağılma özelliği: AX(BnC)= (AXB) n (AXC) dir

Kartezyen çarpımın FARK üzerine dağılma özelliği:        AX(B-C)=(AXB) -(AXC) dir.  

Örnek11) B-C={a,b,c}   ve A={1,2}  ise, (AXB)-(AXC) yi bulalım. Anın 2 parantezde de ortak olduğuna dikkat edelim ve A yı yanındaki X-Kartezyen çarpımla başa yazalım, AXC olur ve yanına parantez içine kalanları(B-C) olarak ekleyelim, böylece kartezyen çarpımın FARK üzerine DAĞILMA özelliğininden geriye giderek (AXB)-(AXC) nin eşitini AX(B-C) olarak buluruz ve  soldaki mavili kümeyi bulmak vakit alacağından onun yerine daha kolay olan kırmızılı kümeyi AX(B-C) yi buluruz.

AX(B-C) ={ (1,a), (1,b), (1,c), (2,a), (2,b), (2,c)}    olur.  

Örnek12) (BnC)XA ={(4,5), (4,6), (8,5), (8,6)}  ise  (BnC) kümesini bulalım   

KURAL: (BnC)xA ={(4,5), (4,6), (8,5), (8,6)} da eşitliğin sağındaki kartezyen çarpım sonucu oluşan küme elemanlarının BİRİNCİ terimleri yani  4 ve 8; eşitliğin solundaki kartezyen çarpımın ilk kümesine=(BnC) ye ait olmalıdır. (BnC)={4,8} 

D)BAĞINTI :(AXB)Kartezyen çarpım kümesinin her ALTKÜMESİ bir bağıntıdır

Örnek13) A={1,2}  B={a,b}  AXB={(1,a), (1,b), (2,a), (2,b)}nin altkümelerinin herbiri bir BAĞINTI dır

B1= {(1,a)}  

B2={(1,a), (1,b)}

B3={(1,a), (1,b), (2,a), (2,b)}  den  B1, B2,B3 hepsi bağıntıdır.

KURAL; a)B1, B2, B3 Bağıntılarına na  Adan B ye BAĞINTI denir,  A-kümesine TANIM Kümesi ve B-kümesine DEĞER kümesi denir.

b) B1 bağıntısında   a elemanı B1 bağıntısıyla 1 elemanına bağlıdır veya B1(1)=a diyebiliriz,    B1, B2 ve B3 bağıntılarındaki   ikililerin 1nci elemanları olan 1 ve 2,  örnek 13 ün (AXB) kartezyen çarpımındaki A kümesine aittir. A kümesi de TANIM kümesidir, tanım kümesinin elemanları (1,2) B1,B2,B3 gibi bağıntılara girerek DEĞER kümesi olan B kümesindeki elemanlara bağlanır. 

c) A da bir bağıntı yazarsak; bağıntının ikilileri AXA kartezyen çarpımının ikililerinden olmalıdır.

A ={1,2} ise  AXA={(1,1), (1,2), (2,1), (2,2)} ,yani

kartezyen çarpım kümesinin eleman sayısı=s(AXA)=s(A)*s(A)=2*2=4 0lduğunu bulduk. Bu kartezyen çarpımına ait bulabileceğimiz

toplam bağıntı sayısı =2 üssü s(AXA)=2üssü4=16=2 üssü(AXA kartezyen çarpım kümesinin eleman sayısı)=2üssü(s(A)*s(A)) olur.

Mesela; A da bir bağıntı yazalım B1={(1,1), (1,2)}

FAKAT B2={(1,1), (1,2),(1,3)}  A da bağıntı olmaz, çünkü (1,3) ikilisi AXA kartezyen çarpım kümesinde yoktur, yada KISACA A da bir bağıntı olması için ; bağıntının ikililerinin 1nci ve 2nci elemanları A kümesinde bulunmalıdır.( 3, A kümesinde bulunmamaktadır

d) Örnek 13 deki  A ve B kümeleryle  AXB kartezyen çarpım kümesini alalım.

AXB de bir bağıntı yazalım B3={(1,a), (1,b), (2,a)}   deki ikililein 1nci elemanları 1ile 2 A kümesinde ve 2nci elemanları a ile b de B kümesinde OLMALIDIR. 

