Üçgende Açı
01/09/2008  |  GEOMETRİ | (1)yorum | 8194 kez okundu.

ÜÇGENDE   AÇI

1) Üçgenin  dışaçıları  2,3,4  ile  orantılı  ise  en  küçük  açıyı  bulalım?

Dışaçıların  oranı  2k,  3k,  4k ve  dışaçıların  toplamı  360 derece ise, 2k+3k+4k=9k=360 dan  k=40  olur. Dışaçılar,

2k=80,  3k=120,  4k=160 olup en  büyük  dışaçı=160 derece olduğundan , en  küçük  içaçı da  180-160=20 derece olur.

KURAL1) Bir iç açı  ile  bu  açının  dışaçısı  toplamı 180 derecedir. Dışaçı  büyükse, içaçı  küçüktür.

2)


(x) açısını  bulalım.  DAB Üçgeninde (.)lı  açıya (a) ve ( ..)li açıya  (b) diyelim.

DAB Üçgeninde  a+b=180-110=70 derece olur.

BAC Üçgeninde (a+b)+(a+b)+x=180  den 70+70+x=180 ve x=40  olur.

KURAL2)

DAB Üçgeninde  a+b=70 ise  ABC Üçgeninde C açısı=180-70-70=40 olur

 
3)

Dışaçıları  bulalım

1)A1, Üçgenin içaçısıdır ve A2 de A1 açısının  dışaçısıdır.

2)B1, Üçgenin  içaçısıdır  ve B2 de B1açısının  dışaçısıdır.

3)C1, Üçgenin  içaçısıdır ve C2 de C1 açısının  dışaçısıdır.***DIŞAÇILARIN ÇİZİLİŞİNE DİKKAT EDELİM

1) a+b+c=280 ise  b=açısını bulalalım?

2) a+c+(180-b)=360 dan  a+c-b=180  olur.

1)  ve 2) yi, 2 denklemi toplayalım.  (a+b+c )+(a+c+(180-b))=280+180  den  2a+2c=260  ve  a+c= 230  olur.

230 = 2 dışaçının toplamıysa 3ncü dışaçıda  (180-b)=360-230=130  olur .İçaçı olan b=180-130=50 olur

 

KURAL3)Dışaçıyı  nasıl  bulabiliriz?


KURAL4) A2,  B2,   C2   dışaçılardır. Bir üçgenin 3 içaçısının toplamı=180 derece ve 3 dışaçısının toplamı=360 derecedir. Aynı köşeye ait içaçı+dışaçının toplamı=180 derecedir.

A  açısının  1nci  kolunu  uzatalım.  (180-a=  dışaçıdır.  2nci  kolunu  uzatırsak  (180-a) da (a) nın  dışaçısıdır.  Ve  birbirlerine  eşittir.

KURAL5) (180-a) lar, 2 doğru kesiştiğinde karşılıklı oluşan ters açılardır ve her zaman 2 doğru x-çapraz olarak kesiştiğinde karşılıklı gelen ters açılar eşittir.

4) En  küçük  içaçıyı  bulalım

KURAL6) Üçgende  bir  dıŞaçı , kendisine  komşu  olmayan DİĞER 2  içaçının  toplamına eşittir.

3x-46=(x+10)+x  dan  x=56 =A açısı

B=x+10=56+10=66   C= 180-3x+46=180-3*56+46=180-122=58 olur.

5) x  açısını  bulalım


KURAL7) Birbirine  komşu  2  açının,  A açısının  içaçıortayıyla (AC),   B Açısının  dışaçıortayının  (BC)   arasında  kalan  açı=(x),  üçgenin  3ncü  içaçısının  yarısına  (=D1 /2) eşittir.

X=(180-130) /2 =25  derecedir.

6)


ABD Üçgeninde,   BC içaçıortay,   CD dışaçıortay  ise   x=açısını bulalım?

