Kümeler
01/09/2008  |  9.sınıfMATEMATİK | (8)yorum | 24853 kez okundu.

1) A= {a,{b,c},{d},d, $, {$}}

a)

6 elemanlıdır. ( Yanılgıya düşmemek için; Akümesinin { } ayraçları içinde 5 virgül olduğuna dikkat edersek; Akümesinin  6 elemanlı oluşunu daha kolay görürüz.)

b) {b,c} €A  = {b,c} nin  Akümesinin içinde ve 2 virgülün arasında  olduğundan; A kümesinin elemanı olduğunu gösterir.

c)

B={a,d} başka bir kümedir ve 2 elemanı vardır. (ayraçlar içinde 1virgül olduğuna dikkat) Bkümesinin 2 tane olan tüm elemanları Akümesinde de bulunmaktaysa; B kümesi  Akümesinin altkümesidir, deriz ve  B C A (BaltkümeA)diye yazarız, buradaki C- Altküme olduğunu gösteren işarettir.  C nin kollarının arkasındaki  küçük küme B, büyük küme A nın altkümesidir, yani B nin tüm elemanları A da vardır.

d) b€A yanlıştır, b eleman olarak A da bulunmaz, yani 2virgülün arasında b yoktur,

{b,c} olarak A kümesinin içinde ve 2 virgülün arasında bulunduğundan; A kümesinin elemanıdır.

e) {d}€A  ve d€A  ¨nin  ikisi de  doğrudur. Çünkü ikisi de Akümesinin birer elemanıdır.

* Eleman olan sembol, elemanı olduğu kümede aynen ve iki virgul arasında bulunmalıdır.

**Altküme dediğimizde de, altküme olan  küçük kümenin tüm elemanlarının büyük kümede olması, yani büyük kümenin ayraçları içinde bulunması lazım.

f)

C={f, {$}, a} 3 elemanlı bir kümedir. 

C€A, yanlıştır, çünkü; C eleman olarak Akümesinin içinde yoktur ve küme kümenin elemanı olamaz, küme kümenin ALTKÜMESİ olur. Doğrusu C C A  olmalıdır ( C kümesinin 3 elemanı da  Akümesinde bulunmaktadır.Dolayısıyla C kümesi, Akümesinin altkümesidir.

g) ACA doğrudur, her küme kendisinin alt kümesidir, fakat A€A yanlıştır, küme kümenin elemanı olamaz

h) Boş küme  her kümenin altkümesidir. {$} €A dır, fakat  {{ $}} CA dır.

I) A kümesinin eleman sayısı =6 olup S(A)=6 diye gösteririz. B kümesinin eleman sayısı=S(B)=2 deriz.

j) {a. { $ }} kümesine,  AnC yani  Arakesit C deriz, yani  A ve  C kümelerinin ikisinde de ortak olan elemanların yani arakesit kümesinin 2 elemanlı   olduğunu belirtmiş oluruz. (A Kesişim C de denilebilir.)

k) {a}kümesi, AnCnB yani A, B ve C kümelerinin üçünde de ortak olanların kümesidir.

{a,d} kümesi, AnB yani Akesişim B kümesidir (A Arakesit B kümeside denir)

l) {a, d, f, {$ }} kümesi BUC yani B Birleşim C kümesidir . BUC-kümesine; ikisinde de bulunanları, ortakları bir kere ,(burada  a-elemanını)ve sadece B de(d-elemanı) ve sadece Cde bulunan (f ve $ elemanlarını) farklı elemanlarıda bir kere birleşim kümesine ekleriz.

m) B / C =B - C=B fark C= Sadece B,  yani   Bkümesinden  C kümesindekilerin çıkartılmasıyla oluşan kümedir. Burada Bden Cyi çıkarırsak ; B ve C de ortak olan a-elemanı Bden gider ve sadece Bye özel olan d-elemanı kalır.   B/C={ d } olur ve B fark C deriz veya B-C de diyebiliriz veya 'sadece B' diyebiliriz. 

n) AUB = A veya B de olanlar demek (sadece A’da olanlar ve sadece B’de  olanlar  ve herikisinde ortak olan  elemanları kapsıyor demek)

AnB = A ve B de olanlar demek (sadece herikisinde ortak olanları kapsıyor demek)

1) S(AUB)= S(A/B) +S (B/A) +S( AnB) = (Sadece A) + (Sadece B) + (İkisindede ortak olanlar, A arakesit B) 
 
2) S(AUB)= S(A) + S(B) – S(AnB)= (A kümesinin tümü) + (B kümesinin tümü) -(ikisindede ortak olanlar, AarakesitB)
 
3)  S(AUB)=S(A) + S(B/A)= (A kümesinin tümü) + ( Sadece B de olanlar)

• Yukardaki (A birleşim B) nin  3 değişik formülünü anlamak, problemlerin çözümünde de de büyük kolaylık sağlayacaktır.
 