FAKAT B4={(1,a), (1,b), (2,2)} nin ikililerinin 2nci elemanlarından a,b,2 den sadece 2  B kümesinde YOKTUR ve B4 ,AXB de bağıntı olamaz(1nci elemanları 1 ve 2 nin A kümesinde olmasına rağmen 2 nin B kümesinde olmaMAsı bağıntıyı engeller)

KURAL:AXB nin tüm bağıntı sayılarını bulmak istersek; 2 üssü s(A)*s(B)=2 üssü (2*2) =2üssü4=16 buluruz.

Yani 2 elemanlı A kümesiyle 2 elemanlı B kümesinin kartezyen çarpım kümesi (2*2=)4elemanlı olup, bu kartezyen çarpımın toplam bağıntı sayısı=2 üssü(kartezyen çarpım kümesinin eleman sayısı)=2 üssü 4=16 elemanlı  olur.

 

E)BAĞINTININ ÖZELLİKLERİ

A={1,2}   

A)YANSIMA : Bir bağıntının A kümesinde YANSIYAN olması için; A kümesinin her  x elemanı  bağıntıda (x,x) olarak bulunmalıdır.

Örnek14)a) B1={(1,1), (1,2), (2,2)}  bağıntısında Anın 2 çeşit olan 1 ve 2 elemanları (1,1) ve (2,2) olarak bulunmaktadır. Fazladan (1,2) bulunması yansımayı etkilemez. Önemli olan A da kaç çeşit eleman varsa bu elmanlar (x,x) olarak bağıntıda bulunurlarsa; bağıntıya A da yansıyan deriz.

b) B2={(1,1), (1,2)} olan bağıntı  YANSIYAN değildir.  Çünkü A nın 2 elemanı B2 bağıntısında (2,2) olarak bulunmamaktadır.

c)C={(x,y)/ (y küçük veya eşittir x)} gibi x ve y li ifade olan bağıntıların YANSIYAN olup olmadığını anlamak İÇİN;   Y YERİNE X KOYAR ve DAİMA DOĞRU ise yansıyandır deriz. (x küçük veya eşittir x) daima doğrudur ve C-bağıntısı yansıyandır. 

*Yansıyan bağıntının elemanları , Analitik düzlemde y=x(1nci açıortay doğrusu) üzerindeki, yani ordinat=absis olan noktalardır.

B)SİMETRİ :

a) C={1,2,3,4}  kümesinde SİMETRİK bir bağıntı olması için; BAĞINTIYA ALINAN BİR (x,y) ikilisinin SİMETRİĞİ veya TERSİNİN  yani (y,x) ikilisinin de BAĞINTIDA OLMASI lazımdır.

Örnek15)a) C1={(1,2), (2,1), (2,2)}  SİMETRİKTİR: Çünkü; C1 deki (1,2) ikilisinin tersi olan (2,1) ikilisi de bağıntıda mevcuttur, (2,2) gibi  ikilinin tersi de kendisine eşit olduğundan, (2,2) ikilisi de SİMETRİ özelliğine uyar

b)C2={(1,2), (2,1), (2,2), (2,3)}bağıntısı  SİMETRİK olmaz, çünkü (2,3) ikilisinin tersi, simetriği (3,2) ikilisi C2-bağıntısında yeralmaz.

c)C3={(1,1), (2,2),(3,3), (4,4)} bağıntısı simetriktir.

d) C4={(1,2), (1,3),(2,4), (2,1), (3,1)} SİMETRİK OLMAZ, bağıntıya ALINAN İKİLİLERDEN (2,4)ün simetriği (4,2) bağıntıda YOKTUR.

KURAL:Bağıntıya ALINAN ikililerin  HEPSİNİN simetriği bağıntıda olmalıdır. 

e) C5={(x,y)/ (x+Y)/ 2} bağıntısının simetrik olup olmadığını anlamak için;  x ve y leri yerdeğiştiririz, yeni bağıntı ilk bağıntıyla aynı ise, simetriktir .

Yeni bağıntı= (y+x)/2 oldu ve ilk bağıntıyla,C5 ile aynı olduğundan bağıntı simetriktir.

*Simetrik bir bağıntının elemanları y=x)1nci açıortaya göre simetrktir, yani simetrik bağıntıda (1,2) elemansa muhakkak tersi(2,1) de olmalıdır.