ABD  Üçgeninde  birbirine  komşu  B ve D açılarının  sırasıyla,  Bnin  içaçıortayı BC ile, Dnin  dışaçıortayı  DC  arasındaki  açı,  ABD Üçgeninin 3ncü   açısı  olan  BAD Açısının  yarısına  eşittir. Yani  BAD Açısı =36*2=72 dir.72+x+x=180 den x=54dür

7)

AD  ve  CD  2  dışaçıortaydır,  x  açısını   bulalım?

KURAL8) ABC Üçgeninin 2 dışaçıortayı  arasında  kalan açı =66= 90-(B Açısının yarısı)dır

B açısının  yarısı =90-66=24        B Açısı =2*24= 48 derece olur.

8)

 


AK  Açıortay  ve B –C =62  İSE  X=?

 

KURAL9) Bir üçgende aynı  açıya ait  açıortay  ile yüksekliğin  arasındaki açı, diğer 2 açının farkının yarısına  eşittir.

HAK Açısı = B  ve C açıların  farkının  yarısına  eşittir.=62/2=31 derece olur.

X=K2 açısı, AHK Üçgeninin  bir dış  açısı  olup,  AHK Üçgeninde,  kendisine  komşu  olmayan  2  içaçısının  toplamına  eşittir yani x=90+31=121 olur.

9)

AK,  BE  içaçıortaylar  ise, x=açısını bulalım?

KURAL10) Bir  üçgende  ABC Üçgeninde komşu 2 açı olan  Ave B açılarının  içaçıortayları  arasındaki  açı= K1 açısı =90+ C açısının yarısı dır.
K1= 180-85=95=(90 +X açısının yarısı )ise  5= X açısının  yarısı,  x=2*5=10

10)


AB=AC ise x=açısını bulalım?

ABC  ve  BDC,  2  tene  ikizkenar  üçgendir.

BDC üçgeninde  taban  açılarına  (a)  ve ABC üçgeninde de  taban açılarına yani B ve  C ye , (b) diyelim

ABC üçgeninde  taban  açıları  C= a+5=B   
BDC üçgeninde  a=(180-36) / 2 = 144/2=72 derecedir.

C= a+5=72+5=77 =B  olur.

ABC üçgeninde    x açısı= (180-77-77) /2 =13 olur

11)


X  açısını  bulalım

Önce  2 açısı da belli olan bir  üçgen  arayıp  bu  üçgenden   başlarız

FBD Üçgeninde  B Açısı =180-90-30=60 derecedir.

ABC Üçgeninde  C1=180-44-60=66 OLUR.     X=180-66=114

12)

a ve  b    arasındaki   ilişkiyi  bulalım?

ABC Üçgenine  odaklanalım.      A1=180-b       C1=90-a

(180-a) + (90-a) +90=180  den  180+90+90-180=a+b  ve   180-b=a


13)  x =?


ABC  İkizkenarüçgendir. O halde  taban  açıları B1=A1 dir.  Ve  taban  açılarının 

dışaçıları  da  eşittir.   3x-104=x+24        2x=128       x=64

14)

BAE Açısı =140 derece ise  x=açısını bulalım?

BAC  ve  ADE  Üçgenleri  ikizkenarüçgendir  ve  sırasıyla  taban  açıları  a   ve  b  olsun.

ABE Üçgeninde    (a+b+x)+(a+b)=180  ve BAE Açısı=a+b+x=140  olduğundan a+b=40  derecedir.  ACD  Ügeninde  C1 Açısı =2a  ve  D1 Açısı=2b  olur.

C1 dışaçısı, ABC üçgeninde dışaçı olup, kendisine komşu olmayan 2 eşit açının toplamına rşittir, yani C1=a+a=2a olur. Aynı şekilde  D1 açısı da ADE ÜÇGENİNDE DIŞAÇI OLUP KENDİSİNE KOMŞU OLMAYAN 2 EŞİT İÇAÇININ TOPLAMINA eşit olacaktır. D1= b+b=2b  

ABE üçgeninde içaçıların toplamı=180 olduğundan,2a+2b+x=180   den   80+x=180  ve x=40  derece olur.

15)


ABC  Eşkenarüçgen   ve  AB=AD ise  x=?