PROBLEMLER
1)


Sol taralı kısım = A/B =A-B ={ a }

Sağ taralı kısım= B/A= B-A = { b}

Ortadaki kısım = AnB={ d }

Tüm şekil AUB={ a, b, d }

1nci formülden          S(AUB)= S(A/B) + S(B/A) + S(AnB) =1+1+1= 3 elemanlı olur. veya

2nci formülden          S(AUB)= S(A) +S(B) –S(AnB) den S(AUB)= 2+2-1=3 OLUR.veya

3ncü formülden         S(AUB)=S(A)+S(B/A)= 2+1=3 olur

*3 farklı (AbirleşimB) formülünden de aynı eleman sayısını bulmuş olduk.

2)

 

4)3Küme olsaydı,(AbirleşimBbirleşim C)= S(AUBUC)=S(A)+S(B)+S(C)-S(AnB)-S(AnC)-S(BnC)+SAnBnC) olurdu, Yani A ,B ve C KÜMELERİN ELEMANLARININ TOPLAMINDAN ,  3 TANE İKİLİ ARAKESİTLERİ  ÇIKARTIP, 1 TANE  3LÜ ARAKESİTİ EKLEDİK

3)AYRIK KUMEler = ( A arakesit B  kümesi  boş küme  olmalı)= (A arakesit B) Kümesinin elemanı olmamalı, eleman sayısı sıfır olmalı, aşağıdaki A ve B kümeleri ayrık kümelerdir

 

4) FARKLI KÜMEler olsaydı; kümelerin en az 1 elemanları ortak olup, her kümede farklı en az 1 eleman daha olmalıdır, yani  A ve B farklı kümeler ise; A ve B nin en az 1 ortak elemanı =c  vardır . A nın b den farkı=A-B=a olarak A da en az 1 farklı eleman vardır.  Bnin A dan farkı=B-A= d ve e olarak 2 farklı elemanı vardır.


A ve B FARKLI KÜMELERSE,   BİRBİRİNİN ALTKÜMELERİ OLAMAZ,( A-B ve B-A fark kümeleri ve arakesit kümeleri= AnB, boş küme olamaz.)


A ve B nin fark kümeleri boş kümeler ise birbirlerinin altkümeleridirler.

(A altküme B) = ACB ise ; A da B den farklı eleman yoktur,  yani (A-B)= (sadece A) kümesi boşkümedir, elemanları yoktur, eleman sayısı=0 dır.


Boş kümenin eleman sayısı sıfırdır, hiç elemanı yoktur.

 

5) ACB ve S(A)=S(B)-6 ise S(B-A)=S(B/A)=?


   S(B-A)=S(B/A)=6

6)AnB kümesi boşküme değilse ve S(AUB)=3x-8 , S(A-B)=2x ve S(B-A)=6 ise

S(AUB) nin en küçük değerini bulalım?

S(AUB)=S(A-B)+S(B-A)+S(AnB), AnB nin boş küme olamadığı söylendiğinden ve AbirleşimB kümesinin minimum eleman sayısı sorulduğundan; AnB kümesine  en az 1 eleman koymalıyız, yani c=1 diyelim.

3x-8     = 2x        + 6        +1  dan  x=15 bulunur ve S(AUB)=3x-8=3*15-8=37 olur.


7) S(A)=16, S(B)=8 ve  AnB kümesi boşküme değilse; S(A-B) +S(B-A) nin maximum,

en fazla eleman sayısı kaç olabilir?


*AnB kümesi boşküme olmadığından, AarakesitB kümesinin eleman sayısısına  x diyelim.

 A-B nin eleman sayısına= (16-x )  ve

B-A nın eleman sayısına = (8-x  )diyelim

S(A-B)+ S(B-A)= (16-x)+ (8-x) =24- 2x  in maximum olması için x=1 dersek; 24-2=22 olur.

8) ACB ve  S(A)=4 ve  B-A kümesinin özaltküme sayısı=3 ise S(B)=? B kümesinin eleman sayısını bulalım

5) S(A)=4 elemanlı ise,Akümesinin  tüm altkümelerinin  sayısı = 2 üssü 4 =16 olur.

Özalt kümeyi bulmak için; 16 dan A nın kendisi olan 1 küme sayısını düşüp 15 i buluruz.

Özaltküme sayısı= Altküme sayısı-1

S(B-A) kümesinin özaltküme sayısı = (2 üssü x) -1 =3 den  (2 üssü x) = 4 den  x=2 buluruz. Böylece ( B-A )kümesi 2 elemanlı olur.

*ACB , A kümesi, B kümesini altkümesi olduğundan,  Büyük küme olan  Bkümesinin içinde hem Akümesinin hem de  (B-A) kümesinin elemanları bulunmaktadır. Yani,  S(B)= S(A) + S(B-A) = 4+2=6


6) ACB ise, S(B) yani büyük küme eleman sayısı = küçük küme S(A)+ S(B-A)

9A) S(A)=15, S(B)=9 ve (AarakesitB) kümesi boşküme değilse;  S(A-B)+S(B-A) eleman sayısı max kaç olabilir?