C)TERSSİMETRİ :

Terssimetrik Bağıntıda BULUNAN ikililerdeki

a) (x,y) elemanları  birbirine eşit DEĞİLKEN; simetriği(y,x) bağıntıda OLMAMALI

b)(x,x)elemanları birbirine eşitken ; (x,x) bağıntıda bulunuyorsa terssimetrik özelliğini bozmaz ve bağıntı TERSSİMETRİKTİR.

Örnek16) D={1,3,5,7} de

a) D1={(1,1), (3,5),(5,7)} TERSİMETRİKTİR:

Bağıntıda bulunan ikililerden Eşit olan (x,x) ler,(1,1) tersimetriği bozmaz.

Bağıntıdaki birbirine eşit olmayan (x,y)ikili lerinden (3,5) in tersi(5,3) bağıntıda yoktur. Aynı şekilde (5,7)nin tersi (7,5)de bağıntıda olmadığından D1 bağıntısı terssimetriktir. 

b) D2={(1,1), (3,5), (5,7), (7,5)} terssimetrik OLAMAZ, (5,7) nin simetriği (7,5) in bağıntıda bulunması , bağıntının terssimetrikliğini BOZAR.

c) D3={(x,y)/ y= 2x+3} bağıntısının terssimetrik olup olmadığını anlamak için ; bu bağıntıda simetride olduğu gibi x  ve y leri yerdeğiştirip yeni bağıntı(= x=2y+3) elde eder  , yeni bağıntıyla ilk bağıntının ortak çözümü yoksa (çözümü boşkümeyse) bağıntı terssimetriktir.

Ortak çözelim:   y=2x+3 değerini yeni bağıntıda yazalım: x=2y+3=2(2x+3)+3=4x+9 dan  -9=3x ve x=-3 olur ,çözüm vardır ve bağıntı terssimetrik OLMAZ  

d) D4={(x,y)/ y=x-1} de y ve x leri yerdeğiştirip yeni bağıntıyı= x=y-1 bulduk, 2 bağıntıyı ortak çözmek için; ilk bağıntı=y=x-1  yeni bağıntı=x=y-1 de yerine koyalım. x=(x-1)-1 den 1=(-1) çıkar ve yanlıştır, ortak çözüm yoktur, yani ortak çözüm boşkümedir ve bağıntı terssimetriktir. 

D)GEÇİŞME: Bağıntıda (x,y) ve (y,z) ikilileri bulunduğunda; (x,z) ikilisi de bulunuyorsa; bağıntıda geçişme özelliği vardır.

Örnek17) E={1,2,3,4} de E1 bağıntısını yazalım

a) E1={(1,2), (2,3), (1,3),(4,4)} bağıntısında GEÇİŞME vardır. Çünkü (1,2) ve (2,3) ikilileri bağıntıda mevcutken, (1,3) ikilisi de bağıntıda mevcuttur. (4,4) de geçişme vardır.

b) E2={(1,2),(2,3), (1,3), (4,4), (3,4)} bağıntıda GEÇİŞME YOKTUR. Çünkü; (1,3) ve (3,4) varken (1,4) ikilisi bağıntıda olmalıydı, olmadığından geçişme yoktur.

DİKKAT: (1,2) ve (2,3) gibi  1nci ikilinin sonuncu ve 2nci ikilinin baştaki elemanları aynı olan  2TANE İKİLİ bağıntıda bulmalıyız ve 1nci ikilinin başındaki ile 2nci ikilinin sonundaki elemanlardan yani (1,3) gibi olan 3ncü ikilinin de bağıntıda olmasına bakmalıyız.

c) E deki bir bağıntı olan  E3={(1,1), (2,2), (3,3)}  simetrik, terssimetrik ve geçişme özelliğine sahiptir ama yansıyan değildir, yansıyan olması için E nin tüm elemanları  (x,x) olarak bağıntıda olmalıdır. (4,4) yoktur, yansıyan değildir.  FAKAT   E4={(1,1), (2,2), (3,3), (4,4)}  bağıntısı yansıyandır, simetrik, terssimetrik ve geçişme özelliğine sahiptir.

d) E5={(x,y)/ 3x+y=5m} bağıntısında geçişme özelliğinin olup olmadığını incelemek için; kural gereği önce bağıntıda olan 2 ikili yazmalıyız. 1nci ikili =(x,y) € E5 iken                3x+y=5m

                             2nci ikiliyi=(y,z)€ E5 biz yazalım      3y+z=5n  ve altalta toplayalım

                                                                       3x+4y+z=5(m+n) olur  ve sol tarafı 3ncü ikili 3x+z haline getirmeye çalışırız, soldaki 4y yi sağ tarafa atarız.

