MANTIK
03/09/2008  |  9.sınıfMATEMATİK | (5)yorum | 36424 kez okundu.

1) p: Bir haftada 9 gün vardır

    q:Bir yılda 55 hafta vardır

    r:Bir yılda 4 mevsim vardır

    s:Bir yılda 12 ay vardır gibi  ifadelerin  4 üde  doğru veya yanlış  olsa da bir sonuç,  bir  hüküm belirtmekte

    olduğunda ÖNERME dirler  Fakat   'Bugün  nasılsın?'  veya  ' Hadi  sinemaya  gidelim' gibi  cümleler  bir  sonuç,   bir  hüküm  belirmediklerinden  önerme  değildirler.

2) r  ve  s  önermeleri  doğru  hüküm  belirttiklerinden ÖNERMELERİN DOĞRULUK DEĞERLERİ =1 dir .Ama p ve q önermeleri yanlış değer belirttiklerinden  doğruluk değerleri=0 dır

3) Doğruluk değerleri aynı olan, yani ikisi de doğru olan r ve s önermeleri(r=s=1)  ile  ikisinin de  doğruluk  değeri=0 olan  p ve q önermeleri DENK ÖNERMELERDİR 

4) p, q, r, s  önermeleri BASİT ÖNERMELERDİR.

5) pVq , (pveyaq)  önermesi; V-veya   gibi bir işlemle bağlı olan 2 önermeden  oluşan bir BİLEŞİK ÖNERMEDİR. (pVq) önermesinin  değeri  p nin  ve q nun aldığı değerlere göre değişir

KURAL1)V-veya  işleminde (pVq) önermelerinden sadece 1 tanesi doğruysabileşik önermenin değeri=pVq=1 olur, 1v0=1  , 0v1=1

 ikisi de doğruysa ;zaten sonuç pVq=1, 1v1=1 olur.  

pVq=0 yani sonucun yanlış olması  için; hem p hem de q nun, ikisinin birlikte değerlerinin=0 olması gerekmektedir. 

Sadece( p=q=0) ,iki önerme değeri de=0 ise, sonuç pVq=0,   0v0=0 olur.

6) p^q , (pveq) bileşik önermesinin  değerinin=1 olması için; p ve q nun ikisinin de değerinin=1 olması gerekir.

p ve q dan birinin değeri=0 ise , pveq=0 olur

Örnek1(p=1 q=0) veya (p=0 q=1) veya (p=0 q=0) ise    pveq=0 olur 

           (SADECE p=1 ve q=1=ise pveq=1 olur.  

7) (p ise q) bileşik önermesi  KOŞULLU ÖNERMEDİR.

***Sadece (p=1 q=0) olduğunda (p ise q)=0 olur ,

diğer değerlerde sonuç daima=1 olur.  

KURAL2)(p ise q)= (p'Vq )ÇOK KULLANILAN BİR KURALDIR ,UNUTMAYALIM

8) 7. maddede (p')den bahsettik. Bu nedir? (p')= p önermesinin olumsuzu=değili dir.

KURAL3) p=1 ise,  p nin değili veya olumsuzu olan (p')=0 dır )  veya  (p=0 ise, (p')=1 dir

Örnek2) (p=1  q=0) ise KURALDAN =(p'Vq) ve (p')=1'=0 olur. p'Vq=0 V 0=0 oldu

KURAL4)  (p ancakveancak q)= (p ise q) ve (q ise p)  olduğundan, (p ancakveancak q)bileşik önermesine çift yönlü koşullu önerme deriz ve

  p ile q dan biri yanlış olduğunda değeri=0 olur,

p ve q nun ikisi de=0 veya ikisi de=1 olduğunda (p ancakveancak q)=1 olur.  

ÖRNEK3) (p=1 ve q=1)ise (q ise( q ise p)) yi bulalım.

Kural2 den ( q ise (q ise p))= q' V (q ise p) yine kural 2den =q' V (q' V p)=(1') V ((1') V 1)=0 V 0 V 1=1

*** Hep VEYA olan işlemlerde önermelerden sadece 1 tanesinin değeri=1 olsa bile  sonuc seğer=1 olur

 AMA aralarında hep VE olan işlemlerde önermelerden biri=0 olursa, sonuç değer=0 olur ve sonucun=1 olması için tüm önermelerin değerinin=1 olması gerekir.