S(A-B)+ S(B-A) nin max ımum , en fazla  olması için, S(AnB) sayısı minimum olmalıdır ve AnB kümesi boşküme olmadığından, (AarakesitB )kümesi sadece 1 elemanlı olmalıdır.

S(A)=15=S(A-B)+S(AnB) =S(A-B) +1

S(B)=9=S(B-A)+S(AnB) =S(B-A)+1

S(A-B)=14  S(B-A)=8 ise; maxımum S(A-B)+S(B-A)=14+8=22 olur

 

9B) S(A-B)+S(B-A) nın eleman sayısı minimum kaçtır?

Bu durumda AnB yi maximum sayıda elemanlı  küme yapmalıyız. Yani  9elemanlı olan  Bkümesinin ,  daha çok  15 elemanlı Akümesinin içinde olduğunu düşünelim.  

S(A-B)=S(A) –S(AnB)= 15-9=6

S(B-A)=0, çünkü B kümesinin tüm elemanları A kümesinde vardır, Bnin farklı elemanı yoktur.

 S(A-B) + S(B-A)= 6 + 0 =6


9C) B şıkkındaki problemde olduğu gibi  B kümesi A kümesinin altkümesi olmasaydı ve yine S(A-B)+S(B-A) eleman sayısının minimum olmasını isteseydik, SONUÇ NE OLURDU?

*B , Anın altkümesi olmadığından Bnin Adan farklı muhakkak elemanı olmalı  ve aynı zamanda  S(AnB)  nin de maximum olması için; B nin A dan farklı eleman sayısı en az olmalı, o halde S(B-A)=1 diyelim.

S(B)=9 elemanlı olduğundan   S(B)=S(B-A)+S(AnB)    9= 1+S(AnB) olup S(AnB)=8 elemanlı olur.

S(B-A)=1, S(AnB)=8 ve S(A-B)=7 elemanlı olacak şekilde; önce S(AnB)=8 i yazarak, aşağıdaki kümeleri çizelim. 

S(A)=S(A-B)+S(AnB)    15=S(A-B)+8        S(A-B)=15 – 8=7

Minimum S(A-B)+S(B-A)= 7+1=8 olur

9D) A ve B Ayrık kümeler olsaydı; yani ortak elemanları olmayıp AnB=Boş küme olup S(AnB)= 0 olsaydı;

S(A/B) = S(A) – S(AnB) =15-0 =15

S(B/A)=  S(B)- S(AnB)   =9-0= 9 olup S(A) + S(B/A) max=15+9 =24 olurdu.

En büyük toplam, kümeler ayrık küme olunca elde edildi.


10) A ve B denk kümelerdir. S(AnB)=8 ve S(AUB)=26 ise, S(A)=?

Ave B denk kümelerse;  iki kümenin de eleman sayısı eşittir.(EŞİT KÜMELER olsalardı; 2 kümenin hem elemen sayısı eşit olmalı, hem de elemanlar AYNI olmalı)

S(A) =S(B)=x diyelim İki kümenin ortak elmanı yani arakesiti 8 eleman ise, A ve B eleman sayısı (x-8) adet olur.

1.yol) S(AUB)=S(A/B) +S(B/A)+8=26=(x-8)+(x-8)+8=26 dan x=17 bulunur S(A)=S(B)=17 olur

2.yol S(AUB)=26= x+x-8=2x-8  2x=34 x=17 =S(A)=S(B)


11)S(A)=4*S(B/A)=5*S(AnB)  ise,    S(AUB)= sayısı ne olabilir?

S(A),  S(B/A) ve  S(AnB)  nin 1,4,5 olan katsayılarının EKOK unu bulalım. EKOK (1,4,5)=20 dir.

S(A) yı 20 ile, S(B/A) yı  5ile ve S(AnB)yi 4 ile çarparsak, katsayıları eşit olup 20 olur.

S(A)=20k  S(B/A)=5k   S(AnB)=4k diyelim. Böylece S(AUB)=16k+5k+4k=25k

S(A/B)=16k, S(AnB)=4k     S(B/A)=5k olarak buluruz  ve yukardaki kümelerin şemasını çizeriz.  

S(AUB) sayısı ne olabilir diye sorulursa, cevaplarda 25 in katına bakmalıyız.

S(A/B)  sorulursa da,cevaplarda 16 nın katlarını aramalıyız.

12) A ve B denk kümeler ve A kümesinin özaltküme sayısı=127 ,  (AnB) kümesinin özaltküme sayısı=31 ise B kümesinin eleman sayısını bulalım, yani S(B)=?

* Denk kümelerin eşit olan eleman sayısına=x diyelim Böylece S(A)= S(B)=x olur ve AnB nin eleman sayısına da=y diyelim, böylece S(AnB)=y olur.

A kümesinin altküme sayısı = A kümesinin özaltküme sayısı + 1 =127 + 1=128 olur

A kümesinin eleman sayısı=n olsun.  A kümesinin altküme sayısı = 2 üssü Akümesinin eleman sayısı = 2 üssü n  olur

128 = 2 üssü n den n=7 buluruz. Denk küme olduklarından B nin de eleman sayısı=7 olur.