                            3ncü ikili =(x,z)€E5 yapmalıyız .  3x+z =5(m+n)-4y oldu AMA sağ taraf İLK E5 bağıntısındaki gibi birşeylerin  5 katı olmalıydı,( =5(m+n)-4y ELDE ETTİK) OLMADI .Bağıntıda geçişme özelliği yoktur.

e) E5={(x,y)/ 3x+y=4m} olsaydı bağıntıda geçişme olacak mıydı?

1nci ikili                                              3x+y=4m

2nci ikili                                              3y+z=4n  ve altalta toplayalım, (3x+y+3y+z)=4m+4n

3ncü ikiliyi solda bırakalım                       3x+z=4(m+n-y)=4*(birşeyler)  oldu  ve  bağıntıda geçişme olduğunu ispatladık: 1nci ikili ve 2nci ikili bağıntılarda varsa dedik ve ikilileri E5 bağıntısındaki kurala  göre yazdık  ,bunları altalta topladıktan sonra 3ncü ikilinin de bağıntıda olmasını sağlayacak şekilde, E5 kuralına uygun olarak solda yazıp yalnız bıraktık, sağda kalanlar ilk bağıntıda olduğu gibi birşeylerin 4 katı olmalıdır, oluyorsa bağıntıda geçişme vardır.   

E)BAĞINTININ TERSİ

A={1,2,3} ve  B={a,b,c} kümelerinde    A dan B ye  B1 bağıntısını yazalım .B1={(1,a)), (2,c), (3,b)} 

B1 bağıntısının tersini yazarken B1 bağıntısındaki ikililerin 1nci ve 2nci elemanlarını yerdeğiştirerek yazarız, yani B1 bağıntısında ikililer AXB kartezyen çarpım kümesinin altkümeleriyken; B1 bağıntısının tersindeki ikililer BXA nın altkümeleri olur. 

B1 Bağıntısının tersi={(a,1), (c,2), (b,3)} olur  ve ters bağıntı B den A ya bağıntı olur, BXA kartezyen çarpımının altkümesidir.

KURAL:B1 bağıntısının TANIM kümesi olan A kümesi , (B1 in ters bağıntısı)nın DEĞER kümesi olur,

          B1 Bağıntısının DEĞER kümesi olan B kümesi de (B1 in ters bağıntısı)nın TANIM kümesi olur.

öRNEK18) S={(1,a), (1,b), (1,c), (2,b), (2,c)}

a) R={(a,1), (b,1),  (2,b)} S nin ters bağıntısı olamaz, 

R-Ters bağıntıdaki    (a,1)in tersi   (1,a) ile   (b,1)in tersi (1,b) S bağıntısında vardır, AMA R-Ters bağıntıdaki (2,b) nin tersi (b,2) S bağıntısında yoktur, bu nedenle R-bağıntısı, Sbağıntısının tersi olamaz. 

b) K={(x,y)/ y=2x-3  x ve y€Z}       olan bağıntının tersini bulalım ve ters bağıntıya ait bir elemanını yazalım. Ters bağıntı için x ve y yi yer değiştirelim. (K nın ters bağıntısı)={(x,y)/ x=2y-3  y ve x€Z}   olur ve hatta y=(x+3)/2 diyelim. (K nın Ters bağıntısı)={(x,y)/y=(x+3)/2} oldu, şimdi x€Z olarak x=1 seçersek y=(1+3)/2=4/2=2  olur. Ters bağıntını bir elemanı=(1,2) oldu ve tersi=(2,1) nin K bağıntısındaki y=2x-3 denklemini sağladığına dikkat edelim       

Not: Ters bağıntıyı bulmadan K bağıntısını kullanarak ters bağıntıya ait bir elemanı kısaca bulabilirdik. Önce K bağıntısını sağlayan bir eleman bulalım. x€Z olacak şekilde x=2 seçersek; y=2x-3=2*2-3=1 den (2,1) buluruz. (2,1) in tersi (1,2) Ters  bağıntının bir elemanı olur. 