ABC  Eşkenarüçgen  olduğundan  1) AB=AC=BC dir   ve  AB=AD  verildiğinden  

ve   1)den  AB=AC  ise   AD=AC  olup   ADC İkizkenarüçgendir.

ABC Eşkenarüçgeninde  A1=60-32=28 dir. ADC İkizkenarüçgense  (AD=AC VE 

A1  tepe  açısıysa)  D  ve  C  açıları  taban  açıları  olup,    (180-28)/2=152/2=76 dır

ABK Üçgeninde  B=60,  A=32  ve  K1=180-60-32=88  Dir.

KDC Üçgeninde   x=180-88-76=16 derecedir.

16)

ABC İkizkenardiküçgen,   BCE  Eşkenar üçgen  ise,  x=?

ABC  İkizkenar  üçgende,  A1=C1=45  ve

BCE Eşkenar üçgense,  B1=E=C=60  dır

X açısı, DBC Üçgeninde  dışaçı  olup,  kendisine  komşu  olmayan  2  içaçının  yani 

B1 ve C1 in  toplamına  eşittir.  X=60+45=105 derecedir

 
17) x=?


D Açısı,  ters  açıdan  D1 e  eşittir.  DEF Üçgeninde  D +x+x=180  den  D=180-2x 

KURAL11) ABCD  Dörtgeninde   D açısı =3x+4x+3x=10x   olur. 

D=180-2X=10X         180=12X  den   X=15


18)AK  ve  BK  Açıortaylardır.  X=?

AK  ve  BK,  (K) da  kesişen  2  açıortaydır.  

KURAL12) 2 Açıortayın  kesiştiği  noktadan  geçen   yani  (K) dan geçen  3ncü  doğru parçası    KC de açıortay  olur.  O  halde   C=x+x=2x  dir.

A açısı=a+a ve B açısı=b+b olsun  
ABK Üçgeninde  a+b+100=80 den    a+b=80  olur. 

ABC  Üçgeninde  2a+2b+2x=180  den   160+2x=180  den  x=10  derecedir.


19) x+y=?


ABC İkizkenar  üçgendir.  C1=X   ve   DCE İkizkenar üçgendir. C2=Y

x+y+80=180  ise  x+y=100  dir.

20) BK Açıortaydır.  BKC  Açısı=?

BK açıortay olduğundan B açısı 2 eşit parçaya ayrılmıştır. B1=B2=a açısı olur

KURAL13) KE hem  kenarortay  hem de  yükseklik  olduğundan  KE  aynı  zamanda  açıortay olur 

KURAL14)Tepe noktası K dan inen KE doğru parçası hem kenarortay, hem açıortay ve hem yükseklik oluyorsa; BKC üçgeni  ikizkenar üçgendir.

*O halde, C açısı=a olur. 

KURAL15)K köşesinden inen KE doğruparçasında kural13 de olan, diğer 2 köşede B ve C de de olsaydı; üçgen eşkenar üçgen olurdu. Eşkenarüçgende 3 köşeden indirilen yükseklik= kenarortay=açıortaydır. İkizkenarüçgende SADECE TEPEDEN İNEN  YÜKSEKLİK=KENARORTAY=AÇIORTAYDIR. 

ABC diküçgeninde  3a=90 ve a=30 derce  olur. BKC Üçgeninde  BKC Açısı =180-30-30=120 derece olur.

 

21) x=?


EBC ikizkenar  üçgen  olduğundan  C1=x olur  ve  E1 Açısı ,  EBC  üçgeninde  dışaçı  olduğundan,  E1= X+X=2X  olur  ve   AEC  üçgeni de  ikizkenar  üçgen  olduğundan  A açısı=E1=2X  dir.

ABC  üçgeniNDE   A açısı=2x   ve  B açısı=x  ve  C açısı =180-150=30  derece olup

2x+x+30=180  ve  3x=150 den  x=50 derece olur.

22)BD açıortay   ve ( A açısı – C açısı) =30  ise   x=?


B açısının      2 eşit  parçasına  (b)  diyelim.    A - C =30  verildiğinden, A=C+30 olur.