(AnB) kümesinin altküme sayısı=31+1=32 ve   (AnB)nineleman sayısı=S(AnB)=K olsun

32= 2 üssü K dan K=5 buluruz, yani A ile B kümesinin ortak eleman sayısı=5 olur ve Anın Bden farklı eleman sayısı da=7-5=2=S(A/B) =S(A-B)=S(A FARK B) olur 

*Buradan başka yolla B kümesinin eleman sayısını bulalım S(B)= S(B/A) +S(AnB)= S(A)=S(A/B) +S(AnB) = 2+5=7 olur.  

13) 

B kümesi A kümesinin ALTKÜME si, yani (B C A) ise ve S(A)=S(B)+5 ise S(A/B)=?

Altküme olan küçük kümenin eleman sayısına ,S(B)=x diyelim, bu durumda S(A)= x +5 olur ve Anın B den farklı elman sayısısı= S(A/B)= 5 OLDUĞUNU GÖRÜRÜZ.

KURAL: (B C A) ise (AnB)=B yani altküme olan küçük küme olur. AMA (AUB)=A yani büyük küme olur.

14)

A veya B dergilerinden en az birinin okunduğu (yani hiç dergi okuMAYAN yok) 10 kişilik evde, yalnız Adergisini okuyan 6 kişi varsa, B dergisini alan kaç kişi vardır? 

KURAL:A)En az 1 derginin okunduğu 10 kişilik ev= S(AUB)=S(A/B) +S(B/A) +S(AnB), yani Sadece A yı okuyanlar + Sadece Byi okuyanlar + İkisini de okuyanlar, yani S(AUB)= A yı okuyanlar veya Byi okuyanlar veya 2sinide(hem A hem B yi) okuyanlar ,YANİ ENAZ 1 tane okuyanlar= A veya Byi okuyanlar da diyebiliriz.

B)Yalnız A yı okuyanlar= A/B,

C) Yalnız B yi okuyanlar=B/A,

D) Hem A hem B yi okuyanlar =AnB= A ve B yi okuyanlar,

E)B dergisini alanlardır(SadeceB okuyan değil)= SadeceB okuyanlar+İki dergiyi de okuyanlar)AnB=S(B/A)+S(AnB).

Şimdi S(AUB)formüllerinihatırlayalım.S(AUB)=S(A)+S(B/A)=S(B)+S(A/B)=S(A)+S(B)-S(AnB)=S(A/B)+S(B/A)+S(AnB)

B dergisini okuyanları bulmak için kırmızı olan formülü kullanalım  10= S(B)+6 den S(B)= 10-6=4 bulunur

15)

Bir grupta 15 kişi dansı, 18 kişi sporu, 6 kişi de hem dansı hem sporu seviyor. Dans ve sporu sevmeyen YOK ise bu grup kaç kişidir?

Dans ve sporu sevmeyen yok ise; bu grup sadece dansı sevenler =S(D/S) + sadece sporu sevenler=S(S/D) +hem dansı hem sporu yani ikisini de sevenler=S(DUS) den oluşmaktadır. Yani bu grup, 14ncü sorudaki gibi, Dans veya Spordan en az birinin sevildiği gruptur. S(DUS)=S(D)+S(S)-S(DnS)= 15+ 18 -6=27 bulunur.

DİKKAT:15 kişi dansı sevmekte, yani S(D)=15 tir,bu yüzden bu sorudaki kırmızı formülü kullandık.  SADECE DANSI SEVEN deseydi; S(D/S)=15 ve sadece sporu seven deseydi, S(S)=18 olurdu ve  bu sorudaki yeşil formülü kullanırdık .

16) 

58 kişilik grupta basketbol oynayanların sayısı, voleybol oynayanların 5 katıdır. Hem basketbol hem voleybol oynayanlar 6 kişi ve ikisin de oynamayanlar 10 kişi ise,

A)yalnız basketbol oynayanlar     B) Voleybol oynayanlar kaç kişidir? 

S(Hem basketbol hem voleybol oynayanlar)=S(BnV)=6

S(İkisini de oynamayanlar)= 10

S(Yalnızbasketbol oynayanlar)=S(B/V) =S(B)-S(BnV), S(Basketbol oynayanlar)=S(B)=S(B/V)+S(BnV)=S(B/V)6=B+6

S(Yalnız voleybol oynayanlar)=S(V/B)=S(V)-S(BnV), S(Voleybol oynayanlar)=S(V)=S(V/B)+S(BnV)=S(V/B)+6=V+6

B+6=5*(V+6) dan  B= 5V+24 buluruz =S(B/V)   ve  V=S(V/B) den

Şimdi tüm grup=58 = S(AUB)+ S(hiçbirşey oynamayanlar)= S(B/V)+ S(V/B)+S(BnV) +10=(5V+24)+V+6+10=6V+40 dan V=(58-40)/6 dan  V=3 bulunur, yani sadece voleybol oynayanlar=3 dır.