Örnek19)

 Yukardaki bağıntıyı şöyle yazabiliriz: B = {(3, 5), (7, 3), (9, 7)} olur.

 

Örnek20)

19.sorudaki bağıntının elemanlarının kırmızı renkli 1ncilerini  x- ekseninde

                                               lila renkli 2ncilerini        y-ekseninde göstererek aynı bağıntıyı GRAFİKLE de gösterebiliriz. 

Örnek21)

 

 DİKKAT: A kümesini gösteren  x-ekseni  2, 4, 6 olarak 3 noktadan oluşmaktadır. AMA

             B kümesini gösteren y-ekseni 3 dahil ve 5 hariç doğru parçası göstermektedir.

Bu durumda AXB bağıntısının garafiği yukardaki gibi olmaktadır. 3 noktadan oluşan  A kümesini gösteren

       x-eksenindeki   2, 4, 6 noktalarından çıkan ve y-eksenine paralel   3 tane (3dahil 5 hariç )doğru parçalarından oluşur.  

Örnek22)

 

    

3 noktadan oluşan B kümesini gösteren  3, 4, 5  noktaları y-ekseninde gösterilmekte ve

(2 dahil 6 hariç) doğru parçasından oluşan  A kümesini gösteren 3 doğru parçası da  x-ekseninde gösterilir.

AXB grafiği de 3 noktadan oluşan B kümesinin gösterildiği  y-eksenindeki   3, 4, 5 noktalarından çıkan ve

 x-eksenine paralel A kümesini gösteren (2dahil 6 hariç) 3 doğru parçasından oluşmaktadır.

Örnek23)

 

 Yukardaki bağıntıyı yazalım: x-eksenindekiler bağıntı elemanlarının 1ncisi, y-eksenindekiler 2ncisini oluşturur.

 AXA={(2, 2),  (2, 4),  (4, 2),  (4, 4)}

Örnek24)

 

 

 

 

 

DİKKAT: X-ekseninde gösterilen A-kümesi  (-2 ve 2 dahil) doğru parçasıdır.

              y-ekseninde gösterilen B-kümesi (-1 dahil be 3 hariç) doğru parçasıdır.

** x ve y eksenlerinde  noktalar DEĞİL,  DOĞRU PARÇALARI olduğunda

     AXB grafiği  yukardaki gibi ALANI göstermektedir.

   AMA Y-ekseninde,  dahil olmayan 3 noktasından geçen doğru üzerindeki noktalar (nokta nokta çizilerek gösterilen)  AXB-grafiğinin ALANINA DAHİL OLMAZ.      

Örnek25) 

Örnek-24 deki bağıntının BXA sını çizelim:

Örnek25)te  B-kümesini x-ekseninde

                A-kümesini y-ekseninde göstermeliyiz. BXA Grafiği oluştu.

Örnek24)te  A-kümesi  x-ekseninde

                 B-kümesi  y-ekseninde gösterilerek AXB Grafiği çizilmişti.

 