D1 açısı,  BDC üçgeninde  dışaçı  olup  D1=b+C  olur.

D2 Açısı,  ABD üçgeninde  dışaçı  olup  D2 açısı=C+30+b    olur.

KURAL16) D1+D2=180  OLMALI,Çünkü D1 ve D2 açıları komşu ve birbirlerinini 180 dereceye tamamlayan BÜTÜNLER açı olurlar . (b+C) +(C+30+b) =180  dir    ve   b+C =75  olur.

D1 açısı = 180- A açısı – b =180- (C+30)-b=180-(C+b)-30=180-75-30=75  derece olur

X=75 dir.


23) BK, KC  açıortay ve DE doğruparçası  BC doğruparçasına  paralelse( DE // BC)

ve AB=12 cm,  AC=14 cm ise  ADE üçgeninin  çevresini  bulalım.


DE//BC ise, içters  açıların  eşitliğinden  B1 açısı=K1  açısı  olup   BDK ikizkenar üçgendir  ve  BD kenarı= DK kenarı  olur  ve  bu  eşkenarların  uzunluklarına (a) diyelim.         

DE//BC ise, C1 açısı= K2 açısı ve KEC  ikizkenar üçgen olur, KE=EC kenarı olur ve bu eşkenarlara da  (b) iyelim.

ADE  üçgeninin  çevresi =AD+AE+DE= (AB-BD) +(AC-EC)+DK+KE =(12-a)+(14-b)+a+b=26 olur.

KURAL17)  Üçgen  içinde  2  içaçıortay  kesişip DE//BC Olursa yanda  2 tane  ikizkenar  üçgen  oluşur ve ADE üçgeninin çevresi=AB+AC oldu.

24) AC açıortay  ise D açısı – B açısı=?

 
KURAL18)  Üçgende  bir  köşeye  ait (A’ya) açıortay ile C =80 verilmiş  ve diğer  2  açıların  farkı 

soruluyorsa, hemen  açıortay  verilen  köşeden  yükseklik  inelim  

X=180-90-80=10  ve x=10 olur.         X=10=( B açısı – D açısı )/2  den 

(B açısı- D açısı) =20  derece  olur.


 

Yorumlar

1)berfin | 26/01/2015 | 23:01:58
normalde böyle yorumlar yazmam fakat çok başarılı buldum. Tebrik ediyorum. Emeğinize sağlık

Yorum Yaz

İsminiz

Eposta adresiniz

Güvenlik Kodu

Yorumunuz

 
 
 
 
 
Isı ve Sıcaklık21ocak2014YENİ
21ocak2014eklendi. Bitti... »
KaldırmaKuvvetiYeniMart2013
KaldırmaKuvvetiYeniMart2013... »
ÖĞRENCİLER LÜTFEN SORU ve CEVAPLARINI AYNEN KOPYALAMAYINIZZZZZZZZ
KOPYALAMAYINIZZZZZZZZ. ÖGRENCİLER LÜTFEN SORU VE CEVAPLARI AYNEN KOPYALAMAYINIZ... »
Sınav Kolay Başarı Kolay
*Dersin esasını öğrenelim, anlayalım, temel kavram ve yasaları öğrenelim, detaylara boğulmayalım. Ezberlemeyelim. *Yanlış yaptıklarımızın muhakkak doğrusunu öğrenelim, doğrular bizimdir, yanlışkarımızdan öğreniriz. *Konuları çok fazla tekrara gerek yok, amaç günde çok fazla soru yapmak değil ; güzel ve değişik dersanelerin sorularından yapmalıyız. Önemli konuların hepsini 3-4 aydabir sorularla sürekli tekrarlıyor olmalıyız. *Soruları çözerken; zor, normal ve kolay soruları ayırtedebilmeliyiz. Zor veya uzun vakit kaybettirebilecek sorulara boğularak vakit kaybetmemeliyiz. Hedefimize ulaşmak için; her dersten en az kaç soru cevaplamamız gerekiyorsa; önce kolay sorulardan hata yapmadan çözmeliyiz.... »