B)VOLEYBOL Oynayanlar=S(V)=S(V/B)+S(VnB)=V +6=3+6=9

A)Yalnız(sadece) basketbol oynayanlar=B yi bulmak için; B=5V+24 den B=5*3+24=39 olur.

KONTROLedelim: 58 kişilik tüm grup=B(sadece basket oynayan)+S(V)+HİÇ oynamayanlar=39+9+10=58 bulduk.

Dikkat:Sadece Basketoynayanlara voleybol oynayanların tümünü ekledik(voleybol oynayanlar=sadece voleybol oynayanlar+ ikisini de oynayanlar=6+3=9) ve 'voleybol veya basketbol oynayanları 'YADA 'voleybol ile basketboldan en az birini oynayanları' bulduk. 

Sadece voleybol oynayanlara basketbol oynayanları(=sadece basket+ikisinide oynayanlar)ekleyerek de önceki voleybol YADA basketbol oynayanları bulabilirdik =3+ (39+6)+10=58 buluruz

17)A)S(AUB)=A veya B den ENAZ 1ini oynayanlar =SADECE 1ini oynayanlar+2sini BİRDEN oynayanlar 

                  = SADECE veya YALNIZ Ayı oynayanlar)+ (YALNIZ veya SADECE B yi oynayanlar)+AveB yi oynayanlar

                    =S(A/B)+S(B/A)+S(AnB)

                     =A yı oynamayanlar+ B yi oynamayanlar+ İkisinide oynayanlar

B)S(AUB)=SADECE A yı oynayanlar+ B yi oynayanlar(sadece B yi oynayan+ikisinide oynayan)=

             =S(A/B)                       +                  (           S(B/A)         +    S(AnB)          )

             =B yi oynamayanlar       +B yi oynayanlar

C)S(AUB)=SADECE B yi oynayanlar+ A yı oynayanlar(sadece A yı oynayan+ikisinide oynayanlar)

             =S(B/A)                      +                     (        S(A/B)          +    S(AnB)

              = A yı oynaMAYANLAR   + A yı oynayanlar

D)S(AUB)= A YI OYNAYANLAR      + B Yİ OYNAYANLAR - İKİSİNİ DE OYNAYANLAR

             = S(A)                        +S(B)                    -S(AnB)

 18) Dans(=D),  Bale(=B), Folklor(=F) kurslarından, dansa katılan=12,baleye katılan=15, folklora katılan=9, dans ve bale kursuna= 10, dans ve folklor kursuna= 8, bale ve folklore katılan=6,  her üçüne birden katılan 4 kişi varsa; tüm grup kaç kişidir? 

Dans ve bale kursuna=S(DnB) =10, Dans ve folklor kursuna=S(DnF)=8 , Folklor ve baleye katılan==S(FnB)=6

Her üçüne birden katılan=S(DnFnB)=4 olarak yazalım. NOT: Dans VE Bale ye katılanda (ve) olduğundan ikisini birden yapan yani (Dans arakesit Bale ) demektir.

Tüm grup=S(DnBnF)= S(D)+S(B)+S(F)-S(DnB)-S(DnF)-S(BnF)+S(DnBnF)=12+15+9-10-8-6+4=16 kişilik gruptur.

KURAL:A, B, C gibi  3 kümenin BİRLEŞİM kümesinin formülü şöyledir

S(AUBUC)=S(A)+S(B)+S(C)-S(AnB)-S(AnC)-S(BnC)+S(AnBnC)= A, B, C kümelerinin elemanLARINI EKLİYORUZ, bu 3 kümenin 2 li arakesitlerini ( Ave B), (A ve C), (B ve C) ÇIKARTIYORUZ ,ama, 3 lü arakesitini (AnBnC)EKLİYORUZ  

19)

Yalnız dans kursuna katılan=12 kişi ise; 18. soruda Dansa katılanları bulabilir miyiz? 

S(D)=S(D/(BUF)) +S(DnB)+S(DnF)-S(DnBnF)=12+10+8-4=34 buluruz. 

       =Yalnız dansa katılanlar+ dans VE baleye katılan +dans VE folklore katılan-3 üne de katılanlar

20)

Basketbol veya voleybolden enaz birinin oynandığı  (oynamayan yok) 40 kişilik grupta,basketbol oynayanlar grubun %80i, voleybol oynayanlar %60 ıdır.Basketbol VE voleybol oynayanları bulabilir miyiz?

NOT; Basketbol veya voleybol oynayanların(=BUV) yüzdesi =100 olmalıydı, FAKAT 80+60=140 olmakta, 140-100=40 fazlalık, (BnV)=(B arakesit V) kümesinden kaynaklanmaktadır. S(BnV)=40kişi*(%40)=16 kişi olmalıdır.

Sadece basket oynayanlar=S(B/V)=40 kişi*(%80-%40)=40kişi*%40=16 kişidir.