Örnek4)  0^0^1= 0     1^1^1=1 olur ama   0 V 0 V 0=0 , 1 V 0 V 0= 0 olur.

Örnek5) (p=1 ve q=1) için (q ancakveancak p) yi bulalım

Kural4 ten (q ancakveancak p)=(q ise p) ve (p ise q) yazalım ve Kural 2 dende bu ise li ifadelerin eşitlerini yazalım

                                         =(q' V P) ve (p' V q)=(0 V 1) ve (0 V 1)=1 Ve 1=1 olur.

9) k(x): 4x=12 önermesi  içinde  en az 1 değişken  yani  x  bulundurduğu için  AÇIK ÖNERMEDİR. Burada

sadece x=3 için doğruluk değeri=1,

diğer x ler için yanlış olup doğruluk değeri=0 dır.

 m(x): x<4 de açık önermedir ve 4 den küçük x ler için doğruluk değeri=1, 

ama 4 ve 4 den büyük sayılar için doğruluk değeri=0 dır.

10) 9 daki  önermelerin OLUMSUZLARINI=DEĞİLLERİNİ bulalım

k önermesinin olumsuzu(değili)= 4x eşitdeğildir 12   olur

m önermesinin olumsuzu(değili)=4 den BÜYÜK  veya  EŞİT olan x ler  olur

n(x)= 3 den büyük veya eşit x  önermesinin değili de  3 den küçük  x ler olur.

a)  (pVq) nun  değilini  (p V q)' olarak gösteririz ve (p Vq)'=p' ^q' olur

b)  (P^q) nun değilini  (p^q)' olarak gösteririz ve         p' V q' ne  eşit olur. a ve b deki kurallara DE MORGAN kuralı da denir ve çok kullanılır.

Örnek6) (p ^  (q V r)')' nun  eşitini bulalım.Önece en içteki paranteze ait değilin bulunması için De Morgan kuralını uygulayalım (qVr)'=q'^r' olur. Şimdi içten dışa doğru 2nci parantezin değilini De Morgan ile bulalım ve en son sonuç şöyle olur. = p' V ( q' ^r')  olur.

Örnek7)  p: Bugün cumartesidir.     p'= Bugün cumartesi değildir  (p')'=(Bugün cumartesi değildir)'=Bugün cumartesidir

KURAL5) ÖNERMENİN DEĞİLİNİN DEĞİLİ KENDİSİDİR.

11) P :Bugün cumartesidir  

 q: Okullar tatildir  önermelerini kullanarak  (p ise q) koşullu önermesini yazalım

(p ise q)= Bugün cumartesi ise okullar tatildir.

a) (p ise q) nun KARŞITI =(q ise p) dir ve  'Okullar tatil ise  bugün cumartesidir.' olur.

b) (p ise q) nun TERSİ= (p' ise q') dir ve 'Bugün cumartesi değilse  okullar tatil değildir' olur.

c) (p ise q) nun KARŞITTERSİ=(q' ise p') dir ve 'Okullar tatil değilse bugün cumartesi değildir.' olur.

Dikkat önce karşıtını alıp sonra tersini(değilini) düşünürsek daha kolay olur

12)V nın ^üzerine  SOLDAN DAĞILMA kuralını yazalım  p V (q^r)= (p V q) ^( p V r)

    V nın ^ üzerine SAĞDAN DAĞILMA kuralını yazalım  (q^r) V p=(p V q)^(p V r) DİKKAT İKİ eşitliğin de sagdaki kısımları aynı çıktı

13) ^ nin V üzerine SOLDAN DAĞILMA kuralını yazalım p^ (q V r)= (p ^q) V (p^r)

   ^ nin V üzerine SAĞDAN DAĞILMA kuralını yazalım (q V r)^p =(p^r) V (p^q) Dikkat Yine 2 eşitliğin de sağdaki kısımları aynı çıktı 

***12 de dağılan V  ve 13 te dağılan ^ işaretleri  eşitliğin solunda parantezlerin içine girdi.

Örnek8) p=1  q=0  r=1     p V (q ^r)   ve  (p V q)^r  nin değerlerini bulalım

a) p V (q^r)=1 V (0 ^1)= 1 V 0=1

b) (p Vq)^r =(1 V 0) ^1= 1^1=1 oldu

14) V nin BİRLEŞME ÖZELLİĞİNİ yazalım

a)  P V (q V r ) = (p V q) V r  DİKKAT: Aradaki V işlemleri aynı

öRNEK9) p V (p' V  q) = (p V p') V q= 1 V q=q  Dikkat: p ile (p') ni  veya ile birleştirip (pVp'=1) diyoruz