Yorumlar

1)zeliha | 03/02/2011 | 10:02:41
çok mütişşşşşşşşşşşşş
2)napcan | 11/11/2011 | 12:11:02
bu ne yaa??
3)zeliha | 12/11/2011 | 18:11:44
teşekkürlerrrrrrr
4)serhat | 13/11/2011 | 14:11:17
allah belenızı vermesin serhat verim adam olun zonguldak merkez adam olsun herkez... yeah budur tamammı
5)berat | 15/11/2011 | 21:11:26
allah razı olsun yarın yazılım var inş doğrudur doğru olmasını geç yazılıdan ii alırım inş genede yazana tşk
6)kuzgun | 30/11/2011 | 20:11:40
birde şu grafiklerin isimlerini yazsan mesela birtanesini biliyom nokta grafiği diğerlerinide bir yazsaydın süper olacaktı ama yinede teşekkürler
7)duygu | 01/12/2011 | 20:12:28
daha uzunu yok muydu yazana teşekkür ederim yinede
8)_-*Elif*-_ | 09/12/2011 | 16:12:51
Gerçekten güzel bir site hem renklilikleriyle insanı rahatlatıyor hemde bilgi konusundan zengin .Emeği geçen herkese teşekkürler
9)Devrim | 11/12/2011 | 15:12:27
Yakında matematik yazılım vardı . Çok sade ve anlaşılır bir dille yazılmış . Gerçekten çok işime yaradı , yazan kişinin eline emeğine sağlık , teşekkür ederim .
10)&-FIRTINA-& | 20/01/2012 | 09:01:09
gerçekten çok güzel anlatılmış fakat en altta bulunan dikdörtgen grafiklerinde noktaların açık mı kapalı mı olduğu iyi belirtilseydi iyi olurdu çünkü o kısım çok önemli
11)araba | 29/10/2012 | 13:10:13
camon yahhhh süperrrrrrrrrrrrrr
12)jdyjtyj | 15/12/2012 | 11:12:58
yueu
13)barış | 18/12/2013 | 18:12:21
s
14)barış | 18/12/2013 | 18:12:25
Kardeşim ben böyle istemiyorumki hocamız bize esıralı ikiliden 10ner tane örnek ve kartezyen çarpımınada 10ner tane örnek istiyordum ama bu site öyle değil
15)barış | 18/12/2013 | 18:12:29
kardeşim sen nasılsın
16)NicksiZ | 07/10/2014 | 09:10:06
Sıralı ikililer kartezyen çarpım kümelerinden oluşur. BANA BUNU AÇIKLASIN LÜTFEN BANA BİRİ.
17)semanur | 30/12/2014 | 13:12:34
bune ya allahım ınsan az ozenır dımı
18)ALİ | 26/02/2015 | 20:02:36
asdfghjklertyujkdfghj
19)abdülrezzak | 25/10/2015 | 15:10:08
gerçekten çok başarılı bir konu anlatımı
20)zambaknur | 13/10/2016 | 18:10:34
Aboo çok karışık la bu
21)Sevimnaz ve Gülberra | 13/10/2016 | 18:10:28
Ya ben kankam gülberraylan birlikte bakdım ama biz ikimiz hicbirişey analayamadık. 4.csınıf konusu değilmikibu? Biz çok iyi kankayız SEVİMNAZ ♥ GÜLBERRA
22)dAMLAGÜL | 13/10/2016 | 18:10:14
Yaaaa kızlar ben adet oldum napçam
23)yasuo | 27/11/2017 | 18:11:34
Evet bu site güzel sayılır
24)zed | 27/11/2017 | 18:11:13
İdare eder... √√√
25)pantheon | 27/11/2017 | 18:11:49
Targonun mızrğı adına bu site harika dostum
26)sins | 27/11/2017 | 19:11:53
Ohhh yeahhhh perfecttt
27)Dayi | 27/11/2017 | 19:11:07
http://ossoksdebasariyarehber.com/?sg=yazi&no=236 sitesine bayıldım

Yorum Yaz

İsminiz

Eposta adresiniz

Güvenlik Kodu

Yorumunuz

 
 
 
 
 
Isı ve Sıcaklık21ocak2014YENİ
21ocak2014eklendi. Bitti... »
KaldırmaKuvvetiYeniMart2013
KaldırmaKuvvetiYeniMart2013... »
ÖĞRENCİLER LÜTFEN SORU ve CEVAPLARINI AYNEN KOPYALAMAYINIZZZZZZZZ
KOPYALAMAYINIZZZZZZZZ. ÖGRENCİLER LÜTFEN SORU VE CEVAPLARI AYNEN KOPYALAMAYINIZ... »
Sınav Kolay Başarı Kolay
*Dersin esasını öğrenelim, anlayalım, temel kavram ve yasaları öğrenelim, detaylara boğulmayalım. Ezberlemeyelim. *Yanlış yaptıklarımızın muhakkak doğrusunu öğrenelim, doğrular bizimdir, yanlışkarımızdan öğreniriz. *Konuları çok fazla tekrara gerek yok, amaç günde çok fazla soru yapmak değil ; güzel ve değişik dersanelerin sorularından yapmalıyız. Önemli konuların hepsini 3-4 aydabir sorularla sürekli tekrarlıyor olmalıyız. *Soruları çözerken; zor, normal ve kolay soruları ayırtedebilmeliyiz. Zor veya uzun vakit kaybettirebilecek sorulara boğularak vakit kaybetmemeliyiz. Hedefimize ulaşmak için; her dersten en az kaç soru cevaplamamız gerekiyorsa; önce kolay sorulardan hata yapmadan çözmeliyiz.... »