Sadece voleybol oynayanlar=S(V/B)=40kişi*(%60-%40)=40kişi*%20=8 kişidir

Kontrol edelim; S(BUV)=S(B/V) +S(V/B)+S(BnV)= 16+ 8+ 16= 40 KİŞİYİ yine bulduk

21) a) A= {a, b, c, d}  4 elemanlı kümenin tüm altküme sayısı = 2 üssü )kümenin eleman sayısı)=2 üssü 4= 16

b) 4 elemanlı kümenin 1 elemanlı altküme sayısı = 4 ün 1 li kombinasyonu dur ve kombinezon da C harfiyle gösterilir

KURAL: 4 ÜN 1 li kombinasyonu= 4 ! (! işareti faktöriyel olarak kullanılır)  / (4-1) ! * 1!= (1*2*3*4)/ (1*2*3)*1=4 tanedir, gerçekten {a},  {b}, {c} , { d} olarak 4 tane 1 elemanlı altküme vardır

KURAL:Faktöriyel = ! işaretiyle gösterilen işlemde 4!= 1*2*3*4=24 tür, yani 4 e kadar 1,2,3,4 ü çarparız.

c) 4ün 0 kombinasyonu yani hiç elemanı olmayan altküme sayısı= 4! / ((4-0)!*0!)=4! / 4!=1 dir ve BOŞKÜME dir

KURAL: 0! = 1! = 1 dir  

d)4 ün 4 elemanlı altküme sayısı = 4! /(4-4)!* 4!= 4! / 0!*4!= 4! / 1*4!=1 dir ve 4 elemanlı A kümesinin kendisidir, gerçekten 1 tanedir= {a,b,c,d}  

e) 4 ün 2 elemanlı altküme sayısı= 4 ün 2 li kombinasyonu=4! / (4-2)! * 2!= 4! / 2!* 2!=(1*2*3*4) /)1*2)*(1*2)=6 tanedir, yazalım {a,b}, {a,c},  {a,d},  {b,c},  {b,d},  {c,d} olarak gerçekten 6 altküme vardır 

f) 4 ün 3 lü altküme sayısı= 4! / (4-3)!*(3!)= (1*2*3*4) /1*(1*2*3) =4 tür

g) 4 ün 1 elemanlı altküme sayısı= 4! / (4-1)!* 1!= (1*2*3*4) / (1*2*3)*1 =4 tür ve f şıkkındaki 4 ün 3 elemanlı altküme sayısına eşittir KURAL: (4 ün 3) lü  ve (4 ün 1) li altküme sayılarında 1+3=4=kümenin toplam eleman sayısına eşitse; 4ün 3lü altküme sayısı= 4ün 1 li altküme sayısı 

  4 ün hiç elemanı olmayan altküme sayısı =  1= 4 ün 4 elemanlı altküme sayısı  (0+4=4),  

  4 ün 1 elemanlı altküme sayısı=4= 4 ün 3 elemanlı altküme sayısı                 (1+3=4),

  4 ün 2 elemanlı altküme sayısı=6 ise toplam altküme sayısı=1+1+4+4+6=16 oldu yani 2 üssü4 ten bulduğumuz 16 ya eşit oldu.     

g) ENAZ 2 elemanlı altkümeler sayısı= C 4ün 2 lisi + C 4 ün 3 lüsü+ C 4 ün 4 lüsü =6 +4 +1 11  . Bu sonucu şöyle de bulabiliriz. Tüm altküme sayısı=16 dan - C 4ün 1 lisi( 4ün 1elemanlı altküme sayısı) -C 4ün  0 lısı(4 ün hiç elemanı olmayan altküme sayısı) = 16- 4 -1 =11 i yine bulduk.  **ENAZ 2 elemanlı = 2 VE 2 DEN FAZLA elemanlı

h) ENÇOK 3 elemanlı altküme sayısı=C4 ün 0 lısı + C4ün 1 lisi + C4 ün 2 lisi + C4 ün 3 lüsü= 1+4+6+4=15 olup tüm altküme sayısı=16 dan C 4ün 4 lüsü=1 i çıkartarak da 15 i buluruz. **ENÇOK 3 elemanlı= 4 DEN AZ elemanlı = 3 VE 3 DEN AZ elemanlı  

ı) 4 elemanlı A kümesinin 3 elemanlı altkümelerinin   kaçında a bulunur?

a nın bulunması istenmiyorsa; 4 elemanlı kümeden a yı atalım, 4-1=3 eleman kaldı ve

                                        3 elemanlı altkümeden a yı atalım 3-1=2 eleman kalır  . C 3ün 2 lisi, yani 3 elemanlı kümenin 2 li kombinasyonu(2 li altkümelerinin sayısı)= 3! / (3-2)! * 2! = (1*2*3) / 1! * (1*2) =3 tanedir ve 2 li altkümelere a YI EKLERSEK; 3 LÜ altkümeler olur ve a  bulunur.

j) ı şıkkını , kaçında a bulunmaz? diye sorsaydık;

4 elemanlı A kümesinden a yı atalım, 4-1=3 eleman  kaldı, C 3ün 3 lüsü, yani kalan 3 elemanın 3 lü kombinasyonu olur ve 1 tanedir.   