KURAL6) (p v p')= ( 1 V 0)= 1  AMA   (p ^ p')= (1 ^0)= 0  olur

            p V 0  =p                AMA    p ^0 = 0

             p V p=p                  VE     p ^p=p

            p V 1= 1                 AMA    p ^1 =p 

            p V p'= 1                AMA    P^P' =0  BU KURALLAR ÖNEMLİDİR       

b) ^ nin BİRLEŞME  ÖZELLİĞİNİ yazalım

P^(P' ^q)=(p^p')^q= 0 ^q =0 DİKKAT:Aradaki ^ işaretleri aynı ve  (p ve p'= 0 ı birleştiriyoruz)

15)a) V NİN DEĞİŞME ÖZELLİĞİ ni yazalım  (p V q)= (q V p)

    b) ^ NİN DEĞİŞME ÖZELLİĞİ ni yazalım (p^q)=(q^p)

16)a)Bir bileşik önermenin  değeri daima 1 oluyorsa, TOTOLOJİdir,  daima 0 oluyorsa, ÇELİŞKİ DİR

öRNEK10) P: Ayşe çalışkandır   p'= Ayşe çalışkan değildir. önermelerinden oluşan  (p V p') bileşik önermesinin değerini bulalım

Ayşe  çalışkansa, p=1 olur  ve p'=0  ile (p V p')= 1 V 0 =1 buluruz.

Ayşe çalışkan değilse, p=0 olur ve p'=1 ile (p V p')= 0 V1=1 buluruz. SOnuç olarak (p V p') daima =1 olmakta ,yan, totolojidir. 

17) ((m'^n') ise r) V (k ise z)=0 için m, n, r, k, z nin değerlerini bulalım

Eşitliğin=0 olması için, ((m'^n') ise r)=0     ve  (k ise z)=0 olmalı

7NCİ MADDEDEN, ise li bileşik önermenin=0 olması için, 1nci önerme=(m'^n')=1 ve 2nci önerme=r=0 olmalı

m'^n'=1 olması için,  m'=1  ve n'=1 olmalı  Ohalde m=n=0 olduğunu bulduk r=0 dı

2nci koşullu önermenin=0 olması için, k=1  ve z= o  olmalıdır

 18) Doğruluk değeri=1 olan tek yönlü koşullu önermeye, yani, (p ise q) ya GEREKTİRME denir

   Doğruluk değeri=1 olan çift yönlü koşullu önermeye, yani, (p ancak ve ancak q) ya ÇİFT GEREKTİRME denir

p:Geometrik şekil kare ise, 4 kenarı eşittir. Bu bir gerektirmedir.Çünkü şekil kare ise, 4 kenarı eşittir. Ama tersi doğru değildir. (4 KENARI EŞİT OLAN ŞEKİL SADECE KARE DEĞİLDİR, eşkenardörtgen de olabilir)

q:Geometrik şekil eşkenar üçgen ise, 3 açısı da 60 derecedir. Bu bir çiftgerektirmedir. Tersi de doğrudur. 3 açısı da 60 derece olan şekil sadece eşkenarüçgendir.  

DİKKAT: Çift gerektirmenin değerinin, yani (p ancakveancak q)=1 olması için, (p ise q) ve (q ise p)nin  (aralarında V olduğundan )ikisininde değerliği=1 olması,doğru olmaları  gereklidir.

19)( (Bazı x, x=9)  ^ (Her x, x<6) )  ifadesinin değilini alalım

KURAL:A) Bazı  niceliyicisi, en az 1 taneyi

           Her  niceliyicisi  tümü anlamındadır.

          (Bazı)nın değili HER dir.

          (Her) in değili bazıDIR.

Şimdi yukardaki ifadenin değilini bulalım.

(Her x, x eşitdeğildir9) V (Bazı x, x büyükveyaeşittir6) olur.