DİKKAT: 4 ÜN 3 LÜ KOMBİNASYONU  yazalım {a,b,c},  {a,b,d},  {b,c,d},  {d,a,c}    dir ve a bulunanlar gerçekten=3 tane ve a bulunmayanlar=1 tanedir. YANİ  i şıkkında 4 ün 3lü altkümelerinin kaçında a bulunurun cevabını=3 bulmuşsak, 4 ün 3 lü altkümelerinin kaçında a bulunmazın cevabı= 4 ün 3lü altküme sayısı -3=4-3=1 olur

22) S(AUB)= S(B) ise   A C B ,yani A kümesi B nin altkümesidir.

23)

A kümesinin B kümesinden farkının eleman sayısı=S(A-B),  Bkümesinin A dan farkının eleman sayısıNIN=S(B-A)nın 3 katı ve  S(AnB) eleman sayısının 2 katı ise, ve S(A)=6 İSE, bilinmeyenlerin hepsini bulalım.

2, 3 ün enküçük ortakkatı=2*3=6 dır. S(A-B)=6X =3* S(B-A)= 2*AnB) ise  S(B-A)=2X ve  S(AnB)=3X olur

S(A)= 36= S(AnB) +S(A-B)= 3X +6X=9X olur ve X=4 Buluruz. S(A-B)=6X=6*4=24, S(B-A)=2X=2*4=8, S(AnB)=3X=3*4=12 bulunur 

24) 

S(A'nB')=6  ve  S(A-B)=8   ve tümleyen kümesi=E nin eleman sayısı=S(E)=24  ise, B kümesinin eleman sayısısnı bulalım. S(B)=??

DIKKAT: S(A'nB')= S(A U B)'  yani  A veya B Kümesinde olmayan, ama tümleyen= en büyük küme=E kümesinde olan eleman sayısı demektir. S(A)-Almanca bilenler ve S(B)-Belçika ca bilenler ise, S(AUB)=Almanca VEYA Belçika ca bilenler olur. S(A'nB')=S(AUB)'= Almanca ve Belçika ca bilmeyenler=Hiçbir dil bilmeyenler= AUB kümesinin dışında kalanlar ama Evrensel kümede olanlar

Şimdi probleme dönelim: En büyük küme=E

S(E)= S(A-B) +S(B) +S(AUB)'=24= 8+ S(B)+6 dan S(B)=10 olur.

        =S(AUB) + S(AUB)'=S(E)

DİKKAT: S(A-B)+S(B)= S(AUB) yapar AMA  S(A-B) +S(AnB)= S(A) yapar

25)Aşağıdaki kurallara göz atalım

   BİLEŞİM                                                                                                KESİŞİM

AUA =A   Tekkuvvet                                                                                  AnA =A

AUB =BUA  Değişme özelliği                                                                         AnB=BnA

AU (BUC) =(AUB) UC Birleşme özelliği                                                          An(BnC)=(AnB)nC

A U Boşküme=Boşküme UA=A (Boşküme etkisiz eleman)                                 A n boşküme =Boşküme*

                                                                                                           *Boşküme yutan eleman oldu

***AUB=Boşküme ise; Akümesi VE Bkümesi de BOŞKÜME olmalı

***A C B ise, AnB=A olur.

E-Evrensel küme ise   S(A) + S(A')=S(E), YANİ  bir küme A kümesi  ve o  kümenin  dışındakiler yani A nın tümleyen kümesi=A' kümelerinin  toplamı=Evrensel kümeye (E) eşittir.  S(A')= S(E)- S(A)   E'=Boş küme ve Boş kümenin tümleyeni E-Evrensel kümedir.

** E n B = B     AMA      E U B= E

*(AUB)' =A' n B'    ve   (AnB)'= A' U B'

**S(A')=A kümesinin tümleyeni eleman sayısı= Akümesinin dışındakiler=S(E) - S(A)

          = S(B-A) +S(AUB)'= (A da olmayanlar) SADECE Bde olanlar + İkisindede olmayanlar 

**Birleşimin Arakesit üzerine  SOLDAN  dağılması AU(BnC)=(AUB) n (AUC)

  Birleşimin Arakesit üzerine SAĞDAN dağılması    (BnC) UA=(AUC) n (AUB)

**Arakesitin Birleşim üzerine SOLDAN dağılması  An (BUC)= (AnB) U (AnC)

Arakesitin Birleşim üzerine SAĞDAN dağılması     (BUC)nA =(AnC) U (AnB)   

26)

A) Basketbol ve voleybol dan ENAZBİRİNİN oynandığı 70 kişilik okulda 10 kişi 2 sporu da yapmaktadır. Basketbol oynayanların sayısı voleybol oynayanların 3 katı olduğuna göre SADECE voleybol oynayanların sayısını bulalım.

tENAZBİRİNİN oynaması; S(BUV)'= Boşküme demektir,

 yani hiç oyun oynamayan yoktur,

yani BUV-BASKET VEYA VOLEYBOL OYNAYANLARIN DIŞINDA KİMSE YOKTUR,

yani BUV-Kümesinin tümleyeni boşkümedir, 

 okul mevcudu=70= S(BUV)= S(B/V) +S(BnV) +S(V/B) olur .  

S(BnV )= =10 ve   Basket oynayanlar=S(B)=S(B/V)+10 ve      Voleybol oynayanlar= S(V)= S(V/B)+10 dir.

S(B/V)+10= 3 *(S(V/B)+10) den   S(B/V)=3*S(V/B)+20 buluruz ve bu bilgiyi S(BUV) ye koyalım

S(BUV)= 3*S(V/B) +20     +10+   S(V/B)=  4S(V/B)+30= 70 den sadece voleybol oynayanları=S(V/B)=10 buluruz

B) S(B'nV')=4 olsaydı; sadece voleybol oynayanlar kaç olurdu?

****S(B'nV') = S(BUV)'= yani hiç spor yapmayanlar=4 kişidir ve S(BUV) +4 =70 KİŞİ OLACAK***

= (4S(V/B) +30) + 4 =70 den   S(V/B)= 9 olur

27)

S(E)= 48    S(B)= 16  ve  S(A'nB')= 14 ise; S(A-B)=?

S(A'nB')= S(AUB)', yani AUB KÜMESİNİN TÜMLEYENİ, AUB nın dışında olanlar ama E nin içinde olanlar.

S(E)= S(AUB) + 14= S(B) + S(A-B) +14 =  16 + S(A-B) +14=48  den  S(A-B)= 48-16-14=18 olacaktır.  

 

28)

S(E)=30,     S(B')=20,             S(C')=26 ,           S(BnC)=8 ise;                 S(B)=??

S(B')= S(C/B) + S(Bn C)= c + x,                  S(C')= S(B/C) + S(CnB)= b + x ,

30= b + c +x +8 ,     S(B')= yani S(B) de olmayanlar= S(C/B) +8 =c +8=20,   S(C')= b+8 = 26 den     

c=12    ve       b=18 olur.                 S(B)= b+ S(BnC) = 18 + 8= 26  

Yorumlar

1)baransel | 17/11/2012 | 18:11:45
uf yaaaaaaaaa bitürlü bulamadım
2)beyza | 07/12/2013 | 20:12:25
GÜZEL
3)beyza | 07/12/2013 | 20:12:04
AYNEN YA UF
4)hacer | 07/12/2013 | 20:12:12
BASRİ SENİ SEVİYORUM
5)Kardelen_Jb | 23/09/2014 | 23:09:48
Çok saçma lan bu Matematik niyee varsın kii Sanki alt kümeyi...
6)Justin_Bieber | 23/09/2014 | 23:09:45
Matematiği bulanın... :/ :'(
7)Alaadtin Çelik | 19/10/2015 | 19:10:58
Yaa bakarmsınız soru şu: (A-B)U(AUB)'
8)Cihan Doğan | 12/11/2017 | 23:11:30
Alaadtin Çelik (ACB')U(A'cB') = B'C(A'UA) =A'UA=E B'CE =B' ''C''=KESİŞİM KESİŞİMİN İŞARETİNİ BULAMADIM TESR U YU BUNU KULLANDIM

Yorum Yaz

İsminiz

Eposta adresiniz

Güvenlik Kodu

Yorumunuz

 
 
 
 
 
Isı ve Sıcaklık21ocak2014YENİ
21ocak2014eklendi. Bitti... »
KaldırmaKuvvetiYeniMart2013
KaldırmaKuvvetiYeniMart2013... »
ÖĞRENCİLER LÜTFEN SORU ve CEVAPLARINI AYNEN KOPYALAMAYINIZZZZZZZZ
KOPYALAMAYINIZZZZZZZZ. ÖGRENCİLER LÜTFEN SORU VE CEVAPLARI AYNEN KOPYALAMAYINIZ... »
Sınav Kolay Başarı Kolay
*Dersin esasını öğrenelim, anlayalım, temel kavram ve yasaları öğrenelim, detaylara boğulmayalım. Ezberlemeyelim. *Yanlış yaptıklarımızın muhakkak doğrusunu öğrenelim, doğrular bizimdir, yanlışkarımızdan öğreniriz. *Konuları çok fazla tekrara gerek yok, amaç günde çok fazla soru yapmak değil ; güzel ve değişik dersanelerin sorularından yapmalıyız. Önemli konuların hepsini 3-4 aydabir sorularla sürekli tekrarlıyor olmalıyız. *Soruları çözerken; zor, normal ve kolay soruları ayırtedebilmeliyiz. Zor veya uzun vakit kaybettirebilecek sorulara boğularak vakit kaybetmemeliyiz. Hedefimize ulaşmak için; her dersten en az kaç soru cevaplamamız gerekiyorsa; önce kolay sorulardan hata yapmadan çözmeliyiz.... »