20) (Bazı x, xin karesi=9) ise (Her x, x=3) ün  karşıttersinin doğruluk değerini bulalım

Karşıttersi=(Bazi x, xeşitdeğildir3) ise (Her x, x in karesi eşitdeğildir9)nin değeri , (1 ise 1)in değeri=1 olur

DİKKAT: 1NCİ önermedeki,bazı x ler, 3 e eşit değildir ifadesi doğrudur , 2 nci önermedeki her x için  de x in karesi 9 a eşit değildir ifadesi de doğrudur. İSE li şartlı önermelerde 1 ise 1 olmuştur ve sonucu=1 dir (İSE li şartlı ifadelerde sadece (1 ise 0) durumunda sonuc değer=0 olmaktadır.

21) c=(a^b') ,    d=(e^b ),  f=(a V a' )  ise   (c V d V f ) nin değerini bulalım

(a^b') V (e^b) V (a V a')=1 olur DAİMA. Çünkü (a V a')=1  ve 3 parantezin arasında da V-veya olduğundan

   ?     V    ?    V     1     =1 OLUR daima (? in yerine 1 veya 0 ne gelirse gelsin sonuç değer=1) olur

DİKKAT:Aralarındaki işaretler hep V-veya   ve bir önerme değeri =1 varsa, bileşik önermenin değeri herzaman=1 olur, yani totolojidir.  

22) (a'^b)^a nın değeri her  zaman =0 dır ve ÇELİŞKİ dir. ^ nin birleşme kuralını uygulayalım (a'^a)^b=0^b=0 olur.

Daima (a^a')= 0 dır DİKKAT: Aralarındaki işaret hep ^ise ve bir önerme=0 varsa sonuç değer=0 ve ÇELİŞKİdir  

23) a'=1 b=0 ise

a) ( a ancakveancak b)=( a ise b) ^(b ise a)=( a' V b) ^(b' V a) BU EŞİTLİKLERİ YAZMAYI HATIRLAYALIM

                                                          =(1 V 0) ^(1 V 0)=1^1=1

b) (a ^(a ise b')) nün değerini bulalım

=(a^ (a' V b'))= 0 ^( 1V1))= 0^1=0

24)  (a' V b')'=a^b daima doğru mudur?

     (a ^ b) = a^b  oldu, daima doğrudur.

25) (a V (a^b)') nün değeri neye eşittir?

    (a V (a' V b'))=(a V a') V b'=1 V b'= b' ne daima eşittir.( aVa'=1 ama  a^a'=0 )

 

26) (a ise b): Hava güneşliyse yağmur yağmayacak .  bileşik önermesinin karşıttersini yazalım

DİKKAT:Önce karşıtını düşünüp sonra önermelerin terslerini bulacağız

a)Karşıt tersi = ( b' ise a') = Yağmur yağacak ise hava güneşli değildir.

b)Karşıtı = (b ise a) = Yağmur yağmayacak ise, Hava güneşlidir.

c)Tersi =(olumsuzu =değili) = (a' ise b')= Hava güneşli değil ise, yağmur yağacaktır.

27) (a V (a^b))= (a V a) ^(a V b)= a^(a V b)=(a^a) V (a^b)=a V (a^b)

28) a' ^b=1 ise      a' V b'=?

 (a'^b)=1 ise a'=1  ve b=1 olmalı, o halde a=0 olur.   (a' V b')= 1 V 1=1 DİR 

29) A) ( p ^ r') V (q ^r) V (p v p') = ??? Dikkat edelim: 3 parantezin arasında V-Veya var ve 1 parantez içinde aynı (p) nin hem (p) si hem (p') si V-Veya ile bağlı bulunuyor.  (pVp'=1) olduğunu ve (1.parantez)V(2nci parantez)V1=1 Olduğuna dikkat ederek  ?????değerinin =1 olduğunu buluruz.

B) (P^r') ^ (q^r) ^ (p^p') =????  Dikkat edelim: 3 parantezin arasında ^-Ve var ve 1 parantez içinde aynı(p)nin hem (p)si hem (P') si ^-Ve ile bağlı bulunuyor. (p^p'=0) olduğunu ve (1nci parantez)^(2nci parantez)^0=0 olduğuna dikkat ederek ?????değerinin=1 olduğunu buluruz. 

30) (p ise p') =1  TOTOLOJİ mi yani p nin tüm değerleri için daima doğruluk değeri=1 mi?

    p için  1 veya 0 olarak alabileceği 2 değer var Bu durumda (p' )de 0 veya 1 değerini alabilir. Şimdi (p isep') tablosunun değerine bakalım:   p             p'               p isep'

                                         1             0                 0

                                         0             1                 1  (p ise p')  ya  0  ya 1 e eşit olmaktadır. Hepsi=1 olmasığından totoloji değildir, yani daima doğru değildir. Hepsi= 0 olmadığından çelişki değildir, yani daima yanlış değildir

31) (p ancak ve ancak p') =0 ,daima yanlış mı? yani çelişki mi?

              p            p'           (p ancak ve ancak p')

              1            0                      0

              0            1                      0   (p ancak ve ancak p') daima=0 olmakta ,yani daima yanlış ve çelişkidir.

32)(p ise q)=( p'V q) daima doğru, totoloji mi? Yani De Morgan kuralının doğruluğunu tabloyla bulalım

Dikkat: p ve q gibi 2 farklı harf varsa   p ve q nun değer ihtimalleri 4 tane olur(31nci soruda sadece p ve olumsuzu=p' olduğundan , p nin değer  ihtimalleri  1 veya 0 olarak 2 taneydi.)

           p       q         p'     (p'Vq)    (p ise q)

          1         1         0         1          1

          1         0         0         0          0

          0         1         1         1          1

          0         0         1         1          1  

     Kırmızı değerler eşit olduğundan  (p'Vq)=(p ise q) nun doğruluğunu bulduk.

DİKKAT:30 ve 31 nci soruda  (        )=1, yani daima doğru=totoloji mi veya (      )=0,yani daima yanlış=çelişki mi diye sorduk? Totoloji de (   ) nin tüm doğruluk değeri=1 olmalı. Çelişkide (   )=0 olmalı.

32. nci soruda 2 parantezin birbirine  eşit olup olmadığını soruyoruz. O halde; 2 paranteze ait doğruluk değerlerini gösteren  yukardaki kırmızı sütun değerleri birbirine eşit olmalı, (yani tüm değerler=1 olmak zorunda değil) 

33) ((p' ise q' ) V q) ise p        nun en sade halini bulalım.

En iç parantezden başlayarak eşitini yazalım. (( p V q') V q) ise p)  olur

Birleşme özelliğinden q ve q' nü birleştirelim. ((q V q')V p) ise p= (1 V p) ise p = (1 ise p) 

**(1 ise p) nin doğruluk değeri 2 ihtimallidir ve p nin değerine bağlıdır

        1               p             (1 ise p)

        1               1                 1

        1               0                 0   

 34) p : (Her x, 3x=6)   ve    q :( Bazı x, 2x=4) ise  (p ancak ve ancak q) nun doğruluk değerini bulalım

 p nin doğruluk değeri=0 dır, yanlıştır, çünkü HER x için 3x=6 olmaz (Bazı x, 3x=6 olur, Bazı x için eşitliği sağlayan bir x değeri bulununca, önerme doğru olur, örneğin x=2 bulduk ve BAZI x, 3x=6 önermesi doğru olurDU, FAKAT

P için HER x, 3x=6 istenmekte. HER x, sorulduğunda, eşitliğe uymayan 1 tane x değeri bulursak; önerme =0 olup yanlış olur. x=4 için 3*4=12 olup 6 ya EŞİT OLMAZ.) SONUÇ olarak p önermesi yanlıştır.

q : Bazı x, 2x=4 için  x=2 bu eşitliği sağlamaktadır. Eşitliği sağlayan 1 tane x bulduk ve (bazı x) önermesi için bu yeterli ve q önermesi değeri=1 olup doğrudur.

p=0 ve q=1 oldu .Şimdi (p ancak ve ancak q)=( 0 ancak ve ancak 1) değerini bulalalım.

     p          q           (p ancak ve ancak )

     0          1                0        

35) (p^q) ise (p ancakveancak q)    nun en sade halini bulalım

P: (p^q)      q:(p ancakveancak q) yazıp  (p ise q)= P' Vq yapalım

=(p^q)' V (p ancakveancak q)  olur. DİKKAT: (p ancakveancak q)= (p ise q) ve (q ise p) KURALInı kullanalım ve (ise)li önermelerde De Morganı uygulayalım

=(p^q)' V ((p' V q) ^ (q' V p))  DİKKAT: soldakini  (       ) V ((     )^(   ))= a V (b ^c) benzetirsek; V-veya nın ^-ve üzerine soldan dağılımını uygulayarak eşitliği yazalım.

=((p' V q') V (p' v q))  ^  ((p' V q') V (q' V p))  de ^ ile bağlı 2 büyük parantez içinde hep aynı V-Ve bağı var olması nedeniyle Birleşme özelliğini kullanalım

= ((p' V p) V(q Vq'))   ^ (( p' V q') V (q' V p)) = ((1V1) V (1V1))  ^ ((1V1) V (1V1) =1

36) (p ise q) ^ ( p' ancakveancak q') nün değerini bulalım

*1nci ve 2nci  sütunlarda p ve q için değerlerini yazalım, 3ncü ve 4ncü sütunlarda  sonra p' ve q' leri bulalım, 5nci ve 6ncı sütunlarda  (p ise q) ve  ( p' ancakveancak q') değerlerini  hesaplayalım. 7nci sütunda  5 ve 6ncı sütunu değerlerinin ^ ile bağlayarak hesaplayalım

   p      q      p'       q'             p ise q         p' ancakveancak q'             (p iseq) ^(p' ancakveancak q')

   1      1      0       0                 1                         1                                    1

   1      0      0       1                 0                         0                                    0

   0      1      1       0                 1                         0                                    0

   0      0       1      1                 1                         1                                     1 

Yorumlar

1)yasemin | 10/10/2011 | 17:10:54
p-0 ise (p veya q) v p cevabı
2)Emre | 11/10/2012 | 23:10:31
Arkadaslar bna p , p' , (p')' tablosunu yapabilck birisi yokmu
3)Tubifiili | 15/10/2015 | 22:10:00
P,q ve r önermelerinin degillerî sırasıyla p',q' ve r' ile gösterildiğine göre, aşağıdakilerden hangisi pVq=q^r önermesine denktir?? A- p'^q' ise q'vr' B- p'^q' ise q'^r' C- p'Vq' ise q'^r' D- q'^r' ise p'Vq' E- q'Vr' ise p'^q' Çözersenjz gerçekten sevinirim. Bi türlü çözemedim!!!
4)Aero | 22/10/2015 | 22:10:38
(p ve q) veya p=? en sade bicimi nedir
5)Aero | 22/10/2015 | 23:10:59
Yasemin p-0 ise p'nin yerine 0 yazarak soruyu yapalım (0^q)v0 Eğer q-1 olsaydı 0^1=0 olur Eğer q-0 olsaydı 0^0=0 olacagindan iki türlü de sonuc 0 oldugu icin (0^q)=0 olur 0v0=0 olur

Yorum Yaz

İsminiz

Eposta adresiniz

Güvenlik Kodu

Yorumunuz

 
 
 
 
 
Isı ve Sıcaklık21ocak2014YENİ
21ocak2014eklendi. Bitti... »
KaldırmaKuvvetiYeniMart2013
KaldırmaKuvvetiYeniMart2013... »
ÖĞRENCİLER LÜTFEN SORU ve CEVAPLARINI AYNEN KOPYALAMAYINIZZZZZZZZ
KOPYALAMAYINIZZZZZZZZ. ÖGRENCİLER LÜTFEN SORU VE CEVAPLARI AYNEN KOPYALAMAYINIZ... »
Sınav Kolay Başarı Kolay
*Dersin esasını öğrenelim, anlayalım, temel kavram ve yasaları öğrenelim, detaylara boğulmayalım. Ezberlemeyelim. *Yanlış yaptıklarımızın muhakkak doğrusunu öğrenelim, doğrular bizimdir, yanlışkarımızdan öğreniriz. *Konuları çok fazla tekrara gerek yok, amaç günde çok fazla soru yapmak değil ; güzel ve değişik dersanelerin sorularından yapmalıyız. Önemli konuların hepsini 3-4 aydabir sorularla sürekli tekrarlıyor olmalıyız. *Soruları çözerken; zor, normal ve kolay soruları ayırtedebilmeliyiz. Zor veya uzun vakit kaybettirebilecek sorulara boğularak vakit kaybetmemeliyiz. Hedefimize ulaşmak için; her dersten en az kaç soru cevaplamamız gerekiyorsa; önce kolay sorulardan hata yapmadan çözmeliyiz